Sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán hình học 9

Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm cảng nhiều bải tập khó, hay mả giáo viên phải biết r

= = SK 2 et =

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DAK LAK

PHONG GD & DT KRONG ANA

SANG KIEN KINH NGHIEM:

HUONG DAN HOC SINH KHAI THAC

VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SÓ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 9

Họ và tên : Nguyễn Anh Tuấn Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm

L PHAN MO DAU

1.1 Lý do chọn đề tài

~ Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tinh logic, tinh trừu tượng

cao Đặc biệt là với hinh học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logic

va phat trién tu duy sảng tạo Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ

cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm

cảng nhiều bải tập khó, hay mả giáo viên phải biết rèn luyện khả năng vả thỏi quen suy

nghĩ tìm tỏi lời giải của một bải toán trên cơ sở các kiến thức đã học

~ Qua nhiêu năm công tác và giảng dạy Toán 9 ở trường THCS Buôn Trấp tôi

nhận thây việc học toán nỏi chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nỏi riêng,

muon hoe sinh rén luyện được tư duy sảng tạo trong việc học vả giải toán thì việc cân

làm ở mỗi người thây, đỏ là giúp học sinh khai thác dé bai toán đề từ một bải toán ta

chi can thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sé co duoc bai toán phong phú hơn,

vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực trong giải toản noi riêng

va hoe toan noi chung Vi vay tôi ra sức tìm tỏi, giải và chất lọc hệ thống lại một sỏ

các bải tập mà ta có thể khai thác được đề bài đề học sinh có thê lĩnh hội được nhiều

kiến thức trong củng, một bài toán

~ Với mong muốn được góp một phan công sức nhỏ nhoi của mỉnh trong việc bôi đưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay vả cũng nhằm rèn luyện khả năng

sáng tạo trong học toán cho học sinh đề các em cỏ thê tự phát huy năng lực độc lập

sáng tạo của mình, nhằm góp phân vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh

giỏi toán của ngành giáo dục Krông Ana ngày một khả quan hơn Tôi xin cung cập và

trao đổi cùng đồng nghiệp đẻ tải kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khai thác và

phát triển một số bài toán Hình học lop 9" ' Đề tải này ta có thể bồi dưỡng năng lực

học toán cho học sinh vả cũng cỏ thể dùng nó trong việc đạy chủ đẻ tự chọn toản 9

trong trường THCS hiện nay Mong quý đồng nghiệp củng tham khảo và góp y

12 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Đây là đề tài rộng và ản chửa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình

học và đặc biệt nỏ giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nêu vẫn dé nay tiếp

tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thây cô thi chắc hắn

nó sẽ lả kinh nghiệm quy danh cho việc dạy học sinh khá giỏi Vì đây là đẻ tải rong niên

trong kinh nghiệm nảy chỉ trình bảy một vài chủ để của môn Hình lớp 9, chủ yêu là

phần đường tròn do chương nảy gân gũi với học sinh vả xuất hiện nhiêu trong các kỷ

thí Chỉ có thẻ thấy được sự thú vị của những bài toản này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thẻ làm cho một số học sinh kha hing ting do

chưa nắm phương pháp giải dạng toán này Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ây không những học sinh nam sâu kiến thức mả còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình học

Vẽ đẹp đỏ được thẻ hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mả chỉ có thẻ ở môn Hình học mới cỏ, làm được như vậy học sinh sẽ

yêu thích môn Toán hơn Đỏ lả mục địch của bat ki giáo viên dạy ở môn nào cần khêu

gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó Nhưng mục đích lớn nhất

trong việc đạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học

sinh Qua môi bài toán học sinh cỏ sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo vả tư tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh cấp học THCS chủ yêu là học sinh khỏi 9 và ôn luyện thì vào 10, thi

vào các trường chuyên, cũng như trong bồi dưỡng đội tuyên học sinh giỏi các cấp

1.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Nguyễn Anh Tuân — Trường THCS Buôn Trấp — Krông -ina

Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp qua nhiều năm học

Thời gian thực hiện trong các năm học 2009 - 2015

1.5 Phương pháp: nghiên cứu

Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bởi dưỡng học sinh giỏi trong nhà

trường

Tra cửu tải liệu, tham khảo nghiên cứu các tải liệu trên mạng

Thực nghiệm, đôi chiều so sánh

Nhân xét

IL PHAN NOI DUNG

IL1.Co sé li luan

Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS tôi thấy hiện nay đa số học sinh

sợ học môn Hinh học Tìm hiểu nguyên nhân tôi thay có rắt nhiều học sinh chưa thực

sự hứng thú học tập bộ môn vì chưa có phương pháp học tập phủ hợp với đặc thủ bộ môn, sự hứng thủ với môn Hình học là hâu như ít cỏ Cỏ nhiều nguyên nhân, trong đỏ

có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau

~ Đặc thủ của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, đẻ cỏ kĩ năng nảy học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản ma còn phải cỏ kĩ năng,

trình bảy suy luân một cách logic Kĩ năng nay đổi với học sinh là tương đổi khó, đặc biệt là học sinh lớp 9 các em mới được làm quen với chứng minh Hinh học Các em

đang bat dau tap đượt suy luận có căn cử vả trình bảy chứng mình Hình học hoàn

chỉnh Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu,

trình bảy chứng mình như thể nảo

- Trong quả trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chủ trọng

việc nâng cao, mở rộng, phát triền các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào

lĩnh vực này, vì thể chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển van dé mới từ bài toan co ban,

~ Việc đưa ra một bải toán hoặc phát triển một bải toán cho phủ hợp với từng

đổi tượng học sinh đề có kết quả giáo dục tốt còn hiểu hạn chế

- Học sinh THCS nỏi chung chưa có năng lực giải các bải toản khỏ, nhưng nếu

được giảo viên định hướng vẻ phương pháp hoặc kiên thức vận dụng, hoặc gợi về

phạm vi tìm kiểm thi các em cỏ lãi quyết được vẫn đẻ

~ Ngay cả với học sinh kha gidi cing con e ngại với bộ môn Hình Học do thiểu

sự tự tin vả niêm đam mê

112 Thực trạng

a) Thuận lợi, khó khăn:

*) Thận lợi:

Tôi đá được trực tiếp giảng dạy môn Toán khỏi 9 được 6 năm, bồi dưỡng học

sinh giỏi toán 9 và ôn tập, nâng cao kien thức cho học sinh thi tuyên vào lớp 10, thi

vảo trường chuyên nên tôi thấy được sự cản thiết phải thực biên đề tải "#ướng đẫn

học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học lớp 9 "

Tôi được các đồng nghiệp cỏ nhiều kinh nghiệm góp ý kiến trong giảng dạy,

tham khảo các tải liệu liên quan trên mạng,

Học sinh ở độ tuổi này luôn năng động sáng tao, luôn thích khám pha hoc héi

Điều kiên kinh tế xã hội ngảy cảng phát triển Từ đó sự quan tâm của các bậc

phụ huynh học sinh ngày một nâng lên, luôn tạo điều kiện tốt nhất, trang bi day dit cho

con em minh các thiết bị và đồ dùng học tập,

*) Khó khăn:

Trong chương trinh Toản THCS “Các bải toán vẻ hình học” rất đa dạng, phong

phú và trừu tượng, mỗi dạng toán có nhiều phương pháp giải khác nhau Học sinh khi

học toán đã khó, đổi với Hình học la cảng khỏ hơn bởi vì: Để làm bài toán Hinh học

thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, tính chất mà mình đã được học

một cách linh hoạt Bên cạnh đó đẻ giải một bải toán Hình học lớp trên thi học sinh

phải nắm vững tắt cả kiền thức, các bải toản cơ bản ở ở lớp dưới

Kinh tế từng gia đình không đồng đều, một số gia đỉnh có điều kiện còn mãi lo

làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình, pho mặc cho con cái, chỉ biết cho con em minh tien dân đến các em hư hỏng,

Tác động xã hội đã làm một sỏ học sinh không làm chủ được minh nên đã đua

đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi

game, bi da, danh bai

b) Thành công, hạn chế

*) Thành công:

Các bải tập Hinh đều phát triển dựa trên những bải toán cơ bản trong sách giáo

khoa vả sách bải tập nên mục đích cần hưởng đến lả học sinh trung bình cân phải làm

tốt những bài tập này

*) Hạn chế:

Giải bải tập toán là lúc học sinh được thẻ hiện kĩ năng, tỉnh sáng tạo, phát triển

óc tư đuy Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho phan lớn các học sinh khá vả trung bình nhớ lâu, hiểu vẫn đề đó mới là quan trọng

Do đặc điểm của môn Hình học khó, phải tư duy trừu tượng vả kèm thêm việc

vẽ hình phức tap, khi giải một bải toan hinh thi hoc sinh phải vận dụng tất cả các định

nghĩa, định li, tính chất, mả mình đã được học một cách linh hoạt Nên giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dân học sinh tư duy dựa trên những bài

toán cơ bản

©) Mặt mạnh, mặt yếu

*) Mặt mạnh:

Giúp cho học sinh hiểu được một số bải toán phát triển từ bải toán cơ bản,

nhưng quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học sinh biêu được hướng phát triển một

bài toán Tại sao phải làm như vậy? Lâm như thẻ đạt được mục đích gi? Qua đó giúp

các em say mẻ môn Toán Cho dủ là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bải toản dưới nhiều góc độ thì học sinh đỏ sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn

học, yêu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nỏ giúp quá trình rèn luyện hình

thành tư duy cho học sinh tốt hơn

*) Mặt yêu:

Số học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bải toán cơ bản là không

nhiều vì đây là vân đề khó cần sự kiên trì và có gắng của cả học sinh vả giảo viên mặc

du vay tôi hưởng đên 1/3 số học sinh đạt được điêu này, có thé hoe sinh sẽ không tao

ra những dang ma thay da lam vi von kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên

giáo viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn Việc sảng tạo đó không những

cần cỏ kiến thức vô củng chắc chắn mả học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học

Điều này chỉ phủ hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu nảy trong quá trình

dạy học sinh giỏi

d) Các nguyên nhân, các yếu tô tác động

*) Học sinh không giải được: -

~ Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao

~ Chưa có tỉnh sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiên thức chưa linh

hoạt

*) Học sinh giải được:

~ Trình bày lời giải chưa chặt chế, mắt nhiều thời gian

~ Chưa sảng tạo trong vận dụng kiên thức

Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tải liệu, để nâng cao kiến

thức chưa nhieu, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng

đêu Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yêu trong kỹ năng phân tích và

vận dung

Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thẻ hướng dẫn con em minh giải các bải toán hình, Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp

©) Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra

Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đôi với bộ môn hình học nỏi riêng

thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bải toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều

khi cho ta những kết quả khá thủ vị Ta biết rằng ở trường phỏ thông, việc dạy toán

học cho học sinh thực chât là việc dạy các hoạt động toán học cho họ Cụ the như khi

truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, năm

vững đơn vị kiến thức đó thi một việc không kém phan quan trong là vận dụng đơn

vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học Đây lả một hoạt động mả theo tôi,

thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của

người giáo viên đứng lớp Xuất phát từ quan điểm trên, vân đẻ khai thác và củng học sinh khai thác một bải toán cơ bản trong sách giáo khoa đề từ đó xây dựng được một

hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đền bài toán khó là một hoạt động không thể

thiêu doi với người giáo viên Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên không,

dừng ở việc giải toán Việc khai thác một số bải toán hình học cơ bản trong SGK

không những, gop phan rên luyện tư duy cho HS kha giỏi mà cỏn tạo chất lượng, phủ

hợp với giờ học, gây hứng thủ cho HS ở nhiều đối tượng khác nhau

+ De giải quyết vân đề trên trong, quả trình giảng dạy cân chú trong các bải toán

ở SGK Biết phát triển các bải toán đơn giản đã gặp đề tăng von kinh nghiệm vừa phát

triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiên tăng khả năng nhìn nhận vẫn đẻ mới

từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau nảy

+ Việc phát triển một bải toán phủ hợp với từng đối tượng học sinh là rắt can

thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tỉnh vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong

việc giải toán vi nó không tạo cho học sinh sự nhụt chỉ mà là đồng lực thúc đây giúp

cho học sinh có sự tự tin trong quả trình học tập, bền cạnh đó cỏn hình thành cho các

em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn

~ Các em phải được tập suy luận từ đễ đến khỏ, từ đơn giản đến phức tạp

~ Phát huy được khả năng sảng tạo, phat trien kha năng tự học, hình thành cho

học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kich thích tö mỏ ham tìm hiệu đem lại niềm vui cho các em

~ Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến

thức cơ bản đã học

~ Hướng dân học sinh tìm hiểu đề bài

~ Giải hoặc hưởng dẫn học sinh cách giải

~ Khai thác bải toản và giúp học sinh hưởng giải bài toán đã được khai thác

~ Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp

~ Đưa ra các bải tập tương tự, bai tập nâng cao

- Ky nang nhân đạng và đẻ ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường

hop cu thé _Giúp học sinh có tư duy lĩnh hoạt và sảng tạo

~ Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra

Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung vả phương pháp giảng day

~ Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bải

toán có tính tư duy,

b Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số bài toán có liên quan đến: ĐƯỜNG

TRON VA TIEP TUYEN

1 Dạng toán về đường tròn

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O Trên a lấy điểm 4 và trên b lấp

điểm B, Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm O, 4, B?

Tìm hiểu đê

Bài này liên quan đền sự xác định một đường trỏn qua ba điểm O, A, B trong

đó O là giao điểm của hai đường thẳng a, b và A và B là hai điểm bắt kỉ thuộc a và b

Hướng dẫn cách tìm lời giải

Luu y A va B co the nim vé hai phia cia O, ngoai ra A va B ciing cé the tring

với O hoặc khác O Do đỏ hãy xét các trường hợp sau:

- Okhac A vaB,;

- A tring voi O nhung B khac O hoặc ngược lại:

- Ba diém O, B, A tring nhau

`~ Trường hợp O khác A va B, nhu thé ba diém O,

A, B không thẳng hàng nên bao giờ cũng có và chỉ

có một đường tròn đi qua ba điểm A, O, B

~ Trường hợp A trùng với O nhưng B khác © (hoặc

B trùng với O nhưng A khác O) thì cỏ vô số đường

tròn đi qua hai điểm O và B mà tâm của chúng nằm

trên đường trung trực của đoạn thẳng OB hoặc OA -

- Trường hợp A vả B trùng với O thi có vô số đường tròn qua O mà tâm là điểm tủy

ý trong mặt phẳng.( cũng có thẻ cho rằng đường tròn đi qua ba điểm O, A, B bây giờ

biên thành một điểm O)

Khai thác bài toán:

Với bài toán nảy ta có thê thêm câu hỏi sau

+) Tỉnh bán kính của đường tròn qua O, A, B trong các trường hợp:

1) AOAB vuông tại Ó với OA = m; OB =n

2) AOAB vuông cân tại Ó với O4 = OB =p

3) AOAB đều với cạnh bằng q

1) Nếu A24 vuơng tại O thì tâm đường trỏn là trung điểm của cạnh huyền AB va

bên kinh Bing 3m vn

2) Nêu AO4B vuơng cân tại O thì tâm đường tron van là trung điểm của AB nhưng,

ban kinh bằng p ⁄

3) Nêu À4ð đều cạnh q thì tâm đường trịn là giao điểm G của ba đường trung tuyển

của tam giác OBA và bản kinh OG băng 2/3 đường cao của tam giác đều tức là bang

Tim hiéu dé bai:

Đây là bài toản dựng hình trong đương trỏn (O) Yêu cầu

phải dựng qua điểm A cho trước bên trong (O) một dây BC

sao cho BC cĩ độ đài nhỏ nhất, BC nhận A làm trung điểm

a) Gọi BC là một dây bất kì qua A cách tâm O một khoảng,

OM Ta thay rằng nêu BC cỏ độ đải nhỏ nhất thì OM cỏ độ dài lớn

nhất

Do ØM <4 nên OM lớn nhất khi OM = OA tức là khi M

trùng với A

Suy ra cách dựng sau đây: qua A dựng dây B,C¡ vuơng gĩc

voi OA Day B,C, la day cĩ độ đài nhỏ nhất

Bai tốn cĩ một nghiệm hình

b) Giả sử BC là dây dựng được mả A là trung điểm của nĩ Nổi AO ta cd

OALBC

Suy ra cách dựng sau đây: Nĩi A với tâm O vả dựng đường thẳng vuơng gĩc với

OA tại A cắt (O) tại B và C Dây BC la day can dựng

Bài toản cĩ một nghiệm hình

Khai thác bài tốn:

