Theo tính chất trục đẳng phương thì AITX là tứ giác nội tiếp, từ đó: AITX.. Theo tính chất trục đẳng phương NPSI A là tứ giác nội tiếp.[r]
Trang 1SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG
Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2021-2022
Thời gian làm bài: 180 phút
Môn: Toán
Câu 1 (2 điểm)
Cho dãy số u n n1 xác định bởi 1 1
3
5
n n
n
u
a) Chứng minh rằng dãy u n n1 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
b) Đặt
1
1 3
n
n
k k
T
n
T n
Câu 2 (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :¡ ¡ sao cho:
Câu 3 (2 điểm)
Có bao nhiêu cách lát kín bảng 2 2022 bởi các viên domino 1 2 và 2 1 ?
Câu 4 (2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABCvới ABBC Cho I là tâm nội tiếp của tam giác ABCvà là đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với BCtạiK Đường
thẳng AKcắt tại điểm thứ hai T Cho M là trung điểm của BCvà N là điểm chính giữa cung
»
BCchứa Acủa Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BICở P Chứng minh rằng a) Cho KI cắt (BIC tại điểm thứ hai X thì ) N T X thẳng hàng ; ;
b) PM‖ AK.
Câu 5 (2 điểm)
Cho dãy số x n1 a x n n ¥ ; *
o
x ¥ ;a là nghiệm dương của phương trình x2 kx 1 0 (
k¥ k ) với số nguyên dương kcho trước
Khi đó chứng minh rằng x n1x n11 (mod )k
Giải
Câu 1 :
Trang 2a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n ¥*, dãy un n1 bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng +) Ta có u1 1. Giả sử un 1 n ¥*. Vì hàm 3
5
x
f x
x là đồng biến trên khoảng
( ;1) nên un 1 un1 f u n f 1 1.
Vậy un 1với mọi n ¥*.
+) Ta có 2 3 1
5
u u Giả sử un un1 n 2 Do u un, n1 1 và f là đồng biến trên khoảng ( ;1) nên un1 f u n f u n1 un.
Vậy dãy un n1 tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn
+) Đặt lim 1
n
3 5
a a
a
a a
n
n
u
k
u
n
.
n n
u
n
n n
T
Câu 2 :
Giả sử hàm số f x ( ) thỏa mãn yêu cầu bài toán
+)Trong (1) thay y bởi f x ( ) ta có :
0 ( ) 2017( ( )) , ¡ (2).
+)Trong (1) thay y bởi x2018 ta có :
( ) 0 2017 ( ), (3).
Từ (2) và (3) suy ra 2018
( ( ) ) 0, ¡ (4).
Vậy nếu có x0sao cho f x ( 0) 0 thì f x ( )0 x02018. Vậy f 0 0.
Dễ thấy có hai hàm số f x1( ) 0 và f x2( ) x2018, x ¡ thỏa mãn (4)
Trang 3+) Ta chứng minh nếu có hàm số f x ( ) khác hai hàm số f x1( ) và f x2( )mà thỏa mãn cả (1) và (4) thì vô lý
Vì f x ( ) khác f x1( )nên x1 ¡ : ( ) f x1 0. Vậy f x ( )1 x12018.
Vì f x ( ) thỏa mãn (4) và khác f x2( )nên x2 ¡ : x2 0; ( f x2) 0.
+) Trong (1) cho x 0 f y ( ) f ( y ), y ¡
Không mất tổng quát, giả sử x2 0
+)Trong (1) thay x bởi x2 và y bởi ( x1) ta có :
2018
2018
2018 2018 2018 2018
( ) ( )
(vô lý)
+) Bằng cách thử trực tiếp vào (1) ta có kết quả hàm số cần tìm là f x ( ) 0, x ¡
Câu 3:
Gọi ( )a n là số cách lát
Ta xét hai trường hợp sau:
+) Nếu hàng 2 ô đầu tiên được lát bởi viên gạch 2 1 thì bảng trên trở thành 2 ( n 1); ta có ( 1)
a n cách lát
+) Nếu 4 ô vuông 2 2 ở 2 hàng đầu tiên được lát bởi 2 viên gạch 1 2 thì ta có a n cách lát ( ) Như vậy ( )a n a n( 1) a n( 2) với a(1) 1; (2) a 2
Suy ra a n( )F n là số Fibonacci thứ n
Như vậy số cách lát là F2022
Câu 4:
Trang 4a) Cho AI cắt (ABC tại điểm thứ hai ) S, như vậy S là trung điểm cung »BC không chứa A
Theo tính chất trục đẳng phương thì AITXlà tứ giác nội tiếp, từ đó:
180 180
AITX
Và suy ra N T X thẳng hàng ; ;
b) Đặt Plà I M A (BIC), với I AAI(ABC) là tâm đường tròn bàng tiếp góc A Theo tính chất trục đẳng phươngNPSI A là tứ giác nội tiếp Khi đó
A
Và từ đó suy ra N P T thẳng hàng Như vậy, ; ; PNT(BIC) Suy ra PI S A PNS TAI A
và PM‖ AK (đpcm)
Câu 5:
+) Ta có x n1a x n x n11
n 1 n 1 1
n
x
+) Do a là số vô tỉ nên n 1 n 1 1
n
x
Trang 5 +) 1
1
n
n
x
a
+) 1 1
1
n
x
n
+) Ta có
1
1
1
a
Như vậy x n1 k x nx n11
Suy ra x n1x n11 (mod )k (đpcm)