Giáo trình đại số hiện đại Phần 2

với các p hần tir .V.. Do a là iđêan nguyên tố.. Do nên ta suy raVậy.. G iả sử ngược lại.. nên theo Bô đề K uratow ski-Zorn.. thì ta không CÒI1 gì đẽ ch ứ ng m inh nữa.. M ọi vành idean

§1 C ác đ in h n g h ĩa v à v í d u

1.1 Đ i n h n g h ĩ a , (i) M ột t ậ p h ợ p R đ ư ợ c gọi là m ột vành n ế u trê n R có

liai phép to á n hai ngôi, m ộ t gọi là phép cộng và m ột gọi là phép n hân, sao cho các điều kiện sau đ ư ợ c th ỏ a mãn:

( R \ ) T ậ p h ợ p R là m ộ t nh ó m Abel đối với p hép cộng.

(/?■>) P h é p n h â n tr ê n /? là kết hợ p và có đ ơ n vị

{R:ị) Luật phân phối: P h c p n h â n là p h â n phối đối với phép cộng T ứ c với các p hần tir V ụ, z G R tu y ý, ta luôn có

{x + y ) z = x z + y z v à z ( x + y) = z x + zy.

N hư thông th ư ờ n g t a ký hiệu p h ầ n t ử đ ơ n vị đối với phép n h â n c ủ a R

là en và p h ầ n t ử không của nhóm Abel cộng c ủ a R là 0/Ị T rư ờ n g h ợ p v àn h

/? đ ã xác đ ịn h cụ t h ể tr ư ớ c th ì t a ký hiệu đ ơ n giản 1 cho p h ầ n t ử đ ơ n vị v à

h ướng này

C h ư ơ n g III

64 Giáo trình đại s ố hi ệ n đại

(ii) Một v àn h R đ ư ợ c gọi là m ột tr ư ờ n g , n ế u R là một v à n h giao hoán

và mọi p h ầ n t ử khác không c ủ a R đ ề u có nghịch đào N ghĩa là t ậ p hợ p fí* = R \ {0} lập th à n h m ộ t nhóm đối với phép n h â n c ủ a R.

T rư ớc hết t a tó m t ắ t m ộ t số tín h c h ấ t đ ơ n giản n h ấ t về v à n h và trirờng

không có p h ầ n t ử nào là ước c ủ a không, khi và chi khi luật giản ước trái

VO / i e i?, Va b e R, x a — xb =>■ a = b

hoặc luật giản ước phải

VO 7- X e R Va ò e R , a x = bx ==>• a = b

đ ư ợ c th ò a m ã n tro n g R T h ậ t vậy, giả sử R không có ước củ a không T ừ

x a = xb kéo theo x ( a - b) = 0 t ừ đ â y suy ra a = b vì X Ỷ 0- L u ậ t giản ước phải cũng đ ư ợ c ch ứ n g m in h tư ơ n g tự Ngược lại giả sử chẳng h ạ n trê n R

có luật giản ước trái K hi đó với hai p hần t ử a b e R tu ỳ ý sao cho ab = 0

và a Ỷ 0 t ừ ab — aữ t a suy r a theo luật giản ước rằ n g 6 = 0

M ột v ành giao h oán không có ước của không đ ư ợ c gọi là m ộ t m iề n nguyên.

7) Nếu R là m ộ t t r ư ờ n g th ì R không có ước củ a không, suy ra là m ột miền nguyên T h ậ t vậy, cho x y = 0 nếu X ^ 0 thì

ỉ 0 (niod rì) n ln m g ki = 0(m od n) T rư ờ n g hợ p n là m ột số nguyên tố, t a

có th ể chứ ng m in h dề d à n g r ằ n g z „ là m ộ t trư ờ n g

2 Cho tậ p h ợ p M n (R ) gồm t ấ t cả các m a t r ậ n vuông cấ p n có hệ số tro n g t ậ p h ợ p các số th ự c R Dễ kiểm t r a t h ấ y r ằ n g M n (R ) lập t h à n h m ột vàn h với phép cộng và n h â n m a t r ậ n th ô n g thư ờng H ơn nữ a, n ế u n > 2 th ì

vành này không là v à n h giao hoán

66 Giáo trình đạt s ố hiện đại

P h ầ n t ử không c ủ a v à n h này là á n h xạ h ằ n g cho giá trị là p h ầ n t ử không của

R và p hần t ử đ ơ n vị c ủ a nó là á n h xạ h ằ n g cho giá trị là p h ầ n t ử đ ơ n vị của

