Một số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)

ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)ột số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ ÁP DỤNG

HẠ THỊ NGÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

THÁI NGUYÊN 2016

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 31.1 Một số định nghĩa và tính chất của hàm số lượng giác 31.2 Một số tính chất của đa thức lượng giác 31.3 Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm lượng giác

và lượng giác ngược 41.4 Định nghĩa và một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp

hàm hyperbolic 61.5 Một số đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm lượng giác 71.6 Một số tính chất của dãy số 9

Chương 2 Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm lượng

2.1 Xác định dãy số 132.2 Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm lượng giác 262.3 Xác định các tính chất liên quan đến dãy số sinh bởi hàm

lượng giác 33Chương 3 Một số áp dụng của dãy số sinh bởi hàm lượng

3.1 Tính giới hạn của dãy 383.2 Ước lượng, đánh giá tổng và tích các phần tử 49

3.3 Một số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược và

hàm hyperbolic 51

Mở đầu

Các bài toán về dãy số sinh bởi hàm số lượng giác là một trong nhữngnội dung quan trọng của giải tích Rất nhiều dạng toán khác cũng quy vềviệc ước lượng, tính tổng, xét tính tuần hoàn, tìm số hạng tổng quát vàgiới hạn của dãy số sinh bởi hàm lượng giác

Những bài toán về dãy số là một trong những dạng toán thường gặptrong các kỳ thi Olympic toán quốc gia và quốc tế, Olympic toán sinh viêncác trường đại học, cao đẳng

Việc giải các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững cáckiến thức cơ bản về các lớp hàm này đồng thời nắm được các kiến thứcliên quan và phải biết vận dụng một cách sáng tạo, logic và hợp lý

Chính vì những lý do trên mà tôi chọn đề tài "Một số tính chất củadãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng" nhằm hệ thống một số ápdụng của lớp hàm này Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệutham khảo luận văn gồm ba chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày vềcác tính chất cơ bản của hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược và hàmhyperbolic đồng thời trình bày về một số dạng đẳng thức, các định lý cơbản của đại số và giải tích liên quan

Chương 2 Trình bày các dạng toán về xác định dãy số, ước lượng dãy

số và các tính chất của dãy số sinh bởi hàm lượng giác

Chương 3 Trình bày các dạng toán về tính giới hạn, tính tổng và tíchcủa dãy số sinh bởi hàm lượng giác, một số dạng toán liên quan đến hàm

lượng giác ngược và hàm hyperbolic.

Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ tận tình của TS Đào Thị Liên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến cô - Người đã luôn sát cánh bên tác giả từ những ngày đầutiên thực hiện luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn những gợi ý quý báu của GS TSKHNguyễn Văn Mậu trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu thực hiện

đề tài

Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến BanGiám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin của trường Đạihọc Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo đã tham giagiảng dạy đã giúp đỡ tác giả trong thời gian theo học các chuyên đề vàhoàn thành các công việc của một học viên cao học

Thái nguyên, ngày 30 tháng 05 năm 2016

Tác giả

Hạ Thị Ngân

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

lượng giác

Trong mục này ta xét hàm số f (x) : R →R với tập xác định D ⊂ R.

Định nghĩa 1.1 Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M ⊂ D nếu

Ví dụ 1.2 Hàm số y = cos x, hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ

T = 2π; hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π

1.2 Một số tính chất của đa thức lượng giác

Định nghĩa 1.3 Hàm số có dạng

An(x) = a0 + a1cos x + b1sin x + · · · + ancos nx + bnsin nx,

trong đó an, bn không đồng thời bằng 0 (tức là an2 + bn2 > 0), ai, bj ∈ R

với i = 0, 1, , n, j = 1, , n, được gọi là đa thức lượng giác bậc n

(n ∈ N∗)

