Tích phân kép

Định nghĩa, cách tính tích phân kép ---Cho vật thể hình trụ cong được giới hạn trên bởi mặt bậc hai , f  f x ygiới hạn dưới bởi miền D đóng, bị chặn.. giới hạn xung quanh bởi những đườ

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 3: Tích phân kép

giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn)

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D

Tìm thể tích vật thể

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f x y( , )

giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn)

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên DTìm thể tích vật thể

1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, , Dn

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-Định nghĩa tích phân kép

Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D

Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D

Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có)

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-Ví dụ

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f x y( , ) 16  x2  2y2 giới hạn dưới bởi hình vuông: R [0,2] [0,2] giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R

Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:

a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;

b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;

c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;

d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;

e) Tính thể tích của vật thể

4 1

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

y x y

x y x

d

2 0

x x

1115

Ví dụ

Tính tích phân kép 1 1 2

0

x y

x D

1

0 0

x x

I  dx e dy 1 2

0 0

x x

e y dx



2

1 0

Ví dụ

Tính tích phân kép

1 1

3 0

sin(x 1) y x dx

1

2 3 0

3 12

( , )

y y

Ví dụ Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2:

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r 2

II Tọa độ cực

-Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2 2 cosr   r 2cos

Ví dụ Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: x2  y2 2x

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2 2 sinr   r 2sin

Ví dụ Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: x2  y2 2y

Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là: cos 2 2

II Tọa độ cực

-cossin

Tọa độ cực của điểm Rij là: (r i* cos ,*j r i* sin*j )

( , ) lim m n ( i cos ,j i sin j ) i

m n i j R

I  

8cos3

II Tọa độ cực

-0 0

cossin

Khi đó định thức Jacobi:

' ' ' '

r r

r r



r a

y

r b

r r

Gốc tọa độ dời về đây

x

r y

Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f(x,y), giới hạn dưới bởi miền

D, giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trên biên D:

( , )

D

V f x y dxdy

Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f2(x,y), giới hạn dưới bởi

f = f1(x,y), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trên biên D:

 2( , ) 1( , )

D

V  f x y  f x y dxdy

D

1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z z x y 2( , )

2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z z x y 1( , )

3) Xác định hình chiếu của xuống 0xy:  D proxy

Chú ý: 1) Có thể chiếu xuống 0xz, hoặc 0yz Khi đó mặt phía trên, mặt phía dưới phải theo hướng chiếu xuống

1 2

(2 ( 1))

y y

1 2

3

y y

III Ứng dụng hình học

-Mặt S cho bởi phương trình z = z(x,y), D là hình chiếu của S xuống 0xy

Chia miền D thành n miền con D1, D2, , Dn S được chia thành các mặt con S1, S2, , Sn

Lấy điểm bất kỳ P x y i ( , ,0)i i  D i Tương ứng điểm ( , , )M x y z i i i i S i

T là mặt tiếp diện với S tại Mi

Gọi là góc giữa hai mảnh Di i và Ti : S D( )i S D( ) cosi  i

Ta có là góc giữa pháp tuyến tại Mi i với mặt S và trục Oz

Ví dụ

Tính diện tích phần mặt paraboloid nằm trong hình trụ z  1 x2  y2

Hình chiếu của S xuống 0xy:

Bài tập

Bài tập