Cho O,1cm và O1 lần lượt là đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp hình thang cân MNPQ MNPQ có đáy là MQ, NP .Gọi E là trung điểm của MN ,biết O1E = 4cm... Suy ra được I thuộc đường tròn cố địn
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐIỆN BÀN
NĂM 2010 -2011 (VÒNG 2)
Bài 1: Tìm số mnp biết mnp mn np pm= + +
Bài 2 : Tìm một số tự nhiên trong khoảng từ 4000 đến 5000 biết khi chia nó cho 9 và 6 cùng dư
3 và chia nó cho 25 thì dư 19
Bài 2 :
1 Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2
A
1 3 4
2 Cho hàm số y = y=( 4+ 7x x− 4− 7) 2 1− + 2−x có đồ thị là đường thẳng (d)
a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến
b) Xác định hàm số đồ thị của nó là đường thẳng (d1) song song với (d) và cách gốc tọa
độ O một khoảng bằng 2
3 Tìm y biết y4 – 3y3 – 6y2 + 3y +1 = 0
Bài 3 :
1 Cho đường tròn (O, R) và điểm A sao cho OA = R 2 , đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại
M ,N Gọi I là trung điểm MN
a) Chứng tỏ I chuyển động trên 1 đường tròn cố định với giới hạn là 2 điểm B ,C thuộc (O) b) Tứ giác ABOC là hình gì
c) Tìm vị trí của (d) để AM+AN lớn nhất
2 Cho (O,1cm) và (O1) lần lượt là đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp hình thang cân MNPQ( MNPQ
có đáy là MQ, NP ).Gọi E là trung điểm của MN ,biết O1E = 4cm Tính SNMPQ
Trang 2BÀI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐIỆN BÀN
NĂM 2010 -2011 (VÒNG 2)
Bài 1: Tìm số mnp biết mnp mn np pm= + + (1)
Từ (1) ta có :
mn p mn np pm mn mn p n p pm
Từ (1) ta cũng có
99
99
mn
pm
≤
≤
mnp ≤297=> m =1 hoặc m = 2 (3)
Mặt khác ta có VT = 11( m +n + p) Nên mnp M 11 m + p – n M11 (4)
Cũng từ (1) ta có m + n có tận cùng 0 Nên m + n =10 (5)
Từ (2) ,(3),4) và (5) Suy ra được (m ; n ; p) ∈{ (1;9;8) } ( vì 1≤ m, n , p ≤9 )
Vậy số cần tìm là 198
Bài 2 : Tìm một số tự nhiên trong khoảng từ 4000 đến 5000 biết khi chia nó cho 9 và 6 cùng
dư 3 và chia nó cho 25 thì dư 19
Gọi a là số tự nhiên cần tìm
Thế thì a – 3 M 9 và a – 3 M 6 a – 3 ∈ BC(18) nên a = 18k +3 ( k ∈N)
Và a + 6 M 9 và a + 6 M 25 a + 6 ∈ BC(225) nên a =225h – 6 ( h ∈N)
Suy ra 225h - 18k = 9 25h – 2k = 1 25 1 12 1
Để k thuộc N ta phải có h – 1 = 2d h = 2d +1 (d ∈ N)
Khi h = 2d +1 lúc đó a = 225(2d +1) – 6 = 450d + 219 mà 4000< a≤ 5000
Hay 4000< 450d + 219≤ 5000 8 < d ≤ 10 d ∈{ 9 , 10 } (1) Khi d = 9 h = 2.9 + 1 = 19 a= 225.19 – 6 = 4269
Khi d = 10 h = 2.10 + 1 = 21 a= 225.21 – 6 = 4719
Vậy số cần tìm là 4269 hoặc 4719