Khi tất cả các bj = 0 với j = 1, 2, , n ta có

Định nghĩa 1.4 Hàm số có dạng Cn(x) = a0+ a1cos x + · · · + ancos nx

( an 6= 0 ) được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo cosin

Tương tự, khi tất cả các ai = 0 với i = 0, 1, , n ta có

Định nghĩa 1.5 Hàm số có dạng Sn(x) = b0 + b1sin x + · · · + bnsin nx

( bn 6= 0 ) được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo sin

Tính chất 1.1 Tổng của hai đa thức lượng giác An(x) và Bm(x) là một

đa thức lượng giác có bậc không vượt quá max {m, n}

Tính chất 1.2 Tích của hai đa thức lượng giác An(x) và Bm(x) là một

đa thức lượng giác có bậc bằng n + m

Tính chất 1.3 Nếu đa thức lượng giác

An(x) = a0 + a1cos x + b1sin x + · · · + ancos nx + bnsin nx đồng nhấtbằng 0 với mọi x ∈ R, thì tất cả các hệ số của nó đều bằng 0, tức là

a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = 0

1.3 Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm

lượng giác và lượng giác ngược

Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y = cos x, y = tan x,

y = cot x ta có các hàm lượng giác ngược tương ứng trong các khoảngđồng biến hoặc nghịch biến của chúng

i, (hay trong



−π

2;

π2

hàm số y = sin x (hay y = tan x)

là hàm đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngượcy = arcsin x (hay

y = arctan x)) như sau:

sinh x và gọi coth x là hàm côtang hyperbolic.

1.4.2 Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm bolic

hyper-Các đồng nhất thức cơ bản

cosh2x − sinh2x = 1,

1 − tanh2x = 1

cosh2x,coth2x − 1 = 1

sinh2x.

Công thức nhân đôi

sinh 2x = 2 sinh x cosh x,

cosh 2x = cosh2x − sinh2x = 2cosh2x − 1 = 1 − 2sinh2x,

3

x

1 + 3 tanh3x .

Công thức biến đổi tổng thành tích

cosh x + cosh y = 2 cosh x + y

2[sinh (x + y) + sinh (x − y)]

lượng giác

• Hệ thức đại số ứng với công thức cos 2t = 2 cos2t − 1 chính là côngthức

12



a + 1a



a + 1a

3

− 3



12



a + 1a

với x = 1

2



a + 1a



a + 1a

5

− 20



12



a + 1a

3

+ 5



12



a + 1a

Xét công thức khai triển sin 3t = 3 sin t − 4 sin3t

Từ đây ta thu được công thức (hình thức)

i sin i(3t) = 3(i sin it) − 4(i sin it)3

Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức

12



a − 1a

3

− 3



12



a − 1a



a − 1a



= 2



12



a − 1a

2#

1.6 Một số tính chất của dãy số

1.6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân

Định nghĩa 1.6 (Cấp số cộng) Dãy số (un) thỏa mãn: un+1 = un + d

với mọi số tự nhiên n và d là một hằng số cho trước được gọi là một cấp

số cộng, d được gọi là công sai

* un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) Nếu cho trước

Định nghĩa 1.7 (Cấp số nhân) Dãy số (un) thỏa mãn: un = un−1q với

q là một hằng số cho trước và 1 ≤ n ∈ N, được gọi là một cấp số nhân, q

được gọi là công bội

* un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số nhân Nếu cho trước n

ta được cấp số nhân hữu hạn

* Nếu cấp số nhân có q = 0 ta có dãy u0; 0; 0; ; 0;

* Nếu cấp số nhân có q = 1 ta có dãy u0; u0; u0; ; u0;

1.6.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.8 Dãy số (un) được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính nếutồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = un, ∀n ∈ N.

Số nguyên dương l bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ

cơ sở của dãy

Định nghĩa 1.9 Dãy số (un) được gọi là phản tuần hoàn cộng tính nếutồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = −un, ∀n ∈ N.

1.6.3 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.10 Dãy số (un) được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếutồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = un, ∀n ∈ N.

Số nguyên dương s bé nhất để dãy (un) thỏa mãn điều kiện trên đượcgọi là chu kỳ cơ sở của dãy

Định nghĩa 1.11 Dãy số (un) được gọi là dãy số phản tuần hoàn nhântính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = −un, ∀n ∈N.

