đờng phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại D.. Xét đờng tròn 0 thay đổi nhng luôn đi qua điểm A ,D và không tiếp xúc với các đờng thẳng AB, AC đờng tròn này cắt các đờng thẳng AB ,
Trang 1UBND huyện Lục Ngạn
Phòng giáo dục và đào tạo Đề khảo sát đội tuyển HSG cấp tỉnh
Năm học 2009-2010
Môn : Toán 9
Thời gian l m b i: 150 phút à à
Ngày kiểm tra: 8/3/2010
−
+ +
−
−
−
+
a a a a
a a
4 1
1 1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4− 15
Câu 2: (3 điểm)
1 Cho phơng trình: x2−mx− =4 0 (1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2 2
1 2
2(x x ) 7
A
x x
+ +
=
c) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm nguyên
2 Giải hệ phơng trình sau:
6 y
5 x 4
xy
8 10 7 x
3 2 y
1 y
5 1 x 1
= +
−
= +
− +
−
Câu 3 (1 điểm)
Chứng minh rằng số: P = n6 n – 4 + 2n3 + 2n2 trong đó n ∈ N v n > 1 không à phải là số chính phơng
Câu 4 (3 điểm)
Cho ∆ABC đờng phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại D Xét đờng tròn (0) thay đổi nhng luôn đi qua điểm A ,D và không tiếp xúc với các đờng thẳng
AB, AC đờng tròn này cắt các đờng thẳng AB , AC tơng ứng tại M ,N Gọi K là giao điểm các đờng thẳng vuông góc với DM tại M và đờng thẳng vuông góc với
DN tại N
a Chứng minh: Điểm K nằm trên đờng tròn (O).
b Chứng minh: K luôn thuộc một đờng thẳng cố định
c Xác định vị trí của đờng tròn (O) để đoạn MN nhỏ nhất
Câu 5 ( 1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y3 + xy, Biết rằng: x + y = 1.
……… Hết ………
UBND huyện Lục Ngạn
bài khảo sát đội tuyển HSG cấp tỉnh
năm học 2009 - 2010
Môn : Toán 9
chú
b Tính đợc
Trang 2F K
E
N
M
O A
a =
(4 15) 2.( 5 3) 4 15 (4 15).( 5 3).( 5 3) 2.(4 15).(4 15) 2
Vậy P = 8
0,75
2
1
a) Ta có phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có
2 16 0
m
∆ = + > với mọi m => Đ.P.C.M b) Theo định lý vi – et ta có: 1 2
1 2 4
x x
+ =
= −
Vậy P = 2 2 7
8
m m
+ + Xét P – 1 = 2
2
( 1) 8
m m
−
− + ≤ 0 => P ≤ 1 => P lớn nhất bằng 1
đạt đợc m = 1 c) Để phơng trình (1) có nghiệm nguyên thì ∆ =m2+16
là số chính phơng ∆ =m2+16 = k2 (k – m).(k + m) = 16
k - m, k + m là ớc của 16 Lại do k – m và k + m là hai
số cùng tính chẵn, lẻ => ta có bảng sau
Thử lại ta có các giá trị cần tìm của m thoả mãn đề bài là:
m = -3; m = 0; m = 3
0,5
0.75
2
d) Biến đổi hệ phơng trình thành:
1 1
3
4 5
6
x y
x y
+ =
+ =
Giải hệ này đợc:
1 9 1 6
x y
=
= −
0,25
0,5
3
P = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2.(n + 1)2.(n2 -2n +2) Giả sử n2 - 2n + 2 = k2 Giải ra ta có n = 1 trái đề bài n
> 1 Vậy P không thể là số chính phơng với mọi số tự nhiên n, n > 1
0.5
4
a
Do DMK =90 & DNK =90 ( )gt mà D thuộc (O) nên DK
là đờng kính của (O) => K thuộc đờng tròn (đpcm)
1
3
b Theo CM trên ta có ãDAK =900(Góc nội tiếp chắn nửa đờng
tròn) => KA AD⊥ Mà AD cố định => K thuộc đờng thẳng cố 1
Trang 3định vuông góc với AD
c
Kẻ DE; DF lần lợt vuông góc với AB; AC
CM đợc ∆DEF: ∆DMN
EF = DE ≥ (Vì DM ≥DE) => MN ≥ DE Mà DE cố
định => MN nhỏ nhất M trùng E (O) nhận AD là
đờng kính
0,5
0,5
5
Ta có:
P = (x + y).(x2 - xy + y2) + xy = (x + y)(x y+ )2−3xy + xy
1
2 => P nhỏ nhất bằng 1
2
0,5