R Rõ ràng M ( S , R ) là giao h oán khi v à chỉ khi R là m ộ t v à n h giao hoán 4) Cho A là m ột nh ó m Abel X ét tậ p h ợ p E n d (A ) t ấ t cả các đồng cấu nhóm từ A vào A Với p h é p cộng là cộng các á n h xạ th ô n g th ư ờ n g v à phép

nhân là phép lấy á n h x ạ h ợ p th à n h , t a có th ể kiểm t r a m ộ t cách không khó khăn đ ư ợ c rằ n g E n d (Ẩ ) với các phép to á n n ày lập th à n h m ộ t v à n h và vành này nói chung không là v à n h không giao hoán

1 4 Ề Đ i n h n g h ĩ a C ho R là m ộ t vành Nếu tồn tại m ộ t số nguyên d ư ơ ng

n nhỏ n h ấ t sao cho n l — 0 th ì t a nói r ằ n g v à n h R có đặc s ố n T r ư ờ n g hợp ngược lại, không tồn tại số t ự nhiên n Iiào đ ể n l = 0 th ì t a nói R có đặc s ố

0 Đặc số c ủ a v à n h R đ ư ợ c ký hiệu là c h (R).

l ể5 M ê n h đ ề Các m ệ n h đ ề sau là đ ú n g đối với m ọi m iền n g u vcn R (i) N ế u c h ( R ) = 0 thì cấp cùa m ọ i p h ầ n t ủ trong n h ó m A b e l cộng của R đều là vô hạn.

(ii) N ế u c h (R ) = n, với n là m ộ t s ố n g u vên dư ơng, thì cấp cùa m ọ i phần

tử trong n h ó m A b c l cộng của R đ c u là n và h u n nửa, n p hải là m ộ t s ố nguyên tố.

Chứng minh (i) G iả sử ngư ợ c lại, tồn tạ i m ộ t p h ầ n t ử khác không X € R

và m ột số nguyên d ư ơ n g n sao cho ĨỈX = 0 T ừ đ â y t a suy ra

n ( l x ) = ( r íl)a : — Ox = 0

Do R là miền nguyên, n ên n l = 0 Điều này kéo th e o c h (/ỉ) < n m â u t h u ẫ n với giả th iế t là R có đ ặ c số không.

(ii) K ết luận đ ầ u c ủ a m ệ n h đ ề lập tứ c đ ư ợ c suy ra, n ế u t a ch ứ n g m inh

đ ư ợ c rằng: với hai p h ầ n t ừ khác không x y G R tu ỳ ý v à m là m ộ t số Iiguyên.

C h ư ơ n g III Vành, t r ư ờ n g và đa thức 67

t ừ rn.v = 0 kéo theo m ụ = 0 T h ậ t vậy, t ừ

x { m y ) = m ( x y ) = (■m x ) y = Oy = 0

t a suy ra đo R là m iền nguyên r ằ n g m y = 0 Bây giờ giả sử ngược lại r ằ n g

n không phải là m ộ t số nguyên tố, tứ c tồn tại hai số nguyên d ư ơ n g p q th ự c

sự nhò hơn 77 sao cho n = pq Khi đ ó t a có

{ p ì ) ( q l ) = p q ì = n \ = 0

T ừ đ à y suy ra do R là m iền nguyên, p l = 0 hoặc q\ = 0 T rư ờ n g h ợ p nào cùng đi đ ế n c h ( R) < n V ậy n p h ải là m ột số nguyên tố □

Ịị2 Iđ ê a n v à đ ồ n g c ấ u v à n h

2.1 Đ i n h n g h ĩ a , (i) M ột t ậ p h ợ p COI1 A của m ột vành R đ ư ợ c gọi là m ột

vành con cùa R n ếu 4 lập th à n h một nhóm con Abel với phép cộng của R v à

đó n g đối với phép n hàn, tứ c ab e A Va.b G A T rư ờ n g h ợ p R là m ộ t tr ư ờ n g

t h ì m ộ t v à n h COI1 c ủ a R đ ư ợ c gọi l à m ộ t t r ư ờ n g c o n n ế u n ó l à m ộ t t r ư ờ n g

với các phép toán trên fí.

(ii) Một tậ p h ợ p con a c ủ a m ột vành R đ ư ợ c gọi là m ộ t i đêan trái (hoặc iđêan p hải) củ a /?, Iiếu a là m ột v à n h con c ủ a R v à th ỏ a m ã n tín h chất

Nếu a vừa là iđõan p h ải vừa là iđêan trái của /? thì đ ư ợ c gọi là m ột iđèan

cùa /?

