3 Tính chất bị chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số đó bị chặn.. Như vậy, dãy số nào không bị chặn thì dãy số đó phân kỳ... DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU VÀ DÃY CON Việc kiểm chứng sự h
Trang 11) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy:
Cho hai dãy số hội tụ (x n ) và (y n) và cho số thực Khi đó (i) lim(x n y n) limx n limy n
(ii) lim( x n) lim và lim(x n x y n n) limx n limy n
(iii) Nếu limy n 0 và y n 0, n n0 (n0 là số tự nhiên nào đó) thì
lim
lim
2) Giới hạn bảo toàn thứ tự các dãy:
Cho hai dãy số hội tụ (x n ) và (y n)
(i) Nếu x n y n, n n0 (với n0 nào đó) thì limx n lim y n
(ii) [tiêu chuẩn “giới hạn kẹp”] Nếu limx n limy n a và có thêm
dãy số (a n) thỏa x n a n y n, n n0 thì lima n a
3) Tính chất bị chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số
đó bị chặn
Như vậy, dãy số nào không bị chặn thì dãy số đó phân kỳ
4) Các giới hạn cơ bản:
(i) Với r > 0, ta có lim 1r 0,
(ii) Với r > 0, ta có limn 1,
(iv) Với r > 0 và , ta có lim 0,
(1 )n n
n r
(v) Với x 1, ta có lim n 0
Chứng minh
(i) Với 0 tùy ý, chọn
1/
n p
n p Như vậy giới hạn được chứng minh theo
định nghĩa
Trang 22
(ii) Xét trường hợp r > 1 và xét dãy (x n) định bởi n 1,
n
Theo khai triển của nhị thức Newton thì (1 )n
0
n
n Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp thì
limx n 0, suy ra limn r 1
Trường hợp r = 1 thì hiển nhiên Khi 0 < r < 1 thì s 1 1
r ,
áp dụng trường hợp trước, ta có lim 1 lim 1 1
lim
n
s
limn r 1
n
2
n
n n
Newton) Từ đó ta suy ra 2,0 21/2
n
n Dùng tiêu chuẩn
giới hạn kẹp và kết quả (i) ta suy ra x n 0 Vậy limn n 1
(iv) Để dễ hình dung, ta xét thì (1 )n 3 3, 3
n
(Trường hợp tổng quát, chọn số tự nhiên k [ ] 1 thì ta có
(1 )n k k,
n
r C r n k) Ta suy ra, với mọi n 3 thì
n
Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp và kết quả câu (i), ta có đpcm
(v) Khi x = 0 thì hiển nhiên Nếu 0 x 1, chọn r 1 x 0
1
x
p và
1
(1 )
n n
n
Bài tập
Trang 33
1 Với tập con A của khác rỗng bị chặn trên, hãy chứng minh
rằng có dãy số ( )x n A sao cho x n supA khi n Phát biểu kết quả tương tự khi A bị chặn dưới
2 Cho dãy số (x n) bị chặn trên và có tính chất n ,x n x n 1
Chứng minh rằng (x n) là dãy hội tụ
3 Cho dãy số (x n) bị chặn dưới và có tính chất n ,x n x n 1
Chứng minh rằng (x n) là dãy hội tụ
4 Cho dãy số (x n ) hội tụ về 0 và dãy số (y n) bị chặn C/m rằng dãy
số (x n y n) hội tụ về 0 (tích của một dãy hội tụ về 0 với một dãy bị chặn là một dãy hội tụ về 0)
5 Cho (x n ) là dãy số dương hội tụ về x > 0 Chứng minh rằng
n
n x Nếu x = 0 thì kết quả còn đúng không?
6 Với số thực x tùy ý, chứng minh rằng có một dãy (q n) gồm các số
hữu tỉ và một dãy (r n) gồm các số vô tỉ sao cho q n x và
n
7 Cho hai dãy số (e n ) và (E n) định bởi 1 1 ;
n n
e
n
1
1 1
n n
E
n Chứng minh rằng
a) n ,e n 1 e n. Hdẫn:
1 1
2
n n
n
bất đẳng thức Bernouli
b) n ,E n E n 1. Hdẫn:
2 1
1
n n
n
c) Chứng minh tồn tại các giới hạn sau lime n limE n
§8 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU VÀ DÃY CON
Việc kiểm chứng sự hội tụ của dãy số bằng định nghĩa đòi hỏi
ta phải biết giới hạn của nó Nhưng đối với dãy đơn điệu thì không cần như vậy
Trang 44
1 Định nghĩa: Dãy số (x n ) được gọi là đơn điệu tăng (nói vắn tắt là dãy tăng) nghĩa là n ,x n x n 1 Nếu chiều bất đẳng thức ngược
lại thì ta nói dãy số là đơn điệu giảm
Dãy tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn điệu
2 Định lý 7.1 Nếu (x n ) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ về sup n
Nếu (x n ) là dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ về
inf n
n x với inf n inf n
Chứng minh sinh viên làm bài tập ở bài học trước
3 Định lý 7.2 Dãy (e n ) định bởi 1 1
n n
e
n là dãy số tăng, bị chặn trên Do đó, dãy này có giới hạn được ký hiệu là e lim e n Số
