hệ hạt đồng chất

MỞ ĐẦU 2 Chương I HÀM SÓNG CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT 3 Chương II MỐI TƯƠNG QUAN SPIN – THỐNG KÊ 7 I Định nghĩa hệ vector cơ sở chuyển spin 8 II Sự đồng nhất 9 III Hoán đổi vòng 12 Chương III. TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI 18 THAM KHẢO 22

TÍNH ĐỒNG NHẤT CỦA CÁC HẠT LƯỢNG TỬ: HÀM SÓNG, SPIN VÀ

TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI

MỞ ĐẦU

Hệ hạt đồng nhất được hiểu là hệ gồm các hạt có những đặc trưng giống nhau(khối lượng, điện tích, spin,…) trong những điều kiện giống nhau (trường ngoài),chúng có những động thái giống nhau Có thể nêu ra hệ các proton đồng nhất,các electron đồng nhất, các notron đồng nhất…Trong cơ học lượng tử, donguyên lý bất định, khái niệm quỹ đạo của hạt không còn ý nghĩa Nếu vị trí củahạt được xác định tại một thời điểm nào đó, thì sau một khoảng thời gian vôcùng nhỏ, vị trí của hạt đã trở nên bất định Do đó, ta không thể nhận biết được

vị trí của hạt hoặc phân biệt các hạt với nhau Có thể nói, trong cơ học lượng tửcác hạt đã mất hoàn toàn cá tính của chúng Như vậy, trong một tập hợp các hạtđồng nhất chỉ tồn tại các trạng thái không thay đổi khi hoán vị các hạt Đó là nộidung của nguyên lý về tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, và nó đóngmột vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hệ hạt đồng nhất Trong bài luậnnày chúng ta sẽ làm rõ hai vấn đề, thứ nhất là thuộc tính đồng nhất của các trạngthái của một hệ hạt đồng nhất khi hoán đổi cặp hạt bất kỳ Các hạt đồng nhất vớispin bán nguyên (fermions) tuân theo thống kê Fermi-Dirac: hàm sóng là hoàntoàn phản đối xứng dưới sự chuyển đổi của các hạt Các hạt đồng nhất với spinnguyên (bosons) tuân theo thống kê Bose-Einstein: hàm sóng là hoàn toàn đốixứng; thứ hai là tương tác trao đổi giữa các hạt đồng nhất

Chương I HÀM SÓNG CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT

Để đơn giản ta xét hàm sóng ψ(q1, q 2, t) của hệ gồm hai hạt 1 và 2,trong đó q đạidiện cho các biến x, y, z và sz Ta hoán vị hai hạt cho nhau, theo nguyên lý vềtính không phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ khi đó không thayđổi, do đó hàm sóng ψ chỉ có thể thay đổi một thừa số pha không quan trọng Taviết

ψ(q1, q2, t) = eiαψ(q2, q1, t) = ei2αψ(q1, q2, t) (1.1)

Từ đó suy ra e2iα = ±1

Như vậy khi hoán vị hai hạt đồng nhất, hàm sóng

ψ(q1, q2,) = ±ψ(q2, q1) (1.2)nghĩa là có hai khả năng xảy ra, hàm sóng hoặc đối xứng (không đổi khi hoán vịhai hạt) hoặc phản đối xứng (đổi dấu khi hoán vị hai hạt)

Rõ ràng là, hàm sóng của tất cả các trạng thái của cùng một hệ hạt phải có tínhđối xứng duy nhất.Mở rộng kết quả này sang cho hệ có N hạt đồng nhất bất kỳ

Ta dễ dàng nghiệm được rằng, nếu hàm ψ của hệ hạt là đối xứng với cặp hạt k và

j, j và i, nhưng lại phản xứng với cặp hạt i và k thì hàm sóng sẽ bằng không.Thực vậy, ta viết

ψ(…qi, …qk, …qj,…) = − ψ(…qk, …qi, …qj, …) = − ψ(…qk, …qj, …qi, …) = −ψ(…qj, …qk, …qi,…) = − ψ(…qi, …qk, …qj,…) = 0 (đpcm) (1.3)Cũng lưu ý rằng, nếu tại một thời điểm nào đó hệ ở trong trạng thái đối xứng(hoặc phản đối xứng) thì hệ sẽ mãi mãi ở trong trạng thái đó Thực vậy, ta đưavào toán tử hoán vị được xác định bởi hệ thức