C h ú ý rằng, ta không đòi hỏi m ộ t v àn h con A c ủ a v à n h R p h ải c h ứ a đ ơ n

vị cùa R liên Iiói chung m ộ t v à n h con c h ư a phải là một vành Rõ rà n g R v à {0} là n h ữ n g iđêan của R M ột iđêan (trái, phải) của R khác với R đ ư ợ c gọi

là iđêan (trái, phải) thự c sự.

2 2 M ê n h đ ề Giao cùa m ộ t họ bất k ỳ các vành con (hoặc iđêan trái, phải) cùa m ộ t vành R cho tr ư ớ c là m ộ t vành con (hoặc iđẽan trái, p h ã i) của R.

Chứng minh G iả sử ( Aj ) i £Ị là m ộ t họ các v à n h con (hoặc iđ ê a n tr á i phải)

cùa /? Đặt

Ra c a (hoặc a/? c a).

68 Giáo trình đại s ố hiện đại

Theo II (2.4) thì A là m ột nh ó m con củ a nhóm Abel cộng R H iển nhiên là

A đóng với phép n h ản c ủ a R vì mỗi A ị đ ề u đóng với p h é p n h â n đ ó (hoặc

R A ç A hoặc A R ç A vì mỗi A l đ ề u có các tín h c h ấ t tư ơ n g ứng) □

Cho s là m ột t ậ p h ợ p con c ủ a m ộ t v à n h R Khi đó, giao c ủ a t ấ t cả các vành con (hoặc iđêan trái, phải) củ a R c h ứ a s theo (2.2) lại là m ột v à n h con (hoặc iđêan trái, phải) c ủ a R V à n h con (hoặc iđêan trái, phải) n à y đ ư ợ c gọi

là vành con (hoặc iđêan trái, phải) sinh bời s và s đ ư ợ c gọi là hệ sinh của chúng Đối với iđêan trá i sinh bời m ột tậ p h ợ p s t a th ư ờ n g ký hiệu là ¿ ( S ) hoặc R( S ) T ư ơ ng t ự t a ký hiệu cho iđêan phải s i n h bời s là { S ) n hoặc (S ) R Còn với iđêan sinh bới 5 th ì ký hiệu đ ơ n giản là (5 ) (khi v à n h R đ ã xác định trước) Cho X là m ột p h ầ n t ử tu ỳ ý của v à n h /?, th ì các tạ p h ạ p R x x R và

R x R là n h ữ n g ví dụ đ ơ n giản cho các iđêan trái, phải v à iđê an c ủ a R có một phần t ử sinh là X, chúng đ ư ợ c gọi m ộ t cách tư ơ n g ứ n g là iđêan trái, pháỉ chính hoặc iđêan chính c ủ a R M ột v àn h giao hoán R m à mọi iđé an đ ề u là iđêan chính th ì đ ư ợ c gọi là vành iđêan chính.

Bây giờ cho a là m ộ t iđ ê a n c ủ a m ộ t v à n h R Vì a là n h ó m con củ a nhóm Abel cộng c ủ a R nên th e o II (3.7) t a có nhóm th ư ơ n g R / a c ủ a t ấ t cả các lớp ghép { x + a} x e /Ị T a sẽ c h ứ n g m inh rằ n g R / a có c ấ u trú c củ a m ột vành 2.3 Đ i n h lý Cho a là m ộ t iđêan của m ộ t vành R K h i đó R / a là m ộ t vành với p h é p nhân đ ư ợ c đ ịnh nghĩa n h ư sau:

(x + a) ( y + a) = x y + a, Vx y e R.

Chúng minh T rư ớ c h ế t t a ch ứ ng m inh p hép n h â n đ ư ợ c xác đ ịn h n h ư trén

là có nghĩa, tứ c là nó không p h ụ thuộc vào cách chọn đ ại diện c ủ a lớp ghép

Cụ thể, cho a = X (m od a) v à b = y (m od a), t a phải chứ ng m inh r ằ n g

C h ư ơ n g III Vành, t r ư ờ n g và đa thức 69

Rõ ràng x d + cy + cd € a vì a là m ột iđêan T ừ đ â y t a suy ra ab — x y G a là

điều cần chứng minh Dễ th ấ y lớp ghép 1 + a là p h ần t ử đ ơ n vị đối với p hép

n h â n trên Việc c h ứ n g m in h p hép n h â n đ ịnh nghĩa nh ư trê n p h â n phối với

phép cộng các lớp ghép c ủ a R / a là hiển Iiliiên d ự a vào tín h p h â n phối c ủ a phép n hân đối với p h ép cộng tro n g v ành R Vậy R / a là m ột vành □

V àn h R / a xác đ ịn h n h ư trê n đ ư ợ c gọi là vành th ư ơ n g c ủ a R theo

Đống c ấu v à n h / đ ư ợ c gọi là đ ơ n cấu toàn cấu hay đẳng cấu n ế u ánh

x ạ f tư ơ n g ứng là đ ơ n cấu to à n c ấu hay đ ẳ n g cấu.