Bài 2 : 1 Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2
A
1 3 4
Ta có thay a = 1 3
4 và biểu thức A ta có
Trang 3( ) ( ) ( ) ( )
1
2 Cho hàm số y=( 4+ 7x x− 4− 7) 2 1− + 2−x có đồ thị là đường thẳng (d)
a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến
b) Xác định hàm số đồ thị của nó là đường thẳng (d1) song song với (d) và cách gốc tọa
độ O một khoảng bằng 2
Ta có
Đăt B= 4+ 7 − 4− 7 lúc đó ta có B2= 4+ 7 4+ − 7 2 4− ( − 7 4)( + 7)
B2 = 2 B = ± 2 mà B > 0 Suy ra B = 2
Suy ra hàm số y = 2 2 1x − + 2−x = x + 2 -1
Vậy hàm số trên đồng biến ( vì a = 1 > 0)
b) Gọi pt đt cần tìm là (d1) : y =ax + b
Do (d1) // d a = 1 lúc đó (d1) : y =x + b
Mà đồ thị (d1) : y =x + b cắt trục Ox tại -b và cắt trục Oy tại b Và gốc O cách (d1) một khoảng bằng 2 Nên ta có 2 2 2 2 2
2 = b + b ⇔ =4 b ⇒b = ⇒ = ±b
− Vậy (d1) : y =x + 2 2 hoặc (d1) : y =x - 2 2
3 Tìm y biết y4 – 3y3 – 6y2 + 3y +1 = 0 (2)
Nhận thấy y = 0 không là nghiệm của pt
Chia 2 vế pt (2) cho y2 ta được y2 – 3y – 6 + 3
y + 2
1
y
Trang 4M N
O
B I
A
Q
O1
O
N
P
M
I
J
K
E
Đặt t = y - 1
y ( ĐK t ≥ -2) từ đó suy ra t2 - 3t – 4 = 0 t = -1 hoặc t = 4 Khi t = -1 ta có y2 + y – 1 = 0 y1,2 = 1 5
2
− ±
Khi t = 4 ta có y2 - 4y – 1 = 0 y3,4 = 2± 5
Bài 3 :
1 Cho đường tròn (O, R) và điểm A sao cho OA = R 2 , đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại
M ,N Gọi I là trung điểm MN
a) Chứng tỏ I chuyển động trên 1 đường tròn cố định với giới hạn là 2 điểm B ,C thuộc (O) b) Tứ giác ABOC là hình gì
c) Tìm vị trí của (d) để AM+AN lớn nhất
a) Ta có OI ⊥ MA ( đường kính vuông góc dậy )
hay góc AIO = 900 Suy ra I thuộc đường tròn đường kính OA ,
Mà O , A cố định
Suy ra được I thuộc đường tròn cố định đường kính OA
Vẽ đường tròn đường kính AO cắt (O) tại B và C
Khi d là tiếp tuyến của (O) lúc đó I trùng B hoặc trùng C
Do B,C thuộc (O) và thuộc đường tròn cố định đường kính AO
Suy ra I thuộc đường tròn cố định thuộc cung BC
b) Tứ giác ABOC là hình vuông
Vì OAB , AOC là các tam giác vuông Nên tính được AB = AC = R
Suy ra ABOC là hình thoi
Mà ABO = 900 Suy ra ABOC là hình vuông
c) Ta có AM + AN = 2AI ≤ 2AO ( AO không đổi )
Suy ra AM +AN lớn nhất bằng 2AO khi d chứa đường kính của (O)
2 Cho (O,1cm) và (O1) lần lượt là đường tròn nội tiếp , ngoại tiếp hình thang cân MNPQ( MNPQ
có đáy là MQ, NP ).Gọi E là trung điểm của MN ,biết O1E = 4cm Tính SNMPQ
Nhận thấy ∆O1EO ~∆EOK(OK là khoảng cách từ O đến MN)
1
O E EO
O E.OK
EO =OK ⇔OE = = 4 1 = 4 OE= 2cm
SNMPQ= (MQ NP IJ) 4 .IJ 4.2.2
8
OE
+