Bài tập - Tính toán trên ma trận pdf

BÀI TẬP CHƯƠNG II.. TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN 1.. Chứng minh A=0... Tính các định thức: a... Tính định thức cấp tổng quát: a... Tìm hạng của ma trận: a... Tìm hạng của ma trận: a.. Tìm ma

BÀI TẬP CHƯƠNG II

TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN

1 Cho các ma trận

A

và

B

−

a Tính các ma trận AB B A B A A, t , t( − t)

b Tính f A( ) với f x( )=x2− +x 2

2 Cho cos sin

−

a Chứng minh A Aα β = Aα β+ , (Aα)n = A nα

b Tính

2005

,

1 1

n

−

3 Tìm ma trận X∈M2( )\ sao cho AX = XA với:

a 1 1

0 1

A ⎡ ⎤

= ⎢− − ⎥

4 Tìm ma trận X∈M2( )\ sao cho 2 1 0

2

X X ⎡− ⎤

⎣ ⎦

5 Cho ma trận a b

A

c d

⎣ ⎦

a Chứng minh A là nghiệm của f x( )=x2− +(a d x ad bc) + −

b Chứng minh nếu ∃ ∈k ` A k =0 thì A2 =0

6 Giả sử ma trận A M∈ n( )\ thỏa ∀ ∈X M n( ) (\ X A)2 =0

Chứng minh A=0

7 Cho hai ma trận A B M, ∈ n( )\ sao cho AB BA= Chứng minh :

a A2 −B2 =(A B A B− )( + )

b (A B+ )2 = A2+2AB B+ 2

8 Tính:

a 1 1

1 1

n

1 3

n

⎢− ⎥

⎣ ⎦ c

n

ĐỊNH THỨC

9 Tính các định thức:

a 2 1

3 1

13547 13647

28423 28523

b

−

−

−

,

246 427 327

1014 543 443

342 721 621

−

,

1 0

i i i

i

+

−

−

c

3 0 1 1

1 3 0 1

1 1 3 0

0 1 1 3

,

d

2 2 2

1 1 1

2

1 1

ε ε

với ε là căn bậc 3 khác 1 của đơn vị

10 Không khai triển định thức, hãy tìm hệ số của x4 và x2 trong đa thức

( )

x x x

f x

x x

−

11 Biết 1020 là bội của 17 Không khai triển định thức, hãy chứng minh

0 2 0 1

4 5 0 1

5 5 2 0

4 4 5 0

là bội của 17

12 Chứng minh:

a

2

a b b c c a a b c

a b b c c a a b c

a b b c c a a b c

b

0

=

13 Tính định thức cấp tổng quát:

a

n

n

−

"

"

"

"

"

b

−

−

−

−

"

"

"

"

"

c

1 2 3

1

n n

x x x x− a

"

"

"

"

"

d

x y y y y

z x y y y

z z x y y

z z z x y

z z z z x

"

"

"

"

"

(cấp n)

14 Giải phương trình:

a

2 3

1

1 3 9 27

x x x

= b

2

5 100

x x x x

− +

c

0

x

x

n x

n x

−

− −

−

"

"

"

"

"

HẠNG MA TRẬN – MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

15 Tìm hạng của ma trận:

a

−

b

−

c

−

d

a a

−

e

3 1 1 4

4 10 1

1 7 17 3

2 2 4 3

a

f

1 1 1

1 1 1

m m m m

16 Cho ma trận

m m A

m m

m m

−

Tìm m sao cho

a

2 1 1 1

1 3 1 1

1 1 4 1

1 1 1 5

1 2 3 4

1 1 1 1

rankA rank

=

b

rankA rank

c

4 8 18 7

10 18 40 17

rankA rank

17 Tìm hạng của ma trận:

a

1 1

1 1

+

+

+

"

"

"

"

(cấp n)

b

"

"

"

"

(cấp 2n)

18 Tìm ma trận đảo của:

a 1 2

2 2

⎢− ⎥

2 0 0

1 1 0

c

1 0 3

2 1 1

3 2 2

d

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

e

2 1 0 0

3 2 0 0

1 1 3 4

−

19 Tìm ma trận đảo của ma trận cấp n:

a

"

"

# # % #

"

b

a a

a

+

"

"

"