2.5 B ổ đ ề Cho f : R — + s là m ộ t đòng cấu vành từ vành R vào v ành s

Chứng minh Ta đ ã biết tro n g chương II về nhóm r ằ n g I m ( / ) và K e r ( / )

tư ơ n g ứ ng là n h ữ n g nhóm C011 của nhóm Abel cộng của 5 và R H iển nhiên

I n i ( / ) đóng đối với p h é p n h ả n c ủ a s nên Im( f) là m ột v à n h con của 5 Ngoài

r a , v ớ i c á c p h ầ n t ử (1 E K e r( / ) v à X G R t u y ý t a c ó .

f { a x ) = f ( a ) f (.r) = 0 f ( x ) = 0 và / ( x o ) = / ( x ) / ( o ) = f ( x ) 0 = 0

Đicu này kéo th e o a x x a € K e r ( / ) V ậy K e r ( / ) là một iđ ê a n của R □

2 6 C h ú ý ẳ B ảy giờ t a xét lớp ÍH t ấ t cả các v à n h m à c ấu x ạ g iữ a hai v ậ t

R s 9 ÍH là đồ n g c ấ u vèilll y à tích cùa hai c ấu xa chính là á n h xa h a n th à n h

70 Giáo trinh đại s ố hi ệ n đại

Dễ chứng minh đ ư ợ c r ằ n g h ợ p t h à n h của hai đồng cấ u v à n h lại là m ột đồng

cấu vành Khi đó, rõ rà n g SR th ỏ a m ã n các tiên đề ( K i) (A >) (A.ỉ) tro n g II (5.1) nên lập th à n h m ột p h ạ m tr ù gọi là phạm trù các vành T ừ h á y giờ trớ

đi, khi nói tới m ột đồng cấ u ta hiểu nó là m ột đồng c ấ u nh ó m n ếu t a đ ang xét trong p h ạm tr ù các nhóm 0 hay là m ộ t đồng c ấu v à n h n ế u ta đ a n g làm việc với p h ạm tr ù các v à n h ÍK

2.7 V í d u 1) Cho a là iđ ẻ an c ủ a một v à n h R Xét v à n h th ư ơ n g R a như

đ ã định nghĩa trong (2.3) Ta đ ã biết rằ n g á n h xạ

Như vậy, k ết h ợ p với (2.6) t a đ ã ch ứ ng m in h đ ư ợ c m ệ n h đ ề s a u đây:

M ột tập hợp con a cùa vành R là m ộ t iđêan khi và chi khi tòn tại một đồng cấu f : R — - 5 tủ R vào m ộ t vành s sao cho a — K e r ( / j

Bây giờ cho f : R — ■* s là m ộ t đồng cấu t ừ v àn h R vào v à n h s v à a b

là n h ữ n g iđêan tư ơ n g ứ n g c ủ a R v à s sao cho / ( a ) Ç b K hi đ ó t a th ấ y r à n g

lý về đ ẳ n g cấu sau đây

2.8 Đ i n h l ý ễ Cho f : R — » s là m ộ t toàn cấu từ vành R vào vành s K h i

đó đòng cấu cảm sinh

r : i ? / K e r / — > 5

là Iìiột d ằ n g cấu.

Trờ lại với p h ạ m t r ù các v àn h ÍR K hi đó ta có đ ịn h lý về sự tồn tại tích

và đối tích tro n g p h ạ m t r ù n à y m à chứng m inh củ a nó đ ư ợ c suy ra dễ d àn g

t ừ sự tồn tại của tích và đối tích tro n g p h ạm tr ù các nhóm Abel

2 ẳ9 Ế Đ i n h lý Tích và đối tích tồn tại trong p h ạ m trù các vành ÍR.