1.6.4 Một số định lý về giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.12 Dãy (un) được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim

n→∞un = a,nếu với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, tồn tại số n0 ∈ N sao cho với mọi

Định lý 1.3 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho lim

.Định lý 1.6 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Định lý 1.7 Dãy số thực tăng và bị chặn trên thì hội tụ và giới hạn của

nó là cận trên đúng của tập hợp (un) các phần tử của dãy

Dãy số thực giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và giới hạn của nó là cậndưới đúng của tập hợp (un) các phần tử của dãy

Định lý 1.8 (Định lý Bolzano - Weierstrass) Từ một dãy bị chặn luônrút ra được một dãy con hội tụ

Định lý 1.9 (Định lý Cesaro) Nếu dãy (un) hội tụ đến a thì

limu1 + u2 + + un

Định lý 1.10 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy (xn) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0

cho trước tùy ý, tồn tại chỉ số n0 ∈ N sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có

|xn− xm| < ε

Nhận xét 1.1 Trong thực hành, người ta thường dùng tiêu chuẩn Cauchydưới cách phát biểu sau đây: (xn) hội tụ ⇔ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥

n0, ∀p ∈ N∗ ta có |xn+p − xn| < 

2.1.1 Xác định dãy số sử dụng công thức nhân đôi và nhân ba của hàm sin x, cos x và các hằng đẳng thức lượng giác

Bài toán 2.1 (xem [1]) Xác định dãy (yn) thỏa mãn:

Thật vậy, với n = 1 ta có α ∈ R sao cho cos α = y1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có yk = cos 2k−1α Ta cần chứngminh (1) đúng với n = k + 1 hay yk+1 = cos 2kα

Ta có: yk+1 = 2yk2 − 1 = 2(cos 2k−1α2) − 1 = cos 2kα

Do đó (1) đúng với n = k + 1 nên theo nguyên lý quy nạp



β + 1β



β + 1β

p = −1

⇒

(

p = 2a



β − 1β



β − 1β



β − 1β



= 12



β − 1β

• Nếu |y1| ≤ 1 thì tồn tại α sao cho cos α = y1 Khi đó

y2 = 4cos3α − 3 cos α = cos 3α,

y3 = 4cos33α − 3 cos 3α = cos 32α,



β + 1β

3

− 3



12



β + 1β



= 12

Theo nguyên lý quy nạp suy ra

yn = 12

cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x

Ta cố gắng vận dụng công thức này Giả sử xn = byn+ c, khi đó

β − 1β

3

+ 3



12



β − 1β



= 12



β − 1β

3

+ 3



12



β − 1β

b3 + 18ab27a2

Bài toán 2.7 Tìm số hạng tổng quát của hai dãy số dương (xn), (yn) xácđịnh bởi x1 = 1, y1 = √

Dùng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng với mọi n nguyêndương, công thức xác định hai dãy số đã cho là

π3.2k+1.

Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) theo nguyên lý quy nạp toán học,

ta có (1) đúng với mọi n nguyên dương Do đó số hạng tổng quát của dãy

2.1.2 Xác định dãy số sử dụng đa thức lượng giác

Bài toán 2.8 (xem [1]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn) cho bởi

1 +

√32

vuu

Do công thức lượng giác cos 4α = 8 cos4α − 8 cos2α + 1 nên

và xn+1 = 16√

2x4n − 8√2x2n +

√2

4 − 8√2y

2 n

√2



a + 1a

4

= 12



12



a + 1a



a + 1a

4

− 8



12



a + 1a

= 12



a + 1a

4

− 8



12



a + 1a

Bài toán 2.10 (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm học 2011 - 2012) Tìm

số hạng tổng quát của dãy số (xn) cho bởi

= 1 − 1

u2 n

u4 n



a + 1a



⇔ 2a2 − 5a + 2 = 0 ⇔

" a = 2

a = 12

Bài toán 2.11 Cho dãy số (xn) như sau x1 = 1



a + 1a



a + 1a

5

= 12



a + 1a

3

= 52



a + 1a



= 52



a + 1a



a + 1a

3

+ 5



12



a + 1a



= 12

và

5

−20



12



a + 1a

3

+5



12



a + 1a



= 12

xn+1 = 16



12

1 − tanπ

3 tan

π8

= tanπ

3 +

π8

i.Vậy u2003 = tan



π

3 +

2002π8



= tanπ

3 +

π4



= −√

3 + 2.Bài toán 2.14 Tìm số hạng tổng quát của dãy

1 + cos asin a = cot

tự nhiên và nghĩ đến lượng giác để giải bài toán điều này thể hiện qua cácdấu hiệu: x1 = y1 = √

