tìm hai số tự nhiên biết: a Tổng của chúng bằng 66, ƯCLN của chúng bằng 6 đồng thời có số chia hết cho 5.. BCNN gấp 6 lần ƯCLN.. tổng của ƯCLN là BCNN của chúng là 84.
Trang 1Số nguyên tố Hợp số –
(Kí hiệu P là tập hợp các số nguyên tố)
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2, p + 4 đều là các số nguyên tố.
Hớng dẫn: + Nếu p = 2 => p + 2 = 4 ∉ P (loại)
+ Nếu p = 3 => p + 2 = 5 ∈ P , p + 4 = 7 ∈ P
+ Nếu p > 3 => vì p nguyên tố nên p M 3 => p = 3k + 1; p = 3k + 2(k ∈N) Trờng hợp: p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) M 3
mà p > 3 nên p là hợp số
Trờng hợp: p = 3k + 2 => p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) M 3
mà p > 3 nên p là hợp số
=>không có giá trị nguyên tố p lơn hơn 3 nào thoả mãn
Vậy p = 3 là giá trị duy nhất cần tìm
Bài tập tơng tự: Tìm số nguyên tố p sao cho
a) p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố
a) p + 2, p + 6, p + 8,p + 12 và p + 14 cũng là số nguyên tố
Bài 2: Chứng minh rằng:
HD: a) Mọi số tự nhiên lớn hơn 2 đều có thể viêt đợc dới 1 trong các dạng: 4n – 1, 4n, 4n + 1;4n + 2 (vì n∈N*)
vì 4n M 2 ; 4n > 2 (vì n∈N*), vì 4n + 2 M 2 ; 4n + 2 > 2 (vì n∈N*)
Nên các số có dạng 4n hoặc 4n + 2 vì 4n M 2 ; 4n > 2 (vì n∈N*) là hợp số
Bài 3: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng: (p - 1)(p + 4) M 6
Hớng dẫn: + CM: (p - 1)(p + 4) chia hết cho 2, 3.
+ p là số nguyên tố lớn hơn 3=> p có dạng 3k + 1, 3k + 2
Bài 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3
a) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố c/m 4p + 1 là hợp số
d) và p + 2 cũng là số nguyên tố c/m p + 1 M 6
e) và 8p - 1 cũng là số nguyên tố c/m 8p + 1 là hợp số
HD: a) p ∈P, p > 3 =>3k + 1, 3k + 2 (k∈N*)
T.Hợp: p = 3k + 1 => 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1= 6k + 3 M 3 (loại)
Và 2p + 1 > 3 => 2p + 1 là hợp số
T.Hợp: p = 3k + 2 => 4p + 1 = 4(3k + 1) + 1 = 12k + 9 M 3 (loại)
Và 4p + 1 > 3 => 4p + 1 là hợp số
Bài 5* Cho n ∈ N , n > 1 CMR n4 + 4 và n4 + n2 + 1 là hợp số
Bổ sung bài 4: g) cm: (p - 1)(p + 1) 24
Bài 6: Cho p1, p2 là 2 số nguyên tố lẻ liên tiếp, p1 > p2
c/m
2
2
1 p
1 2
2 1
2 p p p
p < + <
===========================
c, bc, cln, bcnn
Bài 1: tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a d 24, còn 363 chia a d 43
HD: 240 a (a > 24); 320 a (a > 43)
=> a ∈ ƯC(240,320) và a > 43 => a = 80
Bài tập tơng tự:
Trang 2Bài 2:Một số tự nhiên chia cho 3 d 1, chia cho 4 d 2,chia 5 d 3, chia 6 d 4, chia hết cho
13
a) tìm số nhỏ nhất có tính chất trên?
b) Tìm dạng chung của tất cả các số có tính chất trên?
HD: a) gọi x là số phải tìm =>x + 2 ∈ BC(3,4,5,6) = B(60) =>x + 2 = 60n (n ∈N*) Lần lợt cho n = 1; n = 2; n = 10 thì 598 13 số cần tìm là 598
b) các số có tính chất trên thoả mãn 2 điều kiện:(x + 2) 60 và x 13
=> x + 182 60, x + 182 13=>x + 182 60.13 = 780 (vì (13, 60) = 1)
=> x + 182 = 60.k => x = 780k -182 (k ∈N*)
Bài tập tơng tự
1) Một số tự nhiên chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều d 1 và chia hết cho 7
a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên?(Đs: 301)
2) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, 7, 9 có số d theo thứ tự là 3, 4, 5(Đs 158)
3) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, 4, 5 có số d theo thứ tự là 1; 3; 1(đs: 31)
Bài 3 Tìm 2 số tự nhiên có tổng bằng 432 và ƯCLN của chúng là 36
HD: gọi 2 số tự nhiên cần tìm là a và b
=> a + b = 432, (a, b) = 36; a = 36.a1, b = 36.b1, (a, b) = 1
=> 36(a1 + b1) = 432 => a1 + b1 = 12
Vì (a1, b1) = 1, a1 + b1 = 12, ta có bảng giá trị sau:
Từ đó tìm đợc a, b => kết luận bài tập
Bài tập tơng tự: 1 tìm hai số tự nhiên biết:
a) Tổng của chúng bằng 66, ƯCLN của chúng bằng 6 đồng thời có số chia hết cho 5 b) Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 12
c) Tích của chúng bằng 864, ƯCLN của chúng bằng 6
ĐS: a) 30 và 36; 60 và 6; b) Hai số phải tìm có dạng 12k và 12m(k - m=7,(k, m) = 1) c) 6 và 144; 18 và 48
Bài 4: Biết BCNN(a, b).ƯCLN(a,b) = a.b
a) BCNN của 2 số là 600, ƯCLN của chúng bằng
10
Tìm số thứ hai
b) ƯCLN của 2 số là 12 BCNN gấp 6 lần ƯCLN Số thứ 1 là 24 tìm số thứ 2
c)Tổng 2 số bằng 60 tổng của ƯCLN là BCNN của chúng là 84 tìm 2 số đó
ĐS: a)300, b) 36, c) 24 và 36
Ghi số, đếm số
Bài 1: Để đánh số trang một cuốn sách ngời ta dùng tất cả 1992 chữ số Hỏi cuốn sách
đó có bao nhiêu bao nhiêu trang? Chữ số thứ 1000 ở trang nào, là chữ số là gì?