Chứng minh Với m ộ t họ ( R, ) i £Ị các v à n h cho trư ớ c t a xem họ n ày n h ư là họ các nhóm Abel với p h é p to á n cộng K hi đó tích trự c tiế p R = Yl &ĩ Rị (P ì)íg/ trong đ ó p, là các t o à n c ấ u chính tắ c nhóm , là tích v à tổ n g tr ự c tiế p X —

( j , ) , ei - tr o n g đ ó j , là các đ ơ n c ấu chính tắ c nhóm , là đ ối tích củ a

họ nhóm n ày tr o n g p h ạ m t r ù các nh ó m Abel 21 (xem Đ ịnh lý 6.1, C h ư ơ n gII) Bây giờ t a đ ịn h n ghĩa p h é p n h â n trẽii^i? (suy ra cho cả tr ê n À”) chính là

72 'Giáo trinh đại s ố hiện đại

p h é p n h ả n t ừ n g t h à n h p h ầ n , t ứ c v ớ i a — ( a , ) i £ Ị , b = (b , ) , e i £ R t a x á c đ ị n h

ab = (a ?6,)iG/ Khi đ ó dễ d àn g t h ấ y rằ n g các đồng c ấ u p, và j i là n h ữ n g đồng cấu vành Vậy R là tích v à X là đối tích của họ (/?,),£/ tro n g p h ạ m tr ù các

M ột p hần t ử củ a R ad (i?) đ ư ợ c gọi là phần tủ luỹ linh củ a R.

Trước h ế t t a nêu lên n h ữ n g tí n h c h ấ t đ ơ n giàn n h ấ t đ ư ợ c suy ra t ừ các định nghĩa trên tro n g m ệ n h đề sau đáy

3 2 M ệ n h đ e C ho a là m ộ t iđêan của vành fí K h i đ ó các m ệ n h đ ẽ sau là

đ úng:

(i) a là iđêan n g u yên t ố k h i và chi k h i R / a là m ộ t m iề n nguyên.

(ii) a là iđóan c ụ c đại k h i và chi k h i R / a là m ộ t trường.

(iii) a là iđôan n g u yên sơ k h i đ ó R a d (a ) là iđcan n g uyên tố.

(iv) M ộ t iđèan cực đại luôn là iđêan nguvên tố m ộ t iđôan n g u yên t ố luôn,

là iđôan nguyên sơ.

Chứng minh (i) G iả s ử a là m ộ t iđẻan nguyên tố và x y G R là hai p h ầ n t ử

tu y ý củ a R m à

( x + a ) ( y + a ) = x y + a = 0 + a.

T ừ đ à y ta suy ra x y € a Do a là iđêan nguyên tố nên một tro n g hai p h ầ n t ử

X ụ phải n ằ m tro n g iđ ê a n a chẳng h ạn r 6 a Điều n ày chứng tỏ R / ữ là m ột

miền nguyên C hiều ngư ợc lại cùng dề dàng đ ư ợ c chứng minh tư ơ n g tự

Rỏ ràng (ii) là một hệ q uà trự c tiếp của (i); (iii) và (iv) là h iể n nhiên

đ ư ợ c suy ra t ừ các đ ịn h nghĩa iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ v à iđêan cực

1) Dề kiểm tr a đ ư ợ c với mỗi số t ự nhiên n rằng, liến n là m ột số nguyên

tố thì vành các lớp th ặ n g d ư theo m ô đ u n n : z „ = Z / n Z là m ộ t m iền nguyên

và hưn nửa nó là m ộ t trư ờ n g Vậy theo (3.2) (i) th ì n z là m ột iđè an nguyên

t ố k h i v à c h i k h i n l à m ộ t s ố n g u y ê n t ố v à k h i đ ó n ó c ủ n g l à m ộ t i đ ê a n c ự c

đại n h ờ vào T ín h c h ấ t (ii) (3.2) Ngoài ra ta biết z là m ột m iền nguyên, nên {0 } là iđẻan ngu y ên tố của z nh ư n g không là iđêan cực đ ại vì nó chứ a

th ự c sự tro n g mọi iđ è a n n g uyên tố p Z với p là một số nguyên tố.

2) Cho p là m ột số nguyên tố và Q là một số t ự nhiẻn t u ỳ ý T a t h ấ y

ngay rằ n g

R a d (p QZ) = p Z

là iđẽan cực đại Đ iều n à y chứ ng tỏ (xem bài t ậ p 11) rằ n g p QZ là m ộ t iđê an

nguyên sơ của z Vậy n z là iđêan nguyên sơ khi v à chi khi n là luỹ t h ừ a

của một số nguyèn tố Do đ ó t a có ngay p h ả n ví d ụ cho m ệ n h đ ề n g ư ợ c của

m ệnh đề t h ứ hai tr o n g (iv), (3.2), ch ằng hạn 32z là iđê an n g u y ên sơ n h ư n g không là iđêan ngu y ên tố

3 4 BỔ đ ề Trong m ộ t vành giao hoán R luôn tòn tại ít n h ấ t m ộ t iđẽan cực đại.