3, p1 + x2

n

2.2 Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm

Từ bảng biến thiên trên suy ra:



 > 0 khi x > 2005cos2α ⇒ x

1cos2α > 2005

Như vậy x > f (x) khi

Có 2 khả năng sau xảy ra:

1 Nếu u1 = 2005cos2α Từ cách xác định hàm f (x) và theo công thứcxác định dãy, thì

5 sin un, n = 1, 2,

Chứng minh dãy (un) tăng và bị chặn trên bởi π

2.

Lời giải.

Trước hết ta chứng minh rằng

0 < un < π

Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:

- Với n = 1, n = 2 thì u1 = u2 = 1 Vậy (1) đúng khi n = 1 và n = 2

Suy ra 0 < sin uk−1 < 1

Vì thế 0 < uk+1 < 2

5π

π2

2 sao cho f

0(x1) = 0.Lại do hàm sốf0(x)là nghịch biến trên



x0;π2



và kết hợp vớif0(x) > 0

khi 0 < x < x0, ta suy ra bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên này, ta thấy f (x) > 0 khi 0 < x < π

2,

và f (0) = f

π2

Theo trên f (x) > 0 với mọi 0 < x < π

2, nên nói riêng f (1) > 0 Từ đó

2 > un−1 > un−2 > 0 (theo (1) và giả thiết

quy nạp) nên sin un−1 > sin un−2

Vì thế:

un+1 > 2

5πu

2 n−1+ 2π

khi đó với x1 < x2 ta có: trên[x1; x2]có hữu hạn điểm mà tại đóf0(x) = 0,

vì vậy f (x) đồng biến trên [x1; x2] ⇒ f (x1) < f (x2) Vậy f (x) đồng biếntrên R

Nếu a = kπ, (k ∈ Z), dễ dàng chứng minh được bằng qui nạp

un = a, ∀n ∈ N∗

Nếu k2π < a < k2π + π ⇒ sin a > 0

Có un+1 = f (un) và f (x) là hàm đồng biến trên R

mà u1 = a < u2 = a + sin a nên bằng qui nạp ta chứng minh được (un)

là dãy tăng và (un) bị chặn trong khoảng (k2π; k2π + π) (1)

Đặt lim un = b; b là nghiệm của phương trình: b = b + sin b ⇒ sin b = 0

Kết hợp với (2) ta có b = k2π + π Vậy lim un = 2kπ + π

Bài toán 2.20 Cho dãy số (an) xác định như sau:

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an ∈ (0; π) , ∀n ≥ 1.Xét hàm số f (x) = x − sin x, ∀x ∈ [0; π], có

f0(x) = 1 − cos x ≥ 0, ∀x ∈ [0; π]

Suy ra f (x) đồng biến trên [0; π] ⇒ f (x) > f (0) = 0, ∀x ∈ (0; π)

⇒ x > sin x, ∀x ∈ (0; π)

Ta có an+1 = sin an < an, ∀n ≥ 1, dẫn đến (an) là dãy số giảm, mà lại

bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lim an = a Cho công thức truy hồi quagiới hạn tìm được a = sin a ⇔ a = 0 ⇒ lim an = 0



