Tìm điều kiện của x để P đạt giá trị nhỏ nhất?. Câu 2: Giải các phơng trình sau: a.. Cho đờng tròn tâm O đờng kính CD = 2R.. Điểm M di động trên đoạn OC.. Vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính M
Trang 1phòng gd&đt lang chánh đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện trờng thcs quang hiến năm học 2009 2010–
Môn thi: Toán 9 thời gian 180 phút
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
+
−
−
−
−
+
−
−
+
x x
x x
x x
x
a Tính giá trị của biểu thức P khi x = 6+2 2. 3− 2+ 12+ 18− 128
b Tìm x ∈Z để P ∈Z
c Tìm điều kiện của x để P đạt giá trị nhỏ nhất ?
Câu 2: Giải các phơng trình sau:
a x−1−3 2− x = 5
b 4 x− 2006 = x2 – 2021x + 4082410
Câu 3: Cho phơng trình: 2x2 + 2 ( m + 1 )x + m2 + 4m + 3 = 0 (1)
a Giải phơng trình (1) khi m = - 3
b Tìm điều kiện của m để (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: 3x12 + 3x22 + 4x1x2 = 4
c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = x1x2 −2x1−2x2
Câu 4: Cho các điểm A ( -2; 0), B ( 0; 4), C (1;1), D(-3;-2)
a Chứng minh: 3 điểm A, B, D thẳng hằng, 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b Tính diện tích tam giác ABC ?
Câu 5:
1 Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính CD = 2R Điểm M di động trên đoạn OC
Vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính MD Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đờng thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F Đờng thẳng ED cắt (O’) tại P
a Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng
b Chứng minh IP là tiếp tuyến của đờng tròn (O’)
c Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất
2 Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Aˆ = α ( α = 90 0 )
Chứng minh rằng AI =
c b
Cos bc
+ 2
.
(Cho Sin2 α = 2SinαCosα )
Câu 6:
Tính giá trị của biểu thức: T = x2009 + y2009
2 Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2≥ x3 + y4 Chứng minh:
x3 + y3 ≤ x2 + y2≤ x + y ≤ 2
Trang 2
đáp án Câu 1
3đ a Đk ≠
≥ 9
0
x x
Rút gọn P =
3
3 4
+
−
x
Khai Phơng x= ( )2
3
1 +
Thay giá trị x ( )2
3
1 + vào P =
13
3 29
64 +
b Để P ∈ Z khi và chỉ khi
=
⇔
−
= +
= +
−
= +
= +
0 3
3
3 3
1 3
1 3
x x
x x x
c Để P nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 0
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 Câu 2
3đ
a Đk x ≥1
Đặt
=
−
=
−
b x
a x
3 2
1 (a≥ 0)
Ta đợc HPT
= +
=
−
) 2 ( 1
) 1 ( 5 3
2 b a
b a
Thế (1) vào (2) ta đợc: b3 + 2b2 +10b + 24 = 0
⇔(b+2)(b2 - b + 12) = 0
⇔b = -2
Thay b = - 2 vào (1) ta đợc a = 3
Vậy phơng trình có nghiệm x = 10
b 4 x− 2006 = x2 – 2021x + 4082410
⇔-( x + 2006 + 4 x−2006 +4) = x2 - 2020 x + 4080400
⇔- ( x−2006 - 2)2 = ( x - 2010)2
⇔ x = 2010
0.25 0.25 0.5
0.5 0.5 0.5
0.5 Câu 3
3đ
a Thay m = -3 vào (1)
Phơng trình trở thành 2x2 - 4x = 0
⇔
=
= 2
0
x x
b ĐK để pt có nghiệm ⇔- 5 ≤m≤ - 1
Khi đó (1) có 2 nghiện x1 , x2.Theo hệ thức viet ta có:
+ +
=
−
−
= 2
3 4
1 2 2
1
m m x
m x
(2)
Thay (2) vào 3x12 + 3x12 + 4x1x2 = 4 ta đợc m2 + m - 2 = 0 ⇔ m = -2
