Phương trình - Bất phương trình cơ bản doc

+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm.. Giải: Phương trình đH cho tương đương với:... * Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phương trình... Vậy để phương

()

x g x f

x g x

g x

(

0)(

0)(

0)()

()

(

2

x g x f

x g

x g

x f x

g x

f

Dạng 2:

( ) ( )

x f

x g x

g x f

2

0

0 )

( ) (

Chú ý:Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đưa về dạng cơ bản , ta làm như sau:

+ Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa

+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm

2 5

3

.

) 2 ( 6

ư

≥

2 7 2 0

14 15

4

2 3

x

x x

x

Giải2:

Phương trình đH cho tương đương với:

311

3

60

3314

ư

≤

x x

x

x x

x

x

Bài 1 2 Giải phương trình sau

) 1 ( 1 2 6 6

1 x2 ư x + = x ư (ĐH Xây Dựng -2001)

Giải:

Phương trình đH cho tương đương với:

21)

12(66

21

2 2

−

≥

x x

x x

x x

x

Bµi 1 3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh

3 2

4 ( ) 2 )(

1 (_

4 1

4 ) 2 )(

−

≥

x x

x

x x

x x

x

Bµi 1 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh

2 3

3 2 6 3

3 2 6

4 3

0 8 8 3

4 3

6 5 2

4

3 2

3 1

3

2 2

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

Bµi 1 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh

x x

=

− +

2 2

2

3

2 3

2 3 2

1 0 2

1 3

4 3

x

x x

x x

x x

0

1 0

0 ) 1 (

1 0

2 2

x

x x

x

x x

x x

2 4 3

3 4

2 8 3 16 6

≥

x x

x

x x x

Bµi 1 7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

27 5

9 3 13

5 13

7

5

27

x x

x

x

23 59

6576 2

229 0

443 458

59

23 5

27

23 27

5 9 3 2 5 27

27 5

9 3 2 36 8

x

x

x x

x

x

x x

x x

5 5

5 3

,

1 x2 − x + = x2 − x +

) 2 ( 30

12

−

= +

4 1 4

5 5

1 5 5 2

1 0

2

3

2

2 2

x x x x

x

x x

t

t t

) ( 6

0 42

2

L t

tm t

2

4 7

.

1

2

x x

x

x

= +

+

+

(ĐH Đông đô-2000)

) 2 ( 4

3 2 4

=

− +

4 2

) (

3 2

2

2

xy y

x

xy y

x xy

y

x

y

x

Giải hệ đối xứng này ta được nghiệm:

2

0 0

2

2 0

x x

x

y x

y x

Giải1:Điều kiện: x ≥ 0 Đặt x = t ( ≥ t 0 )

Phương trình đH cho trở thành:

0 4 8 7

ư

4

1 2

1 3

) ( 1 0

3 42

x

x t

t u

L u

u u

Bài 2 3: Giải các bất phương trình sau

1 2

3 3 4 2

.

1 x2 + x + ư x ư x2 > (ĐHDL Phương Đông -2000)

2 ) 2 ( 4 )

4 (

0

2

51

0

053

t t

13

≤

≤

ư

x x

x x

Giải2:

2 ) 2 ( 4 )

4 (

.

2 x x ư ư x2 + x + x ư 2 <

Điều kiện:0 ≤ x ≤ 4

0 4

ư

t

Thay vào BPT ĐH cho và giải ra ta được t > 1

Thay vào cách đặt ta được:2 ư 3 < x < 2 + 3

Bài 2 4: Giải các bất phương trình sau

7 2

1 2

2

3 3

.

x

x x

3 ) 7 )(

2 ( 7

1 3

2

1 2

9 2

1 1

2 ) 2

<

+

x

x x

x

x

x x

x x

3 4

7 2

3 4 0

3 2

1

3 0

9 3

x

t t

7)(

) 7 )(

2 ( 2

9

7 2

3 0

0 15

2

2

x

x x

x x

t t

t

Bài tập

Bài tập Giải các PT sau:

* Khi đó thường ta được 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là

n n n

n

=+

=++

+

D v u

C Buv v

u A

n n

−

D v u

C Buv v

u A

n n

0

bµi tËp ¸p dông:

Bµi 3 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

) x 6 )(

2 x ( x

6 2

Gi¶i :

v x

6

u 2

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

2 v u 0 8 uv 2 ) uv (

v u uv v

u

uv

8 v

2 x 2 x 6 2

Bµi 3 2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

1 3 x 22

= +

v 3 x

u 22 x

5 x 2

u

; 3 v

3 u

; 2 v 6

u x 56

25 x

2 v

; 3 u

3 v

; 2 u 97

D x g B x f A C

32

314

2(6

2)22

314

4x+ + x− , Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

2)