ψ(…qi, …qk, …qN, t) = ψ(…qk, …qi, …qN, t) = ± ψ(…qi, …qk, …qN, t) (1.4)nên ψ= ± ψ (1.5)

Mặc khác Hamiltonian của hệ hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị hạt hạt,

do đó (Ĥψ) = Ĥ(ψ), hay toán tử hoán vị giao hoán với halmintonian:

Ĥ – Ĥ = 0 (1.6)Nhắc lại: trong thế giới vi mô xét một đại lượng vật lý A, được gọi là bảo toànkhi] = 0 Toán tử hoán vị không phụ thuộc rõ ràng vào thời gian và giao hoán vớitoán tử halmintonian, nên đại lượng tương ứng với toán tử hoán vị là bảo toàn.Quay lại bài toán hệ hai hạt đồng nhất không tương tác Phương trìnhSchrodinger cho các trạng thái dừng của hệ có dạng

(q1, q2) = E(q1, q2) (1.7)

Ta đã chứng tỏ được rằng nghiệm của phương trình trên có thể tìm được dướidạng

(q1, q2) =(q1)(q2) (1.8)

ở đây k1, k2 là các số lượng tử của các trạng thái, trong đó có thể có các hạt Mỗi

ki đại diện cho một bộ đủ các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của một hạtriêng lẻ Mở rộng cho hệ N hạt thì có thể có một số ki trùng nhau Hàm lànghiệm của phương trình Schrodinger cho một hạt

= (1.9)

Hàm (1.8) không thỏa mãn các yêu cầu về tính đối xứng Trong trường hợp tổngquát nó không thuộc về các hàm đối xứng, cũng không thuộc về các hàm phảnđối xứng Phương trình (1.7) là tuyến tính, nên chồng chất các nghiệm loại (1.8)cũng là một nghiệm của nó Để thu được hàm sóng có tính đối xứng yêu cầu, cầnphải chọn một chồng chất thích hợp các hàm sóng.

Xét hai hàm sóng

ψ1(q1, q2) = ψ1(q1) ψ2(q2) , ψ2(q1, q2) = ψ2(q1) ψ1(q2) (1.10)trong đó các chỉ số 1 và 2 ở các hàm sóng ký hiệu hai trạng thái khác nhau củahạt Từ hai hàm trên ta có thể thiết lập hai tổ hợp

Từ đây ta kết hợp tính trực chuẩn của các hàm ψ1 và ψ2 , ta có: c1 = , c2 =

Tóm lại ta tìm được hàm sóng đối xứng và phản xứng chuẩn hóa

ψs = [ψ1(q1) ψ2(q2) + ψ2(q1) ψ1(q2)] (1.11’)

k2 có n2 hạt,…( tổng n1 + n2 +… = N) Khi đó số các số hạng trong (1.14) sẽ bằng Dựa vào tính trực chuẩn của các hàm , ta đi tới 1 =

Do đó

c1 = (1.15)Vậy hàm sóng đối xứng chuẩn hóa của hệ hạt N hạt bosons có dạng

ψs = q1)(q2)…(qN) (1.16)Đối với hệ hạt fermions hàm sóng ψ là tổ hợp phản xứng của các tích (1.12).Chẳng hạn, đối với hệ hai ferminons

Từ biểu thức (1.18) rút ra một kết luận quan trọng: nếu trong các chỉ số k1, k2, …

kN có hai chỉ số giống nhau, thì hai hàng của định thức sẽ giống nhau và toàn bộđịnh thức đồng nhất bằng không Định thức chỉ khác không khi tất cả các chỉ số

k1, k2, … kN khác nhau Như vậy trong hệ hạt fermions đồng nhất không thể cóhai hạt (hay nhiều hơn hai hạt) đồng thời ở trong cùng một trạng thái, hay nóimột cách khác trong cùng một trạng thái lượng tử chỉ có thể có tối đa mộtfermion Đó là nội dung của nguyên lý loại trừ Pauli (1925)

