CD DAY SO

điều này vô lý.. Ta có điều phải chứng minh.

Chuyên đề đại số 9

dãy số có quy luật

*******************

Ngời biên soạn : Tạ Phạm Hải

Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà , Thái bình

Chú ý : Có bốn cách thông thờng để làm loại toán này

- Cách 1 : Truy toán

- Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát

- Cách 3 : Dùng quy nạp toán học

- Cách 4 : Đa về tính ngiệm của một phơng trình

- Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học

-Ví dụ 1 : Cho A = 2 + 2 + 2 + + 2 có 100 dấu căn

Chứng minh A không phải là một số tự nhiên

Giải :

Dễ tháy A > 1 Sau đây ta chứng minh A < 2

Thật vậy 2+ 2 < 2 2 + = 4 2 =

2 + 2 + 2 < 2 2 + = 4 2 =

Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A∉ N ( dpcm )

Cách giải này thờng đợc gọi là truy toán

Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau

Với n là số tự nhiên lớn hơn 1

Giải : Xét số hạng tổng quát

1 1

n n

n n

n n

− −

− +

Trang 2 = ( 2 1) ( 3 − + − 2) ( 4 + − 3) ( + + n − n − 1)

= n − 1

Nh vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại đợc một bài toán

Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có

+ < 2

Giải : Xét số hạng tổng quát ta có :

n

n n n n

.

= 2 2

1

n − n

+ Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng

Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức

Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần

Giải : Nhận xét B > 2

Ta thấy : B2 = + 5 13 + 5 + 13 + 5 + 13 +

⇒ ( B2 – 5 )2 = 13 + B

⇔ B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B

⇔ B4 – 10 B2 – B + 12 = 0

⇔ B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0

⇔ B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0

⇔ ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0

⇔ ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0

Vì B > 2 nên B2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B2 – 1) – 1 > 11

do đó B – 3 = 0 Vậy B = 3

Trang 3

Cách giải của ví dụ 4 gọi là đa về tính ngiệm của một phơng trình

Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức

C = + + + + + + + + + + + +

Giải :

Xét số hạng tổng quát : 12 1 2

1

( 1)

+ với k là số nguyên dơng , ta có :

2

= +  ữ  + ữ +  ữ  ữ − ữ  − ữ

 + − − 

Vậy :

2

Nên :

áp dung vào bài

= + − + − + − + − + − = − =

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có

4 + 4 + 4 + + 4 < 3

Giải :

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học

Với n = 1 ta có D1 = 4 2 = < 3 Đúng

Trang 4 Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :

k

k

B = 1 4 4 44 2 4 4 4 43 + + + + < 3 là đúng

Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1

1

k

k

B +

+

= 1 4 4 44 2 4 4 4 43 + + + + = 4+B k

Vì Bk < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = 4+B k < 4 3 + < 3 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 Do đó bài toán đúng với mọi n

Ví dụ 7 : Cho biểu thức

A = − + + + +

ở đó trên tử có 100 dấu căn , dới mẫu có 99 dấu căn

Chứng minh A > 1

4

Giải :

Đặt : an = 2 + 2 + 2 + + 2 có biểu thức có n dấu căn

Ta có : an2 = + 2 an−1 ⇒ an−1 = − an2 2 và 100

99

2 2

a A

a

−

=

−

Vậy :

A

Sau đây ta c/m a100 < 2 bằng truy toán

Ta có a1 = 2 < 2 đúng

a = + = + a < 2 2 + = 4 2 =

a = + + = + a < 2 2 + = 4 2 =

a = + a < 2

Trang 5 Vậy : a100 + 2 < 2 + 2 = 4 , nên :

100

1

2 a + >

1 4

Từ đó A > 1

4 ( dpcm )

Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học

Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :

2 3 4 5 6 2003 2004 < 3

Giải :

Đặt : ak = k k ( + 1) ( k + 2) ( n − 1) n Với n > k

và n và k là những số nguyên dơng Ta chứng minh ak < + k 1

Phản chứng :

Giả sử ak ≥ + k 1 thì theo cách đặt trên ta có :

2 2

a

k

1

2

k k

với mọi số nguyên dơng k , tức là 2002 2003 2003> phải đúng

điều này vô lý Vậy ak ≥ + k 1 là sai Vậy ak < + k 1 là đúng

Do đó a2 < 3 Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phơng trình

Giải :

Dễ thấy x = 0 là một ngiệm

Nếu x = 1 , ta có :

Trang 6

1 2 1 2 1 2 1 2 3.1 + + + + + > + = 1 2 3 1 > Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phơng trình

Nếu x = 2 , ta có :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 + + + + + + > 2 2 2 + =

Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phơng trình

Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có :

2 x + 2 3 x do x = 3 nên 2 x + 2 3 x = 2 3 2 3.3 2 9 6 + = =

Căn tiếp theo sẽ là :

2 x + 2 x + 2 3 x = 2 3 2 3 2 3.3 + + = 2 3 6 6 + =

và quá trình nh vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có :

3 2.3 3 + = đúng Vậy x = 3 là một ngiệm của phơng trình Nếu x > 3 , thì

2

⇔ x2 = x + 2x

⇔ x2 – 3x = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3

Nhng do x > 3 nên trong trờng hợp này phơng trình vô ngiệm Vậy phơng trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3

Trang 7

Bài tập luyện tập

dãy tính có quy luật

Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau

a ) A= 2+ 2+ 2+ 2 + vô hạn dấu căn

b ) B = 6 + 6 + 6 + 6 + vô hạn dấu căn

Bài 2 : Chứng minh rằng :

n

C = 1 4 4 44 2 4 4 4 43 + + + + <

b ) 3 6 3 6 3 6 3 6 2

n

D = 1 4 4 44 2 4 4 4 43 + + + + <

Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :

n

n

T = 1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43 a + a + a + + a ≤ + a ; Với n ∈ Z+

Bài tập 4 : Chứng minh rằng

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 + + + + ( n 1) n n n 1 <

với mọi số nguyen dơng n

Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng và n > 1 , ta đều có

n

Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau

Bài 7 : Chứng minh rằng

không phải là một số tự nhiên

Trang 8

Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :

1 + 2 + 3 + 4 + + n ≥ n , với mọi n ∈ Z+

Bài 9 : Cho 100 số : a a a a1, 2, 3, 4, , a100 là 100 số tự nhiên sao

cho ta có :

a + a + a + a + + a = Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau

Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức

2003 3(1 2) 5( 2+ 3) 7( 3+ 4)+ + 4003( 2001 2002) <

Bài 11 : Chứng minh rằng :

1 2 + 2 3 + 3 4 + + 2002 2003 < 2

Bài 12 : Chứng minh rằng :

2 2

4 9 16

n n

− + + + + , ∀ n ∈ N và n > 1 không phải là một số nguyên

Bài 13 : a ) Chng minh rằng ∀ n ∈ Z+ ta đều có

( 1)

< < +

+

b ) áp dụng chứng minh

< + + + + + <

Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phơng trình

y

x + x + x + x + + x = z

1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43

vế trái có y dấu căn