Chứng minh Xét t ậ p h ợ p n t ấ t cả các iđê an khác với R K hi đ ó fỉ với th ứ

an trong xích sao cho 1 e a„, tứ c a n = R V ậy mọi xích tro n g fỉ đ ề u bị chặn

Khi đó theo bổ đề K u ratow ski-Z orn tro n g có ít n h ấ t m ộ t p h à n t ử cực đại

m Hiển nhiên khi đó m là m ộ t iđê an cực đ ại c ủ a R □

3 5 H ê q u ả Mọi iđêan th ự c sự của m ộ t vành giao hoán luôn n ằ m trong

m ộ t iđêan cực đại.

Chứng minh C ho a là m ộ t iđ ê a n th ự c sự c ủ a v à n h giao h o án R X ét vành

R / a rồi áp d ụ n g (3.4) t a đ ư ợ c ngay đ iề u cần ch ứ ng minh □

M ột v à n h giao h oán đ ư ợ c gọi là vành địa phư ơng, n ế u nó chì có một

iđêan cực đ ại d u y n h ấ t K hi đó, th e o Hệ q u ả 3.5 th ì mọi iđ ê a n th ự c sự của

m ột v ành đ ịa p h ư ơ n g đ ề u n ằ m tro n g iđê an cực đ ại d u y n h ấ t củ a nó Đảy là lớp vành giao h oán r ấ t q u a n trọng, có nhiều ứ n g d ụ n g tro n g h ình học đ ại số.Bây giờ, ngoài giao c ủ a n h ữ n g iđ ê a n t a xác đ ịn h th ê m m ộ t số p h é p toán trên iđêan

- Tổng củ a hai iđ ê a n a v à b tro n g m ộ t v à n h R là t ậ p h ợ p xác đ ịn h bời

K h i đ ó , k h ô n g k h ó k h ă n t a c ó t h ê c h ứ n g m i n h c á c i đ ẻ a n n à y t h ò a ũ iã a i b a o

h àm th ứ c sau đây

a b C a f l b Ç a + b

Một cách tư ơ n g tự t a có th ể m ờ rộng khái niệm iđêan tô n g a i v à

tích r i i e / a ' ch ° m 9 t họ tu v V các iđêan (a ,) ,e / cho trước

Có r ấ t nhiều các q u a n hệ t h ú vị giữ a các iđêan nguyên sơ, nguyên tố và iđêan căn trong v à n h giao hoán Định lý sau đ â y là m ột m inh họa cho đ iề u này

3 6 ế Đ ị n h lý Căn lu ỹ linh R ad(/?) của m ộ t vành giao hoán R là giao cua

tấ t cà các idean nguvôn t ố cùa R.

Chứng m inh Ta gọi 91 là iđêan đ ư ợ c xác đ ịn h bời giao củ a t ấ t cả các iđêan nguyên tố của R C ho X e R ad(/?) và p là một iđêan nguyên tố tu ỳ ý c ủ a R

K hi đ ó tồn tại m ột số t ự nhiên rì sao cho

T h ậ t vậy xét t ậ p h ợ p E t ấ t cả các iđêan a của R có tín h c h ấ t x n Ệ a, với

mọi số t ự nhiên 77 Rõ ràn g £ là một t ậ p h ợ p đ ư ợ c sắp t h ứ t ự với q u a n hệ

bao h àm theo n ghĩa t ậ p h ợ p v à E Ỷ 0' V1 {0} G E G iả sử

lại là m ột iđ ê an c ủ a R H ơn n ử a, a e E Vì nếu tồn tại m ột số t ự nhiên n

đ ế x n G a thì cù n g tồn tạ i m ộ t số t ự nhiên k sao cho x n e ak V ậ y mọi xích

76 Giáo trình đại s ố hiện đại

trong £ đ ều bị chặn, nên th e o bô đề K uratow ski-Zorn phải tồn tạ i m ộ t phần

tử cực đại p trong E N ếu p là iđêan nguyên tố, thì t a suy r a X Ệ và mệnh

đề đ ư ợ c chứng m inh xong G iả sứ ngược lại rằng, p không là iđẻ an nguyên

tố Khi đó, tồn tại hai p h ầ n t ử a b ị p m à ab e p Điều n ày ch ứ ng tò p nằm

th ự c sự tro n g các iđêan a R + p v à bR + p, ng hĩa là hai iđ èan n ày không thuộc vào tậ p hợ p E Vậy tồn tạ i hai số t ự nhiên n m sao cho

ữ2-G iả sử t a đ ã chứ ng m in h đ ư ợ c cho trư ờ n g h ợ p n — 1 iđêan d i , a „ _ i Đặ t