Chương II MỐI TƯƠNG QUAN SPIN – THỐNG KÊ

Trong chương này chúng ta cùng nhau tìm lời giải cho bài toán sau: Tại sao hàmsóng của hệ hạt có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose – Einstein, là hàm đốixứng; còn hàm sóng của hệ hạt có spin bán nguyên, tuân theo thống kê Fermi –Dirac, là hàm phản đối xứng? Dĩ nhiên chúng ta chưa thể nào tìm ra một lời giảihoàn toàn mới và rất xuất sắc, do đó, bằng cách xem xét lại lời giải của các bậctiền bối và diễn đạt lại bằng ngôn ngữ dễ hiểu nhất, thì phần nào đó cũng đượcxem là hoàn thành mục tiêu

Như đã biết, trong phép biểu diễn tọa độ thông thường, dựa trên một hệ vector cơ

sở hiệu chỉnh, người ta cũng đã xây dựng được hàm sóng mô tả trạng thái của hệhai hạt đồng nhất với spin S trong không gian ba chiều Ý tưởng quan trọng là ởchổ khi hoán vị hai hạt thì kéo theo spin S cũng chuyển đổi và điều này ảnhhưởng đến ký hiệu hàm sóng sau khi hoán vị Bằng cách xây dựng một phépbiểu diễn mới dựa trên hệ vector cơ sở mới, gọi là hệ vector cơ sở chuyển spin,

cơ học lượng tử tương đối tính đã chỉ ra được sự ràng buộc chặt chẽ giữa tọa độ

và spin của hệ hạt đồng nhất

I/ Định nghĩa hệ vector cơ sở chuyển spin

Như được giới thiệu ở trên, hệ vector cơ sở mới này, yêu cầu có tính chuyển đổitrơn và song song, được tạo ra bởi một toán tử gọi là toán tử hoán vị vòng U(r).Cũng nên giới thiệu từ đầu rằng các biểu thức trong phép biểu diễn mới này, cơbản được tạo ra từ bốn toán tử dao động tử điều hòa theo khái niệm củaSchwinger

Hệ vector cơ sở mới được định nghĩa thông qua ánh xạ sau:

S2

r (2.1)

: hệ vector cơ sở chuyển spin phụ thuộc r

: hệ vector cơ sở hiệu chỉnh (trong phép biểu diễn tọa độ thông thường)

U(r) : toán tử hoán vị vòng phụ thuộc r (còn gọi là toán tử đơn vị, mô tả phépbiến đổi giữa hệ vector cơ sở chuyển spin và hệ vector cơ sở hiệu chỉnh).

Hệ vector cơ sở này thỏa mãn:

i/ smoothness: the basis must be a smooth and non – singular function forall r 0, e.g there must be no Dirac strings

ii/ quy tắc “trao đổi”

= (−1)2S (2.2)iii/ Điều kiện “chuyển đổi song song” = 0 thỏa mãn với mọi M và M’, vàvới mỗi đường cong trơn t r(t)

Trong bài toán hệ hai hạt đồng nhất với spin S, ta đưa vào các ký hiệu thuận tiện

M {m1, m2}, { m2, m1} (2.3)

ở đây, m1 và m2 lần lượt là thành phần hình chiếu lên trục z của spin của hạt 1 và

2 (m1, m2 S) Rõ ràng đã bao hàm cả tọa độ và spin của hệ

II/ Sự đồng nhất

Khi đã xây dựng được hệ vector cơ sở chuyển spin, bước tiếp theo ta định nghĩahàm sóng trong phép biểu diễn mới

r2 r1, khi hoán vị xảy ra thì r trở thành r Vì tính không thể phân biệt được các

hạt đồng nhất nên chúng ta phải đồng nhất các hệ trước và sau khi hoán vị, nghĩa

là đồng nhất các điểm r và –r (vì chúng tương ứng với sự nội chuyển vị trí vàspin của các hạt) Trong cơ học lượng tử, tính đơn trị của hàm sóng yêu cầu:

Quan hệ này tương tự với quan hệ spin – thống kê trong biểu diễn thông thường.Tuy nhiên, trước khi có thể khẳng định chắc chắn thì chúng ta phải chứng minhđược rằng các hệ số

= , (2.8)trong (2.4) cũng thỏa mãn phương trình Schrodinger giống như các hệ số trong

hệ vector cơ sở hiệu chỉnh Trong hệ vector cơ sở hiệu chỉnh, các hàm sóng là

sở hiệu chỉnh có những biến số động học nào thì trong cơ sở mới cũng có cácbiến số động học đó Trong trường hợp này, toán tử động lượng trong cơ sở hiệuchỉnh có dạng