Vậy m = - 2
0.5 0.5 0.25 0.25 0.5
Trang 3c Thay (2) vào M =
2
7 8
2 + m+
m
do - 5 ≤m≤ - 1
2
9 2
) 4 ( 9 2
7
2
≤ +
−
= + +
−
=
Vậy Max M =
2
9
khi m = - 4 (nhận)
0.5
Câu 4
2đ
a Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax +
b
Để (d) đi qua 2 điểm A, B khi HPT sau có nghiệm
=
=
⇔
=
= +
−
4
2 4
0 2
b
a b
b a
Vậy d: y = 2x + 4 Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C ∈ (d) ⇒
Điểm D(-3;-2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đờng
thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hàng
b.Ta có :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 ⇒AB2 = AC2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại C
Vậy S∆ABC = 1/2AC.BC = 10 10 5
2
1 = ( đơn vị diện tích )
0.25 0.25 0.25 0.25
0.5 0.5
Câu 5
4đ
a) Do P ∈ (O’) mà MD = 2R suy ra ∠MPD = 900 hay MP ⊥ ED
Tơng tự CE ⊥ ED Từ đó PM // EC (1)
Vì EF là dây cung, CD = 2R mà CD ⊥EF nên IE = IF
Mà IC = IM nên tứ giác CEMF là hình bình hành
Vậy FM//CE.(2)
Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng (Tiên đề ơclit )
b) Ta có ∠EDC =∠EFP (cùng phụ ∠IED )
Do tam giác PO’D cân tại O’ nên ∠EDC = ∠O’PD
Lại có ∠EFP =∠IPF (PI là trung tuyến của tam giác vuông EPF)
=>∠I PF =∠O’PD mà ∠FPD =1v
suy ra∠IPO’ =900 nên IP ⊥O’P Hay IP là tiếp tuyến của (O’) c) Vì O’M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R
áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi )
Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S là diện tích của tam giác IO’P)
Vậy 4S2 Max hay S Max khi PI = PO’ =R
2
1 mà DM =2 PO’ do đó
DM = 2R , Vậy M cách D một khoảng bằng 2R
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 025 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 4E P
C I M O O’
D
F
2
2
1AI cSinα
S∆ABI = A
2
2
1AI bSinα
S∆AIC =
B I C
2
1bcSinα
S∆ABC =
AIC ABI
ABC S S
c b
bcCos c
b Sin
bcSin AI
c b AISin bcSin
+
= +
=
⇒
+
=
⇒
2 2
) ( 2
) ( 2
α
α α
α α
0.25
0.25 0.25
0.25
Câu 6 a
(x + 2010+x2 )(y + 2010+y2) =2010
Ta có
− +
= +
+
− +
= +
+
⇒
=
− +
+ +
=
− +
+ +
x x y
y
y y
x x
y y
y y
x x x
x
2 2
2 2
2 2
2 2
2010 2010
2010 2010
2010 2010
2010
2010 2010
2010
T = x2009 + (-x)2009 = 0
2 Ta có (y2 - y) + 2 ≥ 0 ⇒ 2y3≤ y4 + y2
⇒ (x3 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x2 + y2) + (y4 + x3)
mà x3 + y4≤ x2 + y3 do đó
x3 + y3 ≤ x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2≥ 0: y(y + 1)(y - 1)2≥ 0
⇒ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ≥ 0
⇒ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ≥ 0
⇒ (x2 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x + y) + (x3 + y4)
0.5 0.5
0.5 0.5
0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 5mµ x2 + y3≥ x3 + y4
⇒ x2 + y2≤ x + y (2)
vµ (x + 1)(x - 1) ≥ 0 (y - 1)(y3 -1) ≥ 0
x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 ≥ 0
⇒ (x + y) + (x2 + y3) ≤ 2 + (x3 + y4)
mµ x2 + y3≥ x3 + y4
⇒ x + y ≤ 2
Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:
x3 + y3≤ x2 + y2≤ x + y ≤ 2
0.25 0.25 0.25 0.25