Tỉ —1 n —1

b = 0 = Ị Ị *

Vì a, + a„ — R Vi = 1 n — 1, nên tồn tại nh ữ n g p h ầ n t ừ Xi € a, v à U i G an

sao cho Xi + y, = 1 T ừ đ â y t a suy ra

(ii) Ta cũng ch ứ n g m in h m ệnh đề b ằ n g quy n ạ p theo n V ới n = 2, do

Ql + a 2 = R ' nên tồn tạ i các p h ầ n t ừ a i e ai và <22 € a -2 sao cho ữi + 02 = 1

K hi đó X — a ị X -2 + a-ỵXi chính là p h ần từ th ò a m ãn các đòi hỏi củ a m ện h đề

Bây giờ giả sử m ệ n h đề đ ã đ ư ợ c chứng m inh cho 71 — 1 iđ ê a n d i , a „ _ i ,

tứ c tồn tại Xo € R đẽ

Xo = X i(m odai), Vỉ = 1 , 77 — 1

Hoàn to à n tư ơ n g t ự n h ư chứ ng m inh ờ p h ầ n (i) t a có a n + a j - a ,, - ! = R Vậy theo giả th iế t q u y n ạ p với n = 2 cho các iđẽan a n v à p h ải tồntại p hần t ử X £ R sao cho

(i) Cho P i p„ là n h ữ n g iđêan n g uyên tố và a m ộ t iđẽan cua R Già

s ù a % pj Vỉ' = 1 n k h i đ ó a 2 u " = 1pj.

78 Giáo trình đại s ố hiện đại

(ii) Cho a , an là n h ữ n g iđêan và p là m ộ t iđêan n g u y ê n t ố cùa R Nếu n"=1a, ç p thì k h i đ ó tòn tại m ộ t chi s ố i sao cho a, Ç p H ơn nửa khi

n ' L j d , = p thì tòn tại m ộ t c h ỉ s ố i s a o ch o a, = p.

'Chứng minh, (i) T a chứ ng m in h m ệ n h đề b ằ n g qu y n ạ p th e o n K hi n = 1 thì

kết luận là hiển nhiên G iả sử (i) đ ã đ ư ợ c chứng m inh cho t r ư ờ n g h ợ p 77- 1

tứ c a <2 Uỉ9éípM Ví = 1 , , n V ậy tồn tạ i n h ữ n g p h ầ n t ừ x t G a \ u , ^ fp, V/ = 1 n Nếu x t Ệ Pí với m ộ t số t nào đó, suy r a X ị e a \ u " = 1p, v à m ệnh đề

đư ợc chứng minh Trái lại, giả sử Xị G P f , w = 1 n. Xét p h ầ n t ư

khi bỏ đ i p h ần tử Xị Rõ ràn g X e a T rong khi, n ếu ĩ G p | kéo theo X\ X 2 ■ ■ X i x n e pi- T ừ đ â y t a suy ra sự tồ n tạ i m ộ t s6 t ^ i sao cho

Xt G p¿ Điều n ày m âu th u ẫ n với cách chọn củ a x t v à (i) đ ư ợ c ch ứ n g m inh,

(ii) G iả sử m ệnh đề sai, t ứ c a, 2 p, Vĩ = 1 , , n K hi đ ó tồn tạ i nliững

phần t ử Hi G a, \ p, Vi = 1 , , n Đ ặt y — yi y n t a suy r a y G n "=1 a, ç p Vậy phải tồn tại m ộ t chỉ số i sao cho y l G p v à đ iề u n à y tr á i với cách chọn

Ị/ị Bây giờ, n ếu n ”=1aj = p th ì với qhỉ số í ờ trê n t a có p ç a, C p Điều này

chứng tò a¡ = p v à đ ịn h lý đ ư ợ c ch ứ n g m inh □

§4 V à n h cá c p h â n t h ứ c

Ta đ ã biết, t r ư ờ n g số h ữ u tỷ Q đ ư ợ c x ây d ự n g t ừ v à n h các số nguyên

z b ằng cách th ê m vào z các p h ả n số h ữ u tỷ Việc làm nhir v ậ y có th ế mỡ rộng m ột cách dễ d à n g cho m ộ t m iền n g uyên tu ỳ ý đ ể n h ậ n đ ư ợ c t r ư ờ n g các

th ư ơ n g củ a m iền nguyên này M ục đích c ủ a t a tro n g tiế t n ày là m ờ rộng một lần n ử a khái niệm t r ư ờ n g th ư ơ n g c ủ a các m iền nguyên cho m ộ t v à n h giao hoàn tưỳ ý V ậy cả tro n g tiết này, chúng t a v ẫ n giả th iế t mọi v à n h đ ư ợ c xét