Pfixed = iħ , (2.11)

thì trong cơ sở mới sẽ được định nghĩa

P(r) = U(r) PfixedU+(r) (2.12)

Một cách tương tự, toán tử spin (đã được chuyển cơ sở) S(r) (= {S1, S2}) cũngđược định nghĩa

S(r) = U(r) SfixedU+(r) (2.13)Như vậy trong cơ sở mới Hamiltonian trong phương trình Schrodinger được địnhnghĩa theo P(r) và S(r), tương ứng trong cơ sở hiệu chỉnh là Pfixed và Sfixed Đối vớicác biến động lượng, một phép toán đơn giản cho ta kết quả

= iħ ψM(r), (2.14)

dĩ nhiên là

fixed = iħ ψM,fixed(r) (2.15)

và tương tự cho các biến spin Vì vậy các biến số “hiệu chỉnh” và biến số

“chuyển đổi” được định nghĩa trong (2.8) và (2.10) thật sự cùng thỏa mãnphương trình Schrodinger (có điều kiện biên) cũng như cùng hàm số Do yêu cầuhàm sóng là hàm đơn trị nên (2.7) thực sự thể hiện được mối liên hệ spin – thống

kê Trong thực tế, chúng ta đã chứng minh được rằng dưới sự hoán đổi fixed khôngnhất thiết phải đơn trị, nhưng đối với = U(r)fixed bắt buộc đơn trị

Cần phải biết rằng, tất cả những gì chúng ta đang làm là xây dựng cơ học lượng

tử cho “bó hai spin” ( a “two – spin bundle”) trong một không gian đại số mởrộng, gọi là không gian Hilbert hai spin, mà hệ vector cơ sở có vai trò như mộtchiếc cầu

III/ Hoán đổi vòng

Như chúng ta đã thấy throng phần trên, cần thiết phải xây dựng một phép biểudiễn mở rộng của spin, một mặt vẫn kết hợp chặt chẽ với phép biểu diễn thôngthường, mặt khác cho phép thêm vào các phép toán mà có thể tạo ra sự hoán đổibằng (flat exchange) Trong giới hạn này, các phép toán được thêm vào khôngmang ý nghĩa vật lý và vai trò duy nhất của chúng là thực hiện sự hoán đổi Như

đã giới thiệu ở phần mở đầu, ta có thể đạt được điều này cũng như tính toán được

ký hiệu chuyển đổi (là thừa số pha xuất hiện khi hoán vị throng cơ sở mới) bằngcách áp dụng sự biểu diễn spin trong các thuật ngữ dao động tử điều hòa củaSchwinger Với một spin đơn, cần hai dao động tử độc lập – dao động tử a, vớitoán tử sinh hủy a+ và a; dao động tử b, tương ứng b+ và b Từ đó, ta xây dựng S

trạng thái của các dao động tử: nếu như có na lượng tử throng dao động tử a và nblượng tử throng dao động tử b, thì từ (2.16) :

S = (na + nb), m = (nanb) (2.18)(Xem lại bài toán dao động tử điều hòa) Với hai spin, chúng ta cần bốn daođộng tử: a1, b1, a2, b2 Các toán tử spin riêng lẻ S1 và S2 được xây dựng giống như(2.16) Thay vì hoán đổi a và b thì ta sẽ hoán đổi 1 và 2, khi đó sự hoán vị sẽkéo theo nội chuyển spin Sau đây, ta tiếp tục làm quen với một số tóan tử mớicũng được định nghĩa dựa trên các thuật ngữ của dao động tử điều hòa, đầu tiên

là toán tử Ea

Ea = (),

Ea+ ≡ Eax + Eay= , Ea− ≡ EaxEay=

Eaz = (), (2.19)một cách tương tự cho toán tử Eb Rõ ràng là [Ea, Eb] = 0 Các thành phần của Eathỏa mãn các hệ thức giao hoán momen xung lượng, các thành phần của Eb cũngvậy Sự kết hợp tuyến tính:

E = Ea + Eb (2.20)duy nhất có chung thuộc tính này, đó là

E × E = iE (2.21)Hơn thế nữa, bằng vài phép toán cơ bản, chúng ta có thể chứng minh được rằng