= lim



1sin2an − 1

a2 n

= lim

x→0

2 − 2 cos 2x2.sin2x + 4x sin 2x + 2x2cos 2x

= lim

x→0

2

1 + 4 xsin x cos x +

 xsin x

2

cos 2x

= 13

= 1

3 hay lim

√n.an = √

u2n2vn = 1 − 2



un2vn−1

w0 = − cos ϕ

⇒ w1 = 1 − 2w20 = 1 − 2cos2ϕ = − 2cos2ϕ − 1
= − cos 2ϕ

Do đó dựa vào wn+1 = 1 − 2w2n và theo quy nạp ta suy ra ngay

Đó chính là điều phải chứng minh

sinh bởi hàm lượng giác

Bài toán 2.22 Cho dãy (un) xác định như sau:

2sin x < 0 trên(0, 1), do đó các dãy con(u2n) , (u2n+1)

đơn điệu, bắt đầu từ u3 Mà (un) bị chặn Do đó tồn tại các giới hạn

lim x2n = a, lim x2n+1 = b, và a, b ∈ [0 ; 1]; a , b là nghiệm của phươngtrình x = f (x)

Ta thấy, trên [0 ; 1], phương trình x = f (x) có nghiệm duy nhất.Vậy dãy (un) hội tụ

Bài toán 2.23 (Đề thi HSG Toán THPT Việt Nam 1990) Cho dãy số

(xn), n ∈ N∗, |x1| < 1, được xác định bởi hệ thức:

xn+1 = −xn +p3 − 3x2

n

2 , ∀n = 1, 2,

a) Cần thêm điều kiện gì đối với x1 để dãy gồm toàn số dương?

b) Dãy số này có tuần hoàn không? Tại sao?

thỏa mãn sin α = x1 Khi đó:

x2 = −1

2sin α +

√3

cosπ

3 − α

khi n = 2k + 1

⇔ 0 < α < π

3.

Vậy 0 < x1 <

√3

2 là điều kiện cần tìm.

2) Dựa vào kết quả trên ta có:

• Nếu sin α = sinπ

a) Chứng minh rằng dãy số tuần hoàn.

b) Tìm công thức tổng quát cho xn

Vậy dãy tuần hoàn với chu kỳ 6

b) Tính chất tuần hoàn của dãy số gợi cho chúng ta nghĩ đến các dãy

x − y2

Ta thấy các dãy số cosnπ



α − π6

 = tan



α − π

6 − π6



= tan



α − 2π6



x7 = tan



α − 6π6



= tan (α − π) = tan α = x1

Vậy dãy đã cho tuần hoàn

Như vậy, trong chương này tác giả đã hệ thống một số dãy số xác địnhđược bằng phương pháp lượng giác Đồng thời, tác giả đưa ra một số bàitoán về ước lượng và xác định tính chất của dãy số sinh bởi hàm lượnggiác và bằng phương pháp lượng giác

3.1 Tính giới hạn của dãy

Bài toán 3.1 (Đề dự bị kì thi VMO - 2008) Cho số thực a và dãy số thực

(xn) xác định bởi: x1 = a; xn+1 = ln(3 + cos xn+ sin xn) − 2008, ∀n ∈ N∗.Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn khi n tiến dần đến dương vôcùng

Như vậy dãy (xn) thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy, do đó (xn) hội tụ.

Bài toán 3.2 Cho dãy số (un); n = 0, 1, 2, được xác định như sau:

u0 = a; un+1 = sin2(x + 3), ∀n ∈ N, a là số thực cho trước Chứng minhrằng:

a) Phương trình sin2(x + 3) − x = 2011 có một nghiệm duy nhất là b.b) lim

b) Kí hiệu q = max

x∈[−2011;−2010]

|f0(x)| , khi đó 0 ≤ q ≤ 1 Ta thấy

−2011 ≤ un ≤ −2010 (n = 1, 2, )

Vậy dãy cho tuần hoàn

Như vậy, chương tác giả hệ thống số dãy số xác địnhđược phương pháp lượng giác Đồng thời, tác giả đưa số bàitốn ước lượng xác định tính chất dãy số sinh hàm lượnggiác... hồn.

b) Tìm cơng thức tổng quát cho xn

Vậy dãy tuần hoàn với chu kỳ

b) Tính chất tuần hồn dãy số gợi cho nghĩ đến dãy

x − y2