Viết phương trình đường tròn C ngoại tiếp tam giác ABC.. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của C.. Viết phương trình tiếp tuyến của C, biết tiếp tuyến đi qua điểm D3; 0 Đáp án Câu I 1
Trang 1Đề kiểm tra học kì II Môn: Toán _ Lớp 12 Năm học: 2007 – 2008 Thời gian làm bài 90 phút(Không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Câu I(4 điểm)
Cho hs y =
4 2
4 2 2
−
+
−
x
x x
(C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Dùng đồ thịi (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x2 - 2(m+1)x + 4(m+ 1) = 0
Câu II(3 điểm)
1 Tính tích phân I = ∫1 −
2
1 2
2 1
dx x x
2 Cho hàm số y = ( 2) 9 9
3
2
3 − m+ x + x−
x m
Tìm m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị
Câu III(3 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(- 2; 1); B(- 3; 0); C(0; 1)
1 Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm D(3; 0)
Đáp án Câu I
1 Ta có
4 2
4 2
1 4 2
4 2 2
− +
=
−
+
−
=
x
x x
x x
y
*TXĐ D = R
=
−
=
⇒
=
=
⇔
=
−
⇔
=
−
−
=
3
1 4
0 16
) 4 2 ( 0 ) 4 2 (
8 2
1
'
2
1 2
1 2
y x
x x
x y
HS: Đồng biến trên (−∞;0) và (4;+∞)
Nghịch biến trên (0; 2) và (2; 4)
Điểm cực đại (0; - 1) và điểm cực tiểu (4; 3)
*Giới hạn: =−∞
−∞
→
x
y
+∞
→
x y
lim =−∞
−
→ 2
lim
x
+
→ 2
lim
x
y suy ra x = 2 là tiệm cận đứng.
4 2
4 ( lim ) 2
1 (
−
=
−
∞
→
∞
→ y x x x
2 1
= là tiệm cận xiên
Trang 2*Bảng biến thiên
x -∞ 0 2 4 +∞
y' + 0 - - 0 +
y -1 +∞ +∞
-∞ -∞ 3
* Vẽ đồ thị:
Giao điểm của hai
đường tiệm cận
I(2; 1)
Nhận xét:
Đồ thị nhận giao điểm I(2; 1)
của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
2 Ta có:
x2 – 2(m + 1)x + 4(m +1) = 0
⇔x2 – 2mx – 2x + 4m + 4 = 0
⇔x2 – 2x + 4 = m(2x - 4) (1)
vì x = 2 không phải là nghiệm của phương trình (1)
chia cả 2 vế của (1) cho 2x – 4 ta được:
m =
4
2
4 2
2
−
+
−
x
x
x
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho chính kà số giao điểm của đường thẳng (d): y = m và đồ thị (C) vừa vẽ
KL:
Với m > 3 hoặc m < - 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
Với m = 3 hoặc m = - 1 thì phương trình đã cho có 1 nghiệm
Với - < m < 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm
Câu II
1 Tính tích phân I = ∫1 −
2
1 2
2 1
dx x x
Đặt x = cost Đổi cận
=
=
⇒
=
=
0
3 1
2 1
t
t x
Ta có: dx = - sintdt
y
I O
3
-1
4
Trang 3dt t
t tdt
t
t
0 2
2 0
3
2
2
cos
sin )
sin ( cos
cos
1
π
π
3 3 )
( ) 1 cos
1
0 2
π
π
−
=
−
=
−
=
⇔ ∫ dt tgt t
t I
2 Điều kiện cần và đủ để hs y = ( 2) 9 9
3
2
3 − m+ x + x−
x
m
là:
phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
0 9 ) 2 (
2
⇔mx m x có hai nghiệm phân biệt
<
>
≠
⇔
>
+
−
≠
⇔
>
− +
=
∆
≠
⇔
1 4
0 0
4 5
0 0
9 ) 2 (
'
0
2 2
m m
m m
m
m m
m
m
KL: m > 4 hoặc
≠
<
0
1
m
m
là giá trị cần tìm
Câu III
1 Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
Vì (C) ngoại tiếp tam giác ABC nên (C) đi qua điểm A, B, C do đó ta có:
−
=
=
=
⇔
=
+
+
=
+
−
= + +
−
+
3 2 2 0
1
0 3
3
0 2
1
2
2
2
2
2
c b a c
b
c
a
c b a
Suy ra phương trình (C) có dạng:
x2 + y2 + 2x +2y – 3 = 0
2 2
2 ( 1) 5
)
1
Vậy đường tròn (C) có tâm I(- 1; - 1) và bán kính R = 5
2 Giả sử đường thẳng L đi qua điểm D(3; 0) có phương trình dạng:
m(x - 3) + n(y - 0) = 0⇔mx + ny -3m = 0
L là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi:
2 2 2
n m
n m n
m
m n m
+
= + +
⇔
= +
+
⇔
= +
−
−
−
⇔
11m2 + 8mn – 4n2 = 0
11
) 15 2 4
⇔
Chọn m = −4±2 15 , n = 11
Vậy có hai tiếp tuyến của (C) đi qua D, đó là:
0 ) 15 2 4 ( 3 11 )
15
2
4
(− − x+ y− − − = và (−4+2 15)x+11y−3(−4+2 15)=0