Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai là 2 giờ.. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?. Bài 4 4.00điểm Cho tam giác ABC vuông tại
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Ngày thi: 30/6/2012
(Thời gian: 120 phút – không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1: (2.00điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
1) Rút gọn biểu thức: A = 12+ 48− 75
2) Giải hệ phương trình: 2x 3
3x 2 8
y y
+ =
− =
Bài 2: (2.00điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho parapol (P) : y = 1 2
4x
1 Vẽ đồ thị (P)
2 Xác định các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = 1
2x + m2 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) sao cho y1− y2 + x12 − 3 x22 = − 2
Bài 3: (2.00điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 1 giờ 3 phút bể đầy nước Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
Bài 4 (4.00điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn (O) đường kính AB, (O) cắt BC tại điểm thứ hai là D Gọi E là trung điểm của đoạn OB Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt AC tại F
1) Chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp
2) Chứng minh BDE=AEF· ·
3) Chứng minh tanEBD = 3tanAEF· ·
4) Một đường thẳng (d) quay quanh điểm C cắt (O) tại hai điểm M, N Xác định vị trí của (d) để độ dài CM + CN đạt giá trị nhỏ nhất
_HẾT
Giám thị không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN GIẢI
Trang 2Bài 1: (2.00điểm)
1) A = 12+ 48− 75 2 3 4 3 5 3= + − = 3
2) Giải hệ phương trình: 3x 22x+ =y y 38⇔x y=21
− = = −
Bài 2: (2.00điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parapol (P) : y = 1 2
4x
1 Vẽ đồ thị (P)
2) Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
2
1
4x = 1
2x + m2 ⇔ 1 2
4x - 1
2x - m2 = 0 ⇔ x2 – 2x – 4m2 = 0
∆’ = 1 + 4m2 > 0 với mọi m
Vật pt luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt, theo hệ thức Viet, ta có:
x1 + x2 = 2 (1)
x1.x2= -4m2 (2)
Theo đề bài ta có: y1− y2 + x12 −3x22 = −2 mà y = 1 2
4x
⇔ 2 2 2 2
4x −4x +x − x = −
⇔ 2 2
5 13
2
4x − 4 x = −
Ta có: x1 + x2 = 2 => x1= 2 – x2, ta được:
4 −x − 4 x = −
⇔ 8x22+20x2−28 0=
Ta có: a + b + c = 8 + 20 -28 = 0
Vậy pt có hai nghiệm: x21= 1; x22 = 28 7
− = −
* Với x21= 1=> x11 = 1
Suy ra: -4m2 = 1 (vô nghiệm với mọi m)
O y
x
Trang 3* Với x22 = 7
2
− => x12 = 11
2 Suy ra: -4m2 = 77
4
− => m = 77
4
±
Vậy m = 77
4
± thì đường thẳng (d): y = 1
2x + m2 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) sao cho y1− y2 +x12 −3x22 = −2
Cách 2 Theo đề bài ta có: y1− y2 + x12 − 3 x22 = − 2 mà y = 1 2
2x m+ .
1
3 2 0
2 x −x +x − x + = (1), x1 = −2 x2 thay vào pt: (1)
2
1 1
2
2
x
x
=
= −
Tiếp theo tương tự trên…
Bài 3: (2.00điểm)
Gọi x≥0,y≥0 lần lượt là thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1, 2 ( x, y >21
20) Trong 1h vòi 1 chảy một mình đầy 1/x bể, trong 1h vòi 2 chảy một mình đầy 1/y bể
Theo đề bài hai vòi cùng chảy tốn 21/20h đầy 1 bể
Ta có hpt:
1 1 1
21 20 2
x y
+ =
− =
Giải hpt ta có: (x;y) = 7 3;
2 2
Vậy thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 là : 7
2; vòi 2là: 3
2 giờ
Trang 4Bài 4 (4.00điểm)
1) Chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp
Xét tứ giác AEDF có EAF EDF· +· =2v(gt) nên tứ giác AEDFnội tiếp đường tròn đk EF 2) Chứng minh BDE=AEF· ·
Ta có AD⊥BC(CAD ABC ABC ACB· = · ,· +· =1v)
EDA AFE= (góc nội tiếp) ·AFE AEF+· =1 ,v BDE EDA· +· =1v Từ đó suy ra BDE=AEF· · 3) Chứng minh tanEBD = 3tanAEF· ·
Ta có: ∆ABD vuông tại D: tan ·EBD = D
D
A B
∆AEF vuông tại A: tan ·AEF = F
E 3
A = BE => 3tan ·AEF = 3
3
Mà: ∆AFD: ∆BEB gg( ) => AF D
D
A
Suy ra: tan ·EBD= 3tan ·AEF
4) Ta có: ∆CMA: ∆CAN gg( ) => CM.CN = CA2 (không đổi)
suy ra: CM + CN nhỏ nhất khi CM = CN ⇔ M trùng với N => d là tiếp tuyến của (O)