e được gọi là số Néper
Chứng minh sinh viên làm bài tập ở bài học trước
4 Định nghĩa dãy con: Cho (n k ) là dãy tăng ngặt các số tự nhiên,
nghĩa là k ,n k n k 1 và n k Ứng với mỗi dãy số (x n), ta đặt
,
k
y x k , thì dãy số mới (y k ) được gọi là dãy con của dãy (x n),
và thay vì viết (y k), ta viết ( )
k
n k
x Ta xét các ví dụ đặc biệt sau đây: Xét n k k k, , thì dãy con ( )
k
n
x cũng chính là dãy ( )x n
Như vậy mọi dãy đều là dãy con của chính nó
Xét n k k p k, , với p là số tự nhiên cố định, thì dãy
con ( )
k
n
x là tịnh tiến của dãy (x n) Ví dụ dãy (x k 2)k là tịnh tiến của dãy (x n) sang phải hai đơn vị
5 Mệnh đề 7.3 * Dãy số (x n ) hội tụ nếu và chỉ nếu mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ và có cùng một giới hạn
* Với một dãy số là đơn điệu, nếu nó có một dãy con hội tụ thì nó cũng hội tụ; nếu nó có một dãy con phân kỳ thì nó cũng phân kỳ
Sinh viên tự chứng minh mệnh đề trên
Trang 55
6 Định lý Bolzano-Weierstrass Mọi dãy số thực bị chặn đều có ít
nhất một dãy con hội tụ
Chứng minh Trước hết ta chứng minh “dãy số thực (x n ) bất kỳ luôn có ít nhất một dãy con đơn điệu” Thật vậy, xét tập hợp
Các chỉ số n thuộc A được gọi là “đỉnh” (đỉnh cao) Có hai trường hợp
xảy ra:
(i) Nếu A có vô hạn đỉnh, ta đặt
n A và n k 1 min \A n1, ,n k , k
thì (n k) là dãy tăng ngặt các số tự nhiên và
là ( )
k
n
x là dãy con đơn điệu giảm
(ii) Nếu A có hữu hạn phần tử, hoặc là tập rỗng, khi đó ta đặt
n A thì n1 không thuộc A, do đó có n2 > n1 sao cho
x x Tương tự, n2 cũng không thuộc tập A, ta có n3 > n2 sao cho
x x v.v Nghĩa là ta có thể định nghĩa được dãy con ( )
k
n
x đơn điệu giảm
Tiếp theo, ta giả sử thêm dãy (x n) bị chặn Từ bổ đề đã chứng minh trên, ta có dãy con đơn điệu bị chặn, do đó dãy con này hội tụ,
ta kết thúc chứng minh định lý
7 Định lý (về tính đầy đủ của ) Mọi dãy số trong hội tụ khi
và chỉ khi nó là dãy Cauchy
Chứng minh Trong bài tập trước, ta đã chứng minh nếu dãy số (x n)
là hội tụ thì nó là dãy Cauchy Ta xét vấn đề ngược lại, giả sử (x n) là dãy Cauchy, khi đó dãy này bị chặn (bài tập trong bài dãy số hội tụ) Theo định lý B-W thì có dãy con ( )
k
n
x hội tụ về x Ta chứng minh (x n ) cũng hội tụ về x Thật vậy, cho trước số 0, do tính chất dãy
Trang 66
Cauchy, tồn tại số tự nhiên p sao cho , ,
2
(n k) là dãy số tự nhiên tăng ngặt nên n k p khi k đủ lớn, và lúc đó
2
Do tính chất bảo toàn thứ tự của giới hạn, ta cho k thì ta được
2
n
từ đây suy ra dãy (x n ) hội tụ về x
8 Nhận xét - Nếu một dãy số không bị chặn thì nó phân kỳ
- Nếu một dãy số có hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau thì nó phân kỳ
- Nếu một dãy số không phải là dãy Cauchy thì nó phân kỳ
Bài tập
1 Chứng minh rằng nếu ( )
k
n
x là dãy con của dãy (x n) thì
2 Chứng minh rằng dãy số (x n) không bị chặn khi và chỉ khi có dãy con ( )
k
n
k
n
3 Cho dãy số (x n) định bởi *
6
1 2n
n
n
x
x
1) Chứng minh n *,x n 0
2) Chứng minh n *,x n 3 (Gợi ý: x n 3 0)
3) Khảo sát tính đơn điệu của dãy (x n) và tìm giới hạn (nếu có) của dãy này
4 Cho dãy số (x n) được định nghĩa như sau: x1 a 0 và
1
n x a x Chứng minh dãy (x n) đơn điệu và bị chặn Tính lim x n
5 Hỏi như bài trên nhưng với dãy số như sau: x1 a 0 và
1
Trang 77
6 Cho dãy số (x n) được định nghĩa như sau: x1 2,5 và
2 1
1
5
n x x Chứng minh dãy (x n) đơn điệu và bị chặn Tính lim x n
7 Cho dãy số (x n) được định nghĩa như sau: x1 1 và
1
1
n n
n
x
x Chứng minh dãy (x n) đơn điệu và bị
chặn Tính lim x n
8 Cho dãy số (x n) được định nghĩa như sau: x1 10 và
1
1
2n
n
n
x
x Chứng minh dãy (x n) đơn điệu và bị
chặn Tính lim x n
9 Cho dãy số (x n) Giả sử hai dãy con (x2k) và (x2k 1) hội tụ về
cùng một giới hạn x Hỏi rằng dãy số (x n) có hội tụ không?