Sáng kiến kinh nghiệm thcs khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Khai thác và phát triển một số bài toán hình học 1 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 2 PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3 2 1 Cơ sở lý luận 3 2 2 Thực trạng của vấn đề 3 2 3 Các biện pháp mới đã thực hiện để giải qu[.]

MỤC LỤC:

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 2

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3

2.1.Cơ sở lý luận: 3

2.2 Thực trạng của vấn đề: 3

2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề 3

2.4.Hiệu quả của SKKN 17

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 18

3.1.Kết luận : 18

3.2 Kiến nghị: 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình môn toán ở trường THCS ta thấy bài tập toán rất nhiều và đa dạng

“ Giải toán là một nghệ thuật thực hành, giống như bơi lội, trượt tuyết, hay chơi đàn, có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành.Không có chìa khoá thần kỳ để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kỳ để biến mọi kim loại thành vàng ”

( Đề - Các và Leibnitz ) Tìm được lời giải hay của bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán Điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến

rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi”

( Polia-1975 ) Giải bài tập toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) Nhưng các quy tắc suy luận cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh Do đó học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập

Phương pháp chung tìm lời giải bài toán là : Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải Bước 3: Thực hiện chương trình giải Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải Trong bước 4 một công việc ít được thực hiện đó là:

Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Đó là khai thác bài tập toán

Thực tiễn dạy học cũng cho thấy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập

Tuy rằng không phải là cứ giải nhiều bài tập là có kỹ năng Việc luyện tập

sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần khai thác các bài tập trong sách giáo khoa giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, có kỹ năng giải bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học và việc làm này đặc biệt quan trọng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngay trong giờ học.Vì vậy tôi đã rút ra kinh nghiệm “ Khai thác và phát triển một số bài toán hình học’’

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1.Cơ sở lý luận:

Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy ở trường THCS, trong các năm qua tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm trong việc khai thác bài tập toán

để xây dựng một hệ thống bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi như là:

1.Chuyển điều chưa biết thành bài toán 2.Thay đổi hình thức phát triển bài toán 3.Tìm các bài toán liên quan

4.Mở rộng các bài tập khác

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Học sinh ở trường THCS ngại học môn toán cho rằng đây là môn học rất khó nhất là hình học đòi hỏi học sinh tổng hợp được kiến thức, có kỹ năng trình bày logic, chặt chẽ, nếu chỉ học ở các giờ học chính khoá trên lớp thì khó có thể giải được các bài toán nâng cao, không đủ kiến thức tham gia thi học sinh giỏi môn toán Các em học sinh ngoài việc học toàn diện các môn học còn tham gia các hoạt động xã hội ít thời gian học thêm, chưa say mê với môn học, không thấy được những điều kỳ diệu của toán học, đòi hỏi giáo viên khi giảng dạy phải nghiên cứu tìm tòi, sáng tạo xây dựng các chuyên đề bám sát chường trình, theo chuẩn kiến thức, kỹ năng, phát huy tính tích cực của học sinh

2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề

Trong sách giáo khoa, sách bài tập có nhiều bài tập vận dụng kiến thức lý thuyết rất hay khi giải bài tập chúng ta cần khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau đó là các cách giải khác nhau, hoặc thay đổi dữ kiện bài toán ta được một

số bài toán khác tương tự hoặc liên quan từ bài toán ban đầu ta gọi đó là bài toán

“chìa khoá” ta có thể giải được rất nhiều bài tập khác , củng cố được nhiều kiến thức, rút ngắn được thời gian học tập, học sinh được luyện

tập được nhiều, thấy được tính logic của toán học và say mê học toán hơn Sau đây là một số bài tập minh hoạ

Từ một bài toán nổi tiếng mà hình vẽ được in trên trang đầu của một số cuốn sách nâng cao lớp 8, 9 đó là:

Bài toán A:

Cho hình vuông ABCD Đặt 1 hình vuông A/B/C/D/ bên trong hình vuông này sao cho 2 tâm trùng nhau Chứng minh rằng : trung điểm của AA/ ; BB/;

CC/; DD/ là đỉnh hình vuông khác

Lời giải:

Cách 1:

/

A O A

B O B

 ( c.g.c )

 AA/ = BB/ Tương tự  AA/ = BB/ =CC/ = DD/

 A O M /= /

B O M

 = /

C O P

 = /

D OQ



 OM = ON = OP = OQ  tứ giác MNPQ là hình bình hành

 O là trung điểm của MP và NQ  MP = NQ

 MNPQ là hình chữ nhật

C O P

 = D O Q = A O M = B O N  COP = DOQ

 POQ = 900

 tứ giác MNPQ là hình vuông

Cách 2:

Nối B/C ; C/D; D/A; A/B, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh B/C ; C/D; D/A; A/B

EP // B/ C/ và EP = 1

2 B/ C/, FQ // C/D/ và EQ = 1

2 C/D/ GM// A/ D/ và GM = 1

2 A/ D/, HN // A/B/ và HN= 1

2 A/B/

 EP = FQ = GM = HN

 NE// BC và NE = 1

2 BC, PF // CD và PF = 1

2CD QG// AD và QG = 1

2AD, MH// AB và MH = 1

2AB

NE = PF = QG = MH

N E P

 = P FQ= Q G M = M H N ( c.g.c)

 MN = NP = PQ = QM và MQP = 90 0

 MNPQ là hình vuông

Cách 3:

Thực hiện phép quay tâm O góc quay 900 cùng chiều kim đồng hồ thì OA

 OB ; OA/ OB/AA/  BB/ ;BB/  CC/; CC/  DD/; DD/  AA/

 M  N ; N  P ; P  Q ; Q  M  MNPQ là hình vuông

*Từ nhận xét:

/

AM

AA = /

BN

CP

DQ

DD Đặt /

AM

AA = k ( k < 0 )

Theo định lý Talet ta có bài toán sau:

Bài toán 1a: Cho hình vuông ABCD Đặt 1 hình vuông A/B/C/D/ bên trong hình vuông này sao cho 2 tâm trùng nhau Gọi M,N,P,Q là các điểm thuộc

AA/ ; BB/; CC/; DD/ sao cho

/

AA

AM =

/

BB

/

CC

/

DD

DQ = k ( k > 0 )

Chứng minh rằng : MNPQ là hình vuông

Khi k = 2 thì bài toán 1a chính là bài toán A

*Nếu khai thác bài toán theo cách giải thứ 3 về phép quay ta có bài toán sau:

Bài toán 2a:

Cho đa giác đều A1A2…An đạt bên trong đa giác này một đa giác đều

/ 1

A A2/…A n/ sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau Gọi A1/ / A2/ /…A n/ / là trung điểm của A1A1/, A2A2/, …, AnA n/ Chứng minh rằng: A1/ / A2/ /…A n/ / là đa giác đều

*Thêm vào bài toán 2a yếu tố tỷ lệ ta có bài toán sau:

Bài toán 3a:

Cho đa giác đều A1A2…An đạt bên trong đa giác này một đa giác đều

/ 1

A A2/… /

n

A sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau Gọi A1/ / A2/ /… / /

n

A

là các điểm nằm trên đoạn A1A1/, A2A2/, …, AnA n/sao cho

A A  A A Chứng minh rằng:

/ / 1

A A2/ /… / /

n

A là đa giác đều

Khi k = 2 thì bài toán 2 chính là bài toán 2a

* Nếu khai thác theo cách giải 1,2 không cần đến tâm O ta có bài toán sau

Bài toán 4a:

Đặt 1 hình bình hành A/B/C/D/ trong 1 hình bình hành ABCD sao cho các đỉnh của hình bình hành A/B/C/D/ nằm trong hình bình hành ABCD Chứng minh rằng : trung điểm của AA/ ; BB/; CC/; DD/ là các đỉnh của hình

bình hành Tổng quát hơn ta có bài toán sau:

Bài toán 5a:

Cho hình bình hành ABCD, đặt 1 hình bình hành A/B/C/D/ sao cho các đỉnh của

nó nằm trong hình bình hành ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn AA/ ; BB/; CC/; DD/ sao cho

/

AA

AM =

/

BB

/

CC

/

DD

DQ = k (

k > 0) Chứng minh rằng : MNPQ là hình bình hành

*Khi k = 2 thì bài toán 5a chính là bài toán 4ª

Khai thác từ một bài toán hình học lớp 9 quen thuộc sau:

Bài toán B:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA = MB + MC

Lời giải : Trên tia CM lấy điểm N sao cho MN = MB

 NC = MB + MC



1

2

M = 600 ( vì B = C = 600 )  

3

 BMN đều  BN = BM

Ta có: BC = BA

60

 ABM =  CBN ( c.g.c)  AM = NC = MB + MC

Nhận xét từ bài toán B ta có bài toán sau:

Bài toán 1b:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC Chứng minh: MA  MB + MC

Giữ nguyên đề bài, thay đổi câu hỏi ta có bài toán sau Bài toán 2b:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC

Chứng minh: 1 1 1

Lời giải:

M D B M C A

MB  MA  MD MA = MB MC



1

.



Từ bài toán trên ta có thể giải được bài toán sau Bài toán 3b

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ Chứng minh rằng: 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I

Lời giải:

Gọi I là giao của đường tròn (ACB/) và đường tròn (ABC/)

  AIC = 1200

,  AIB = 1200

 BIC  = 1200

 I  (BCA/) hay 3 đường tròn đồng quy

Từ bài toán 3b ta dễ dàng chứng minh được bài toán sau:

* Bài toán 4b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I Chứng minh rằng:

3 đường thẳng AA/ ; BB/; CC/ đồng quy

Bài toán 5b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I Chứng minh rằng:

IA + IB + IC = 1

2( IA

/

+ IB/ +IC/ )

Bài toán 6b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, 3 đường tròn (ACB/); (ABC/);

(BCA/) đồng quy tại I Chứng minh rằng:

1

2( 1 1 1

IA  IB  IC ) trong đó A1, B1 , C1 là giáo của

với các cạnh của tam giác

Bài toán 7b:

Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I

Chứng minh rằng: IA + IB + IC nhỏ nhất với mọi I thuộc tam giác ABC

Bài toán 8b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2

Với a là cạnh của tam giác

Bài toán 9b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Tìm m để MA + MB + MC lớn nhất

Bài toán 10b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Tìm m để MA2 + MB2 + MC2 lớn nhất

Bài toán 11b:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA4 + MB4+ MC4 = 2a4

Với a là cạnh của tam giác

Bài toỏn C:

90

xOy  Trên Ox lấy điểm A cố định sao cho

OA = a Điểm B di động trên Oy Vẽ trong góc xOy một hình vuông ABCD

a) Tính khoảng cách từ D đến Ox

b) Tìm tập hợp (qũy tích) điểm D khi B di động trên Oy

Hướng dẫn:

a) Kẻ DH  Ox  H Có

 AHD vuông tại H

1 1 90

A D 

  0

2 1 90

A A  suy ra A2D1

  0

2 3 90

A A    0

3 90

BAOA 

Suy ra A2BAO

Hay  

1

D BAO

Xét DHA và AOB Có: H = O = 900 ,

1

D BAO

DA = AB (cạnh hình vuông)

Vậy DHA = AOB = (T/h

Bằng nhau đặc biệt thứ nhất của tam giác vuông)

Vậy: DH = OA = a b) Theo chứng minh trên

DH = a (const)

Hình 1

y

x

1

3 2

1

H

D' C'

D C

B