Trong đó Stot = S1 + S2 Tuy nhiên, S1 và S2 không giao hoán với = Ex ± Ey, vàcũng không giao hoán với và Ngoài ra, ta cũng chứng minh được

E2 = (2.23)

Chúng ta sẽ gọi E là momen xung lượng hoán đổi, bởi vì các hoán đổi vòng mà E

tạo ra có thể thỏa mãn yêu cầu (2.2) Chúng ta bắt đầu với một phép vẽ hình họcđơn giản: khi đường nối các hạt được chuyển từ ez sang r, tương ứng với sự hoánđổi vòng, thì trạng thái hai spin cũng bị thay đổi Một lựa chọn mang tính đốixứng cho chuyển đổi này là trục n(r) trực giao với cả ez và r Nếu (θ, ϕ) là cácgóc cực xác định hướng của r, thì

n(r) = ez r = −exsinϕ + eycosϕ (2.24)

Với sự lựa chọn này, hệ vector cơ sở chuyển đổi được tạo ra bởi toán tử xoayvòng U(r),

U(r) = exp{−iθn(r)∙E} (2.25)

U tác động vào không gian mở rộng của các trạng thái spin, mà số chiều củakhông gian này bằng (4S + 1)(4S + 2)(4S + 3), con số này cũng là số cách mà4S lượng tử có thể được sắp xếp giữa bốn dao động tử (E cho phép Stot bất biến).Bây giờ coi trạng thái của hai spin tương ứng với bộ bốn số n1a, n1b, n2a, n2b, cụthể là

= C|, (2.26)

trong đó C là hằng số chuẩn hóa, C = Mở rộng (2.18), ta có thể viết lại (2.26)như sau:

= ||(2.27)Kết hợp (2.19), (2.20) có

Ez | = ()| (2.28)Đối với spin đồng nhất, S1 = S2 = S, và khi ta không cần viết S một cách rõ ràngthì chúng ta sẽ trở lại ký hiệu mà ta đưa ra ở trên, khi đó

| (2.29)

Từ (2.28), chúng ta thấy, đối với các spin đồng nhất, thu được kết quả quan trọng

Ez| = 0 (2.30)Điều này đảm bảo khả năng bất biến của U: bất kỳ sự xoay vòng không tác độngnào theo trục z, được áp dụng trước U thường được sử dụng để tạo ra cơ sởchuyển đổi từ cơ sở hiệu chỉnh, sẽ không tạo thừa số pha, bởi vì

Exp(Ez)| = | (2.31)Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng U thực sự tạo ra sự hoán đổi spin y theo(2.2) Để tính được giá trị tác động của toán tử xoay vòng (2.25), đầu tiên cầnchú ý rằng

và Ua và Ub giao hoán nhau (do [] = 0), do đó có thể xem tác dụng của chúng làđộc lập Vì lý do này kết hợp với phép biểu diễn Schwinger ta hoàn toàn tínhđược giá trị tác động của Ua và Ub lên các trạng thái của spin bất kỳ trong thuậtngữ của ma trận cấp 2 2 nhân với các vector của toán tử sinh.

Như vậy Ua(r) gây ra phép biến đổi

(2.33)

Tường minh hơn

(2.33’)

và tương tự cho Ub

Theo đó, cũng hướng dẫn rằng đầu tiên để U(r) tác dụng lên trạng thái số tổngquát (2.26), trạng thái mà spin không nhất thiết giống nhau Từ (2.32) và (2.33),

(2.34)trong đó

(2.35)Chú ý rằng khi r r, thì thay thế bởi π và ϕ bởi ϕ + π; Các thừa số chung trong(2.34) có thể được xác định bằng cách rút các thừa số pha bên trong và như vậy,một cách hiển nhiên mở rộng ký hiệu ở trên cho vector cơ sở đã được chuyểnđổi,

(2.36)

từ đây cũng chỉ ra rằng toán tử E thực sự đã tạo ra sự trao đổi của các spin

Một cách viết khác của (2.36) là (so sánh với (2.27))

(2.37)

Tới đây chúng ta cơ bản đã hoàn thành nhiệm vụ thiết lập mối quan hệ giữa spin

và thống kê theo cơ học lượng tử tương đối tính

Tính không phân biệt được của các hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của một loạitương tác lượng tử đặc thù giữa các hạt gọi là tương tác trao đổi