Tong hop BDHSG Quang Hiệu đây.doc

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức.. Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số b

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?

- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?

III Bài mới

A – Lí thuyết

1) Định nghĩa bất đẳng thức.

a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a – b < 0

a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a – b > 0

a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a ≤ b, nếu a - b ≤ 0

a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a ≥ b, nếu a - b ≥ 0

  dấu “=” xảy ra khi a = b.

*) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có

(a 2 + b )(x 2 2 + y ) (ax by) 2 ≥ + 2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)

Bài làm :

Xét hiệu (a 2 + b )(x 2 2 + y ) (ax by) 2 − + 2

= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - b2y2 – 2byax

= (ay – bx) ≥ 0

VËy: (a 2 + b )(x 2 2 + y ) (ax by) 2 ≥ + 2

dÊu “=” x¶y ra khi ay = bx hay ax = by

*) Bµi tËp 3: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng :

Hớng dẫn:

Xét hiệu : H =

2 2

=

4

) 2

( ) (

2 a2 +b2 − a2 + ab+b2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

1 a2 + b2 −a2 −b2 − ab = a−b 2 ≥ Với mọi a, b Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ? Giải bài tập 46/SBT

- HS2: Giải bài tập 7 (tiết trớc)

- HS3: Giải bài tập 45/SBT

III Bài mới

2 Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức

*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện

dấu “=” xảy ra khi x = y

- Từ (1) và (2) x4+y4 ≥2 dấu“=” xảy ra khi x = y = 1

(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d Bài làm :

*) Học sinh tự luyện tại lớp các bài tập sau:

*) Bài tập 6 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến

đổi tơng đơng và dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Giải bài tập 10 câu a

- HS2: Giải bài tập 10 câu b

1 1

+

+ + b a

Dùng phép biến đổi tơng đơng

3(a + 1 + b + 1) ≥ 4(a + 1) (b + 1)

 9 ≥ 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)

 9 ≥ 4ab + 8  1 ≥ 4ab  (a + b)2 ≥ 4ab

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh

a ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải :

Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3 3

 3a2 - 6ab + 3b2 = 3(a2 - 2ab + b2) ≥ 0  3 a b( − )2 ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :

3 3

Dấu “=” xảy ra  a = b

*) Bài tập 4 :

Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 CMR a3 + b3 + ab ≥

2 1

Giải :

Ta có : a3 + b3 + ab ≥

2

1 <=> a3 + b3 + ab -

2

1

≥ 0 <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab -

2

1

≥ 0 <=> a2 + b2 -

2 1

≥ 0 Vì a + b = 1

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

2 1

4 Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,

- Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 ≥ 2xy

Với a, b > 0 , + ≥ 2

a

b b a

*) Bài tập 7 :

Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:

> 2

+

+ +

+

c a

c

b c

b a

Giải

áp dụng BĐT Cauchy , ta có :

a + (b + c) ≥ 2 a(b+c) 

c b a

a c

b

a

+ +

≥ +

2Tơng tự ta thu đợc :

c b a

b a

c

b

+ +

≥ +

2 ,

c b a

c b

a

c

+ +

≥ +

2

Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng )

+

+ +

+

c a

c

b c

b a

y x

≤ + + + + +b 1 b c 1 c a 1 1 1 1 a b 2 b c 2 c a 2

a

a b + + b c + + c a + ≤ 3.(2a 2b 2c) 6 + + =

=> a+b+ b+c + c+a ≤ 6

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

2

1 ≤ + + c

c

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

2 1

1 1 1

) 1 1 1 (

c b

a+ + .1 = (1 1 1)

c b

a+ + .(a + b + c)

=1 + + + + 1 + + + + 1

b

c a

c c

b a

b c

a b a

= 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥

c

a a

c b

c c

b a

b b

a

3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 1+1+1≥ 9

c b a

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

*) Bài tập 11:

Cho x , y > 0 Chứng minh rằng :

y x y

4 1 1

=> (x + y)(

y x

1

1 + ) ≥

xy

2(x+y) = 2xy 2 xy = 4 => 1x+1y ≥

y

x+ 4

IV Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài tập đã chữa

c + a ≥ 2(c + a) dấu "=" ⇔ b = c + a

b (c + a ) a + b + c

b + c ≥ 2(b + c) dấu "=" ⇔ a = b + c

a (b + c ) a + b + c

cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh

Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì khi đó

a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nên a + b + c = 0 (trái với giả thiết a, b, c > 0)

- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của

tam giác trong tam giác ABC

- HS2: Với x, y > 0 CMR: 1 1 4

x + y ≥ x y+ Dấu “=” xảy ra  x = y

III Bài mới

5 Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác

a , b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ⇔a < b + c (1)

c b

Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0

áp dụng bài toán trên ta có:

c b p a p b p a

p

4 ) ( ) (

4 1

− +

4 1

p c p a

=> điều phải chứng minh

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

A

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

MD = MA Dễ dàng chứng minh đợc

Kéo dài BI cắt AC tại K

Xét ∆AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)

Gọi A là giao điểm của MK với Oz

Vẽ AB⊥ Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với M

Xét ∆KOA vuông tại K và ∆BOA vuông tại B có:

OA là cạnh chung

ãBOA KOA= ã (Oz là tia phân giác)

Do đó ∆KOA = ∆BOA( cạnh huyền – góc nhọn )

B

z

yO

H

KA

C I

B

Xét ∆AMB có BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác)

Do đó BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK

Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)

Suy ra MH < MK (Điều phải chứng minh)

*) Bài tập 7:

Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của BAC ( D ∈ BC).M là điểm

nằm trên đoạn thẳng AD Chứng minh: MB – MC < AB – AC

A

ME

C

Suy ra x =

2

a c

; y =

2

b c

a+ −

; z =

2

c b

a + −

Vì x, y, z > 0 =>

2

a c

b + − > 0 ;

2

b c

a + − > 0 ;

2

c b

a + − > 0 => a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Kĩ năng

- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của

tam giác trong tam giác ABC

- HS2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, thoả mãn:

a + b + c = 2 Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1

III Bài mới

6 Phơng pháp 5 : Chứng minh phản chứng

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất

đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra

*) Bài tập 1:

Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai :

2a(1 - b) > 1 3b(1 - c) > 2

Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

2

1 2

1 )

1

( −a ≤ a+ −a =

a => a(1 - a) ≤

4 1

Tơng tự : b(1 - b) ≤

4 1

c(1 - c) ≤

4 1

d(1 - d) ≤

4 1

Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

+1+ +1+ +1 < 6

a

c c

b b

a

 ( +1) + ( +1) + ( +1) < 6

c

c b

b a

+ + + + + ≥ Điều này mâu thuẫn với (1)

Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên => đpcm

ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 Vô lý

Vậy : a + b ≤ 2

7 Phơng pháp 6 : Đổi biến số

- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng

đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải

+ +

+

c a c

b c

=> a =

2

x z

, b =

2

y x

, c =

2

z y

Khi đó :

VT =

a b

c a c

b c b

a

+

+ +

+

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

2

3 ) ( 2

1 ) ( 2

1 ) ( 2

z

y y

z z

x x

z y

x x y

*) Bài tập 2:

Cho a, b, c > 0 ; a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng :

9 2

1 2

1 2

1

2 2

+

+ +

+ + bc b ca c ab

Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 +1 +1) ≥ 9

z y

x (Theo bất đẳng thức Côsi )

=> 1x + 1y + 1z ≥ x y z9

+ +

Mà : 0 < x + y + z ≤ 1 nên suy ra 1+ 1 +1 ≥ 9

z y

8 Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên

*) Bài tập : Cho a > b > 0 CMR:

Nên khi m =1996, n =1995 thì bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng

9 Phơng pháp 8: Dùng phép quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n ≥ n0 bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ≥ n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n ≥ n0

*) Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ≥ 3 thì

2n > 2n + 1 (*)

Giải :

+ Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3

+ Giả sử (*) đúng với n = k (k ∈ N ; k ≥ 3) , tức là : 2k > 2k + 1

+ Ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 (k ∈ N ; k ≥ 3)

- Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )

do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0)

Vậy (**) đúng với mọi k ≥ 3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n ≥ 3

1 +

n (*) (n là số nguyên dơng ) Giải :

+ Với n = 1 , ta có : VT = VP =

2

1 Vậy (*) đúng với n = 1 + Giả sử (*) đúng với n = k ≥ 1 (k N ∈ )ta có :

2

1.4

3.6

5

3.6

5

3.6

5

1

+

1 2 +

+

k

k

≤ 3(k1+1)+1 (**) (t/c bắc cầu) Dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có :

- Xem lại các bài đã chữa

- GV giới thiệu thêm một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khác nh phơng pháp làm trội, tam thức bậc hai,… và những ứng dụng của bất đẳng thức để giải các dạng toán khác Đề nghị học sinh có thể tìm hiểu thêm ở sách tham khảo hoặc sau này sẽ bồi dỡng tiếp khi có điều kiện về thời gian.

- Học sinh tích cực giải bài tập

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV:

- HS:

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

III Bài mới

I - Các phơng pháp

Phơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức

*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện 1x + 1y = 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y .

H

ớng dẫn : Vì x > 0 và y > 0 nên 1x >0; 1y >0; x >0; y >0

Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng 1x ; 1y tìm đợc xy ≥ 4

Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng x và y

Ta có: A = x + y ≥2 x y =2 4 =4

Dấu “=” xảy ra  x = y = 4 Vậy Min A = 4  x = y = 4

Phơng pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó.

*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 5 − + 7 3x −

1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau

*) Bài tập 4: Cho x > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 3x43 16

*) Bài tập 5: Cho 0 x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 9x 2

Phơng pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho

*) Bài tập 6: Cho ba số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 z2

Ta có x2 + y z x

+ ≥+

Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đợc P 1 ≥

B ≥ 8 => MinB = 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3)

Max B 2 = 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)

*) Bài tập 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 6x 5

- Xem lại các bài đã chữa, giải bài tập sau: Cho a, b, x là những số

d-ơng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x a x b) ( )

- Học sinh tích cực giải bài tập

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV:

- HS:

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Giải bài tập đã cho tiết trớc

Cho a, b, x là những số dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x a x b) ( )

III Bài mới

*) Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x 6 x 34

*) Bµi tËp 2: Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc N x3 2000

Min Q = 8 (khi vµ chØ khi x = 5 vµ y = 1 hoÆc x = - 1 vµ y = - 5)

*) Bµi tËp 5: Cho x > 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

*) Bµi tËp 7: Cho x, y, z > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = a

a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = xy + yz + zx

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x2 + y2 + z2

H

íng dÉn :

a) xy x2 y2 ;yz y2 z2 ;zx z2 x2 (theo cô-si)

B min  (xy + yz +zx ) max  xy + yz +zx = a2

3 (theo câu a) Khi đó Min B = a2 x y z a

*) Bài tập 9: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = (1 a ) 1 a ( )1 a

- Xem lại các bài tập đã chữa

- Giải bài tập sau:

*) Bài tập 10 :

Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )

1 a 1 b 1 c A

II Kiểm tra bài cũ

III Bài mới

Phần I : Lí thuyết

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng

ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x ∈Ă .

a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng

tăng lên thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm đồng biến.

(hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x 1 , x 2 trong khoảng đó sao cho x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ) ).

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm

đi thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm nghịch biến (hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x 1 , x 2

trong khoảng đó sao cho x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 )).

4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến và hàm nghịch biến.

Hàm bậc nhất số y = ax + b (a 0 ≠ ).

- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên Ă

- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên Ă

Phần II : Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số y = 2k x 1( − )2 − kx(2x 1) 5x với tham số k 1 + + ≠

a) Chứng tỏ hàm số này là hàm số bậc nhất b) Với giá trị nào của k thì hàm số đó là hàm số đồng biến ?

xÐt dÊu cña hÖ sè a trong tõng trêng hîp

o

- Theo Py-ta-go trong tam giác ABC => đpcm

Bài tập 8: Hãy xác định dạng tam giác ABC và tính diện tích của tam

giác đó biết rằng:

a) A(3 ; - 1), B(- 1 ; - 3), C(2 ; - 4) b) A(- 2 ; 2), B(0 ; 3), C(1 ; 1)

- HS2: Nêu cách tính góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

III Bài mới

với trục Oy.

b) Đồ thị hàm số y = ax (a 0≠ ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn đi qua gốc toạ độ, đờng thẳng y = ax nằm ở góc phần

t thứ I và thứ III khi a > 0; đờng thẳng y = ax nằm ở góc phần t thứ

0)

(I)

x > 0, y > 0 (II)

O X x

Y y

Y

y = ax + b (với a <

2) Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 )

3) Hai điểm đối xứng với nhau trên mặt phẳng tọa độ

A đối xứng với B qua trục hoành  x1 = x và y = - y2 1 2

A đối xứng với B qua trục tung  x1 = − x và y = y2 1 2

A đối xứng với B qua gốc O  x1 = − x và y = - y2 1 2

A đối xứng với B qua đờng thẳng y = x  x1 = y và y = x2 1 2

A đối xứng với B qua đờng thẳng y = - x  x1 = − y và y = - x2 1 2

4) Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) và điểm M (x 0 ; y 0 ) Nếu y 0 = f(x 0 ) thì M (x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) Nếu y 0 ≠ f(x 0 ) thì M (x 0 ; y 0 ) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x)

5) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0 ≠ ) và y = a’x + b’ (a' 0 ≠ )

+ Trùng nhau nếu a = a’, b = b’.

+ Song song với nhau nếu a = a’, b≠b’.

+ Cắt nhau nếu a ≠a’ Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng

trình ax + b = a’x + b’ (gọi là phơng trình hoành độ giao điểm)

+ Vuông góc nếu a.a’ = -1 .

6) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0 ≠ ) và trục Ox

Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a 0 ≠ ) cắt trục Ox tại điểm A.

Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0 ≠ ) là góc tạo bởi tia Ax và tia AT (với T là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung

độ dơng).

- Nếu a > 0 thì góc α tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc

tính theo công thức nh sau: tg α = a (cần chứng minh mới đợc dùng)

Khi đó α nhọn

- Nếu a < 0 thì góc α tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc

Bài 2: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó cắt trục tung tại

điểm P có tung độ – 1 ; cắt trục hoành tại điểm Q có hoành độ bằng 3

b) Tính diện tích tam giác ABC

HD : a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B:

Bài 8: Cho điểm A(3 ; 2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và

vuông góc với OA Tính góc tạo bởi đờng thẳng (d) và trục Ox

(d) đi qua A (3 ; 2) => b = 132

Phơng trình của (d): y = 3 x 13

Gọi α là góc tạo bởi đờng thẳng (d) và trục Ox => α ≈ 123 41' 0

Bài 9: Cho ba đờng thẳng (d 1 ): y = - 3x (d 2 ): y = 2x + 5 (d 3 ): y = x + 4

CMR ba đờng thẳng này đồng quy

HD : Tìm giao điểm M của (d 1 ) và (d 2 ) là M(- 1 ; 3)

Tọa độ điểm M thỏa mãn y = x + 4 nên M thuộc (d 3 ) Vậy ba đờng thẳng này đồng quy

Bài 10: Tìm giá trị của m để ba đờng thẳng sau đồng quy

a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến.

b) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A (3; 5) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m.

d) Xác định m để đồ thị hàm số cắt 2 trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích)

a) Để hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 luôn luôn nghịch biến với mọi giá trị của x ⇔ m - 1 < 0 ⇔ m < 1