(342

20

684344

7

263

2

3

27

2623142

3

25

2314

3

22

3145

33

x x

x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

Gi¶i2:

)2(6

2)22

(3

§iÒu kiÖn: x ≥ 2 ; Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:

6 2

6 2

;3

T

Bµi 4 2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau

x x

x x

x

x x

x

x x

x x

x

x

11

2

10

11

2

01

0)11

2(

11

11

2

1

1

1 0

1 0

0

0 1

0

x h

x g

0

x h x g

≥

−

≥ + +

1

1 0

2 2

0 1

0 6 8

2

2 2

x

x x

x

x x

NhËn thÊy x=-1 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®H cho

Víi x ≥ 1: Ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi:

11

642

2

1

12

1)

3(2

1)

1(2)1)(

1()3)(

−+++

≥

⇔

x x

x x

x

x x

x

x x

x x x

x

x

VËy ph−¬ng tr×nh ®H cho cã hai nghiÖm lµ x=1 vµ x=-1

Bµi 5 2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau

1 1

3 2

3 4

1 x2 − x + − x2 − x + ≥ x − (§H KÕ to¸n Hµ Néi -2001)

4 5 2

3 4 2

3

10

)12)(

1(

0)3)(

1(

x x

x x

x

x x

NhËn thÊy x=1 lµ mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh

Víi x ≥ 3 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho vµ ®−îc

2 3

3

x x

x

x

HÖ nµy v« nghiÖm v× x − 3 < x − 1

3(221

12

13

x

x x

x x

1

x

x

NhËn thÊy x=1 lµ mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh

Víi x ≥ 4 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho vµ ®−îc bpt

4 2

A x f

x g B x f

A x f

.2

.2

Gi¶i hai hÖ nµy ta sÏ t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

®H cho

bµi tËp ¸p dông:

Bµi 6 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

2 9 4

4 4

1 2

2 1 2

= + +

− + + +

x

Gi¶i 1:

2 9 4

4 4

4

.

1 x + x − + x − x − = x2 − x +

24 9

2 4 2

4 2

5 4

1

4 5 4

4 2

4 20 9

4 2

24 9

4

− +

−

=

−

⇔ +

x x

x

x x

x x

x x

V× x ≥ 8 Nªn

3 4 2

4 2

5 4

≥

− +

24 9

1 2

2 1 2

= + +

− +

+ +

x

51

11

=

ư+++

111

1

21

2111

ư

≥

x x

x

x x

x

Tập nghiệm:[ 2 ; +∞ )

7.Phương pháp Đạo hàm

Dạng : Bài toán tìm m để phương trình f(x)=m có nghiệm,

Bài toán chứng minh phương trình f(x)=A có nghiệm duy nhất, Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=m theo tham số m

Phương pháp giải :

* Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x)

* Tính đạo hàm f’(x) ,lập bảng biến thiên

* Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phương trình

bài tập áp dụng:

Bài 7 1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm

) 4 5

( x = x x + x +

12 2

1 2

3 )

g

⇒ g (x ) đồng biến và luôn dương trên D

x x

x

4 5

2

4 5

x x

x h

Vậy để phương trình đH cho có nghiệm thì:

2

.

1 x2 ư x + + x ư =

1 1 4

0 5 2

ư

x x

x x

Ta có: x2 ư 2 x + 5 = ( x ư 1 )2 + 4 ≥ 4 ∀ x

VP x

x x

Dấu bằng xảy ra khi x=1

Vậy pt đH cho có nghiệm duy nhất x=1

Giải 2: 2 4 x ư 1 + 4 x2 ư 1 = 1

Điều kiện:

212

x

Vậy VT = 4 x ư 1 + 4 x2 ư 1 ≥ 1 = VP

0 1 4

1 1 4

x

Vậy pt đH cho có nghiệm: x = 12

Bài 8 2: Giải các phương trình sau:

x x

x x x

Víi x>0

x x

x x x x

x x

x x

x

x x

x

32

32

+++

<

++

3

02

11

3

02

11

2 1

2 1

x x

x x

βα

βα

βα

βα

βα

2 1

2 1

2 1

2 1

,7

,6

,5

,4

x x

x x

x x

x x

x x

Ba bài toán cơ bản của tam thức bậc hai:

1, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc R

2, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;+∞);

3, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;β);

20

20

2 1

2 1

2 1

t t

t t

t t

Hệ điều kiện trên tương đương với:

19

22

1075419

07

m m

-

Bài 9 2:Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m x x

9 4

1 0

cã nghiÖm ∈   2  

9

; 0

2

90

2

90

2 1

2 1

2 1

t t

t t

t t

9

10 9

9 4

9

0 4 9

0 9

0 10

0 4

9 9

2 2

0

0 2

9

0 0

0

0 2

9

m m m

m m

S y x

+ Gi¶i hÖ víi hai Èn S,P + Thö ®k vµ lÊy x,y lµ hai nghiÖm pt X2-SX+P=0

+

= +

78

1 7

xy y xy x

xy x

y y

=

− +

>

78 7

0 ,

xy y x

xy y

x y x

y x

7

v

u uv

v u

Giải ra ta được 2 nghiệm( ) ( ) 4 ; 9 ; 9 ; 4

Hệ đối xứng loại 2:

- Là hệ phương trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì hai phương trình của hệ

đổi chỗ cho nhau

Cách giải: -Trừ vế với vế của hai phương trình để được một phương trình có dạng tích

- Hệ đH cho sẽ tương đương với tuyển hai hệ phương trình

- Giải hai hệ này để tìm nghiệm x và y

=

ư++

m x

y

m y

x

21

21

+

ư

+

m x

y y

x

m y

x y

x

2 1

1

2 1

=

ư +

+

ư

+

ư +

=

ư +

x m

x x

y x m

x y

y

x

x y

y

x

2 1 2

1 2

2 1

1

2 1

2 1

1, Với m=9 ta có hệ:

3 5

2 1

5 5

=

y x x

x x

y x

x

x x

=

ư +

=

m

m m

x

m y x

m

x m

x x

y

x

4

8 2 2

1 2

0

2 1 2

1 2

2

0 3 0

9

0 9

ư

m

m m

m m

Kết luận:m ≥ 3

11.Phương pháp đặc biệt

1.Phương trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai

Bài toán tổng quát:

Giả sử các điều kiện sau được thoả mHn: u=ar +d và v=br+e

=+

+

=+

br x u ar uy v

ux

r

br arx v

uy

r

2 2

Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình , được một tuyển hai hệ phương trình trong đó có một nghiệm x=y

Lời giải: Điều kiện 2 x + 15 ≥ 0

+

=+

152)24(

152)24(

2 2

x y

y x

Hệ này là hệ đối xứng loại hai Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình ,

Ta được 2 nghiệm là

16

221 9

2

1

2 1

Bài toán tổng quát:

Giả sử các điều kiện sau được thoả mHn: u=ar +d và v=br+e

= +

+

= +

br x u ar uy v

ux

r

br arx v

uy

r

3 3

Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình , được một tuyển hai

hệ phương trình trong đó có một nghiệm x=y

=

ư

5 3 3 2

5 2

3 2

3 3

x y

x y x

Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phương trình ,

Ta được 3 nghiệm:

4

35

;4

35

2 2

8.x= ưa b a bx( ư ) ;

3.Sử dụng tính chất véc tơ:

b a b

+

≤ +

Dấu bằng xảy ra khi hai véc tơ a ϖ

và b ϖ cùng hướng , tương đương với:

x g A

= +

C B A

x h x g x f

Dặt : ( ( ) )

( ) ( g x B ) a b ( f ( ) x g ( ) x A B ) ( h ( ) x A B )

b

A x f a

+

= + +

= +

+

=+ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ a ϖ

10816

; 5

2 20

; 4

= +

b

x

ϖ ϖ

Vậy ta có:

2003

; 267 10

; 816

2

= +

+ +

= +

b x

x a

ϖ

ϖ

ϖ ϖ

Phương trình đH cho trở thành a b a b

ϖ ϖ ϖ

t ; hoặc x=cost với t∈ ;[0 Π] ; và giải phương trình lượng giác

Dạng 2: Bài toán có chứa x2ư1

Phương pháp giải : Điều kiện x ≥1.Dựa vào điều kiện này ta đặt t

x cos

1 = với t∈ ;[0 Π] ; và giải phương trình lượng giác

bài tập áp dụng:

-

Bài 11 4: Giải phương trình: :

x x

Π

ư

=

Π+

282

cos3

cos

0sinsin

3cossin

cos3cos

k t

k t

t t

t t

t t

t t

4

22

22

858

43

x x x

-

Giải : Điều kiện x >1.Vì vế trái luôn dương nên yêu cầu x > 0 , do đó x>1

Dựa vào điều kiện này ta đặt :

;0

t ; và giải bất phương trình lượng giác

3 5

1 cos 5

4

5

3 cos 0 1

cos 25

16

25

9 cos

0

625

144 cos

1 cos 0 25

12 cos

sin 0 25

12 0

cos sin 0

144 144

2 1225

cos sin

1225 cos

sin 2 1 144

cos sin 35 cos

sin 12 12

35 sin

1 cos

1

2 2

2 2

2

2 2

x

x t

t t

t

t t

t t y

t t y

y y

t t

t t

t t t

t t

t

-