T rên tích D escartes 5 X R t a xét m ột qu an nệ ~ xác đ ịn h bởi: với s t €

Vì s là tậ p n h â n đ ó n g n ên tv w e 5 t ừ đ â y kéo theo (s , a ) ~ («, c) V ậy ~ là

m ột q u a n hệ tư ơ n g đ ư ơ n g T a ký hiệu a / s là lớp tư ơ n g đ ư ơ n g củ a p h ầ n t ử ( s a) v à S ~ l R l à 't ậ p h ợ p t ấ t cả các lớp tư ơ n g đ ư ơ n g này.

4 2 Đ ị n h lý S ừ d ụ n g các k v hiệu ở trên thì s 1R là m ộ t vành giao hoán với cấc p h é p toán đ ư ợ c x á c định n h ư sau: Vs, t e s , a ,b e R.

80 Giáo trình đại s ố hiện đại

Đó chính là điều t a càn chứng minh B ằng p h ư ơ n g p h á p h o à n to à n t ư ơ n g tự

t a c ủ n g c h ứ n g m i n h đ ư ợ c p h é p n h ả n x á c đ ị n h n h ư t r ê n l à k h ó n g p h ụ t h u ộ c

vào cách chọn đại diện H ơn nữ a khỏng khó k hăn có th ê kiểm t r a đ ư ợ c các

phép to á n trên th ỏ a m ã n các tiên đề đ ể S ^ 1R lập t h à n h một v à n h giao hoán

v ớ i p h ầ n t ử đ ơ n v ị l à 1 / 1 □

T ừ đinh nehĩa củ a v à n h các p h án th ứ c t a xác đ ịn h đ ư ợ c m ột á n h xạ

ỉ ■ R — » S ~ l R f ( x ) = x / 1.

Rõ ràng ánh xạ n ày là m ộ t đồng c ấu v à n h (nói chung nó không p h ải là một

đ ơ n cấu) H ơn nữa, v à n h R v à đồng c ấu / có các tín h chất:

1) Mọi p h àn t ử thuộc f ( S ) đ ề u k hả nghịch tro n g s ~ } R

(i) N ếu m ọi ph ầ n t ủ thuộc g ( S ) đ ều khà nghịch trong X thì tòn tại d u y

n hất m ộ t đòng cấu h : S ~ l R — ■> X sao cho g — h o f

K h i đó tòn tại d u y n h ấ t m ộ t đ ằ n g cấu h : s ~ l R — » X sao cho g = h o f

Chúng minh (i) T rư ớ c h ế t t a ch ứ n g m in h r ằ n g tư ơ n g ứ n g h : s ~ l R — - X

xác đ ịnh bời

h { a / s ) = g ( a ) ( g ( s ) ) ~ 1

là một đồng cấu T h ậ t vậy t ư ơ n g ứ n g t r ê n hiể n nhiên là m ột đồng c ấu nếu

nó là m ột ánh xạ Giả sử a / s = b ịt Khi đó tồn tạ i m ộ t p h ầ n t ử lí G 5 bao cho u(at — bs) = 0 T ừ đ â y suy ra

g ( u ) ( g ( a ) g ( t ) - g{ b) g( s ) ) = 0

v à n h h : X — * Y sao cho g = h o f K hông khó k hăn t a có th ể t h ấ y R.S là

m ột p h ạm tr ù với tích c ủ a hai cấ u x ạ là á n h x ạ hợ p th à n h Khi đó d ự a vào Định lý 4.3 và đ ịn h nghĩa v ậ t ph ổ dụ n g của p h ạm tr ù (xem III (5.10)) thì

S ~ l R không gì k hác là vật phô dụ n g trong p h ạ m tr ù R-,.

2) Rõ ràng, n ếu 0 6 5 th ì s ~ l R = 0 Vì vậy ngư ời ta th ư ờ n g đòi hỏi

th ê m điều kiện 0 0 5 tro n g đ ịn h nghĩa tậ p n h â n đóng

Clio I là iđêan của m ộ t v à n h giao hoán R và s là m ộ t t ậ p n h â n đ ó n g trong R Khi đ ó dề kiêm tr a t h ấ y rằ n g tậ p hợ p

Ị n s Ngược lại giả sử tồn tại s e i n s K hi đó s / s = 1/1 € S ~ l I suy ra

đó s ~ ' R là m ột trư ờ n g , gọi là tr ư ờ n