HD: a) từ 1 - 9 cần 9 chữ số
10 - 99 cần 90 x 2 = 180 c/s
100 - 999 cần 900 x 3 = 2700 c/s
Ta có 189 < 1992 < 2700 => Số trang sách là số có 3 c/s Số các c/s còn lại để viết các
số có 3 c/s là:1992 - 189 = 1803
1803 : 3 = 601 => với 1803 c/s này ta viết đợc 601 số có 3 c/s đầu tiên
=>Cuốn sách có 99 + 601 = 700(trang)
b) Vì 189 < 1000 < 1992 nên chữ số thứ 1000 thuộc trang có 3 chữ số
Ta có 1000 - 189 = 811 = 3 270 + 1 nên với 811 chữ số này viết đợc 270 số có 3 chữ
số đầu tiên còn d 1 chữ số, viết tiếp sang số có 3 chữ số thứ 271 vậy chữ số thứ 1000 nằm ở trang thứ 99 + 271 = 370 và là chữ số 3
Bài tập tơng tự: Bài 1:(Bài 238/52(NCPT tập 1))
Xem các ví dụ: 43/49, 44/9, 45-> 47/50,51.(NCPT tập 1)
Bài 2: Viết các số từ 1 đến 9999 cần dùng bao nhiêu chữ số 1
Trang 3HD: Để chữ số 0 có vai trò bình đẳng với các chữ số khác ta coi các số 00000,00001,00002, cũng là các số có 5 chữ số
Do đó từ 00000 đến 99999 có 100 000 số gồm 5.100 000 = 500 000
Trong đó chữ số 1 chiếm 1/10 =>1/10 500 000 = 50 000(c/s)
Bài tập:234,235,236/52(NCPT tập 1)
====================
dãy số
Bài 1 : Cho dãy số:1; 5; 9; (1)
a) Tìm số hạng thứ 2006 của dãy trên
b) Số 392 541; 9 869 715; 86 743 266 có thuộc dãy trên không?
HD:
a) 1 = 4.0 + 1; 5 = 4.1 + 1; 9 = 4.2 + 1; 13 = 4.3 + 1; 17 = 4.4 + 1;
=> số hạng thứ n: 4n + 1;
Số hạng thứ 2006 là: 4.2006 + 1 = 8025
b) 392 541 chia cho 4 d 1=> 392 541 thuộc dãy (1)
9 869 715 chia cho 4 d 3=> 9 869 715 không thuộc dãy (1)
86 743 266 chia cho 4 d 2=>86 743 266 không thuộc dãy (1)
Bài tập tơng tự:230/49; 229/48; 231, 232, 233/49(NCPT tập 1)
========================
Chứng minh bằng qui nạp
Bài 1:CMR: 32n + 2 – 2n + 1
7 , mọi n ∈ N*
HD: Với n = 1 ta có: 32.1 + 2 – 21 + 1 = 81 – 4 = 77 , 77 7
Vậy mệnh đề đúng với n = 1
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k>1) nghĩa là ta có:
32k + 2 – 2k + 1
7 (2) + Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 nghĩa là ta phải chứng minh:
32(k + 1) + 2 – 2(k + 1) + 1
7
Ta có: 32(k + 1) + 2 – 2(k + 1) + 1 = 9.32k + 2 –2 2k + 1 = 7 32k + 2 + 2(32k + 2 – 2k + 1 ) Vì 7 32k + 2 7; (32k + 2 – 2k + 1 ) 7 (theo 1)
=> ta có điều phải chứng minh là (2)
Vậy 32n + 2 – 2n + 1
7 , mọi n ∈ N*
Bài tập tơng tự: chứng minh rằng
1 9.10n + 18 27;
2.62n + 19n – 2n+1
17
3 92n + 14 5(n ∈ N)