Cĩ thê đặt thêm câu hỏi sau:

Tìm trên đường trịn (O) một điểm S sao cho OSA lớn nhất

Giải: Kéo dai SA cat (O) tai T ta thay rằng trong tam giác cân

SOT cé cạnh bên khéng déi thi OS416n nhat khi SOT nhỏ nhất

tức là dây ST nhỏ nhát ( hình 2c)

Như vậy bài tốn quy vẻ câu a ở trên: Dựng dây 8¡T¡ cĩ độ dài (ình 2e]

nhỏ nhất với 5/¡ 1 Ø4 ta được điểm S¡ phải tìm

Bài 3: ( Bài tập 11 trang 104 SGK—~ Toán 9 tập 1)

Cho đường trỏn tâm (O) đường kinh AB, đây CD

không cắt đường kinh AB Gọi H va K theo thir tu la chan

Xét hinh thang AHKB co OA =OB = R ; OM // AH // BK (1 CD)

=>OM là đường trung bình của hình thang => MH =MK (2)

Từ (1) vả (2), ta có CH = DK

Đối với bài lập này ta có thể khai thác theo hai hướng như sau :

+ Hướng thứ nhất :

Từ bài toán (*) nêu dây cung CD cắt đường kinh AB thì kết luận CH = DK có

còn đúng nữa không” Kết luận đỏ vẫn đúng vả chúng ta có bải toán khó hơn bải toán

(*) một chút như sau:

Bai 3.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính 4B tại G Gọi H

và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Chứng minh rằng CH = DK

Hướng dân giải

Dé chtmg minh CH = DK ta chtmg minh CD va HK co

Qua O vẽ đường thắng song song voi AH va BK cat CD

tai I, ct AK tai F_

Lập luân đề có OI là đường trung truc ctia doan CD va FI

là đường trung bình của tam giác AHK => I la trung điểm của

HK =>dpe/m

Cũng bải toán 1 nhưng chúng ta có thẻ phát triển dưới một dạng khác phức tạp hơn như sau:

Bài 3.2: Cho hứ giác 4BCD nội tiếp đường tròn đường kính

41B Chứng mình rằng hình chiếu vuông góc của các cạnh đổi

điện của tứ giác trên đường chéo CD bằng nhau ( Cách giải

hoàn toàn tương tự như bài 1)

Bài 3.3: Gọi G là điểm thuộc đoạn thang AB (G không trùng

với 4 và B) Lay AB, AG va BG lam đường kính, dụng các

đường tròn tâm O, O, Ö; Qua G vẽ cát tuyển cắt đường tròn

(O) tại C và D, cắt (O,) tại H, cắt (O›) tại K Chứng mình CH = DK

di 3.4: 3 câu b như sau: Chứng mình H và

K ở bên ngoài đường tròn (O)

Giải : ( dừng phương pháp phản chứng)

Gia sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thing

CD làH' H' là điểm nằm giữa hai điểm C và D

Xét A4C/T, ta có : ACH' =ACB+ BCD =90° + BCD

Nguyễn Alnh Tuân — Trường THCS Buôn Trấp — Kréng Ana

=> ACH' > 90°

Ma ACH'=90°(theo gia sti) =>Téng cac goc trong cla AACH lén hơn 180” là

diéu v6 li

Vay H’ phai nam ngoai duong tron(O) hay H nằm trong (O)

Chứng mình tương tự đổi với điểm K

* Nhận xét: Từ việc vẽ OM 1 CD ta co MH = MK ta dé nhan thay rang

Swen = Spova = Ssonte = Sucate = Stone = Sung > HK.OM = AB.MM (voi MM" L AB taiM’)

Bai 3.5: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 3 cau c: £ *xŸ

Đặc biệt khi CD không phải là một đây mà CD trở

tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có S,„ = S„„„

va HK.OM = ABMM'( lic này M thuộc nửa đường tròn (O) nên

AB = 20M

Do do ta co HK.OM = 20M.MM’ => MM'= a

Dựa vào điêu kiên một điểm thuộc đường tròn ta có A/'e Ác

= “rộ tiếp xúc với AB tai M’

Từ bài 4 ta cé bai tap moi

Bai 3.7: Từ bài toán trên ta lại có bài toán quỹ tích:

a/ Tìm quỹ tích trung điểm 1 của đoạn thẳng CD khi C (hoặc D) chạy trên đường tròn (O)

b/ Tìm quỹ điểm H và K khi C ( hoặc D) chạy trên đường tròn O đường kính AB

Từ bài toán 1 chúng ta có thể phát biểu bài toán đão nÏưe sau :

Bài 3.8: Trên đường kinh AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai

điêm H va K sao cho AH = KB Qua H và K kẻ hai đường thăng

song với nhau lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm C và D (C, D

cùng thuộc nửa đường tròn tâm O) Chứng minh rằng HC L CD,

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kinh AB M là một điềm bắt kì trên nữa đường tròn

đó (M #4.B) Qua M vẽ tiếp tuyến xy, H và K là chân đường vuông góc hạ từ 4, B

xuống xy Chứng mình rằng : Đường tròn (M) đường kính HK tiếp xúc với AB ( Xác

định vị trí tương đối của (M) với đường thẳng AB khi M chạy trên (O))

Bai §: Cho đoạn thăng HK, qua H, K vẽ các đường thẳng d va d’ vudng góc với HK Một góc vuông với đình là trung điểm M của HK có một cạnh cắt d

tai A, một cạnh cắt d’ tại B Chứng minh rằng ‹4b là tiếp tuyển của _ + If

đường tròn đường kính HK

Giải : P

Gọi C=.4M o4" Ta có AAMH =ACMK(geg)=>MA =MC

=>A4BC có BM vừa là đường cao, vừa là trung tuyển nên

A4BC cân tại B

=>BM là phân giác của 18C

=> AMDB =AM4KB( cạnh huyền — góc nhọn)

Bài 6: Cho tứ giác AHKB cé duéng tron duong kinh AB tiếp xúc

với đường thẳng HK Chứng mình rằng đường tròn đường kinh

HK tiếp xúc với đường thắng AB khi và chi khi AH // BK

Giải : Gọi O và O' lần lượt là trung điểm của AB và HK

Vẽ Ø!D 1 4B, nổi OO' ta có Ø!O 1 #/K( OO'là đường trung bình

cua hình thang HABK) Đặt OO' = a, O'D = b

= Srooa =Saoon = Soo = Ssoor

Ma = Syora = Shoon = 3040p te eh

AB HK.—

Sicos=Swor =50" — (vioo" = 0B = SB)

20'D=0'H=O'K > De (0!) đường sha

<> Duong tron đường kinh HK tiếp xúc với AB tai D „

Bài 7: Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây bằng nhau EF và GH cắt nhau taiM

a) Tứ giác EGFH là hình gì?

b) Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây biết rằng EF=GH ==

Bai ra cho đương tròn (O; R) và hai day EF = GH cat nhau tại M Yêu cầu nhận dạng tứ giác EFGH và tính khoảng

cách từ O đến mỗi đây biết độ dài hai day

Hưởng dẫn cách tim lời gi /

1a) Goi OI, OF la khoảng cách tir O dén hai day ta có ngay

‘Nguyen Anh Tuan —Truéng THCS Buôn Trap — Kréng Ana 10

OI = OJ Tir do chứng minh AOMI= AOMI, rôi xét hai tam giác cản đỉnh M đề suy

ra EH // GF Do đó EGEH là hình thang, sau đó chứng minh thêm hình thang này cân hình 2)

ì b) Ms tỉnh khoảng cách OI và OJ ta xét một trong hai tam giác vuông bằng nhau

OEI hoặc OHI rồi áp dụng định lý Pitago đề tính

Tir giac EGFH 1a hinh thang c6 hai duong chéo EF = GH nén EGFH là hình thang cân

b)Xét tam giác vuông OEI theo định lí Pitago ta có:

Khai thác bài toán:

Ta có thê nêu thêm các câu hỏi sau: Nu góc tại M vuông:

©)_ Tỉnh diện tích của tứ giác OIM2 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác nay

4) Tỉnh tổng ME” + MF” + MG? + MEP theo R

Giai:

c) OTMI là hinh vuông cạnh la OI = = Be diện tích của nó lả

5 -( BYE) _ 68: _2R` fons =| 3 | <9

Đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIMI có đường kính là OM, ta có:

ØwW=oIj5= Ma = = Vậy bán kính đường tròn này là ae

d) Kẻ đường kinh FK ta co AKEF vuéng tai E (vi trung tuyen OE ctia AKEF bang

1⁄2 cạnh KF) Do do KE // HG ( 1 EF) nén EG= KH suy ra EG = KH

Xét hai tam giác vuông EMG và HME, theo định lý Pytago ta có:

ME’ + MG? = EGỶ (1) và

MF? + MH? = FH? (2) Cộng từng, về (1) và (2) ta được:

ME? + MG? + MF? + MH? = EGỶ + FHỶ = KHỶ + FHỶ = KF” ( vỉ tam giác HE vuông,

tại H)_

Vậy tổng phải tìm bang KF* = (2R)* = 4R?

Bài 8: Cho đường tròn tâm O và đây cung AD Từ D vẽ tia Dx vuông góc với OD Đường kinh vuông góc với OA cắt 4D ở B va Dx 6 C

a) Chứng minh ABCD can

b) Chứng minh trục đối xứng của đây AD song song với trung tuyén CM ctia tam

Dé bai cho đường tròn (O) và day cung AD, tia vuông góc với OD và L đường,

kinh vuông góc với OA Yêu càu chứng minh một tam giác cân và một trục đổi

song song với một trung tuyên của tam giác cân này

Hướng dẫn cách tìm lời gì

a) Dé chimg minh ABCD can ta can chimg minh tam giác

có hai góc ở đáy bằng nhau (8= D) bằng cách lần lượt xét tam

giác vuông AOB vả tam giác cân OAD (hình 4)

b) Truc di ximg cia AD la đường trung trực của nỏ, cỏn

trung tuyển CM lả trung trực của BD Từ đó ta suy ra được điều

phải chứng mình

a) Trong tam giác vuông AOB ta cỏ: ⁄I+ 8, =90° vì CD là tiếp tuyên của (O) tại D,

D,+D, =90° Nhưng 4= D, vi tam giác ODA can

Từ đỏ 8= D,;, =8, (đối đỉnh), suy ra B, =D,

Vậy ABCD cân tại C

b) Trục đôi xứng của dây AD là trung trực của nó nên vuông góc với AD Đường trung tuyên CM của tam giác cân BCD vuông góc với BD nên củng vuông góc với

AD Suy ra true đôi xứng của đây AD song song với trung tuyên CM của ABCD

Khai thác bài toán:

Với bài toán 3 ta có thẻ nêu thêm câu hỏi như sau

©) Chứng mình hệ thức: O4.BM = OB.CM

OB

That vay: Xét AAOB > ACMB (g,g) ta co C4 = 92

CM BM suy ra OA.BM = OB.CM (dpem)

Bài 9: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính MN và đây DE Gọi P và Q theo thứ te

là hình chiếu của M và N trên đường thăng DE Duong thằng NỌ cắt nứa đường tròn

tai G Goi H là trung điểm của đây DE và Ï là hình chiếu của H trên MN, chứng mình:

a) OH LMG

Ð) OH.MG = MN.HI

Tim hiéu dé bai

Bai ra cho nita duéng tron duéng kinh MON va day

DE với H là trung điểm Hình chiếu của đường kinh MN

trên đường thẳng DE là PQ Hình chiều của H trên MN là L +

Yêu câu phải chứng mình hai đoạn thẳng vuông góc và một

hệ thức (hình 5)

a)Trước hết chứng minh MGN = 90° và MG ⁄⁄PQ Kết hợp với H là trung điểm của DE

để suy ra điều phải chứng mình

b) Xét hai tam giác vuông đông dạng OIH va NGM

Cách giải:

a) AMGN vuông tại G vì trung tuyển OG = MN, nén MGLON Ta lại có

PQ LỌN suy ra MG//PQ

DoH là trung điểm của DE nên Ø# | DE tite la OH LPO Vậy OH l MG

b) Ta cé OH // NQ nén O, =N, (déng vi) Do dd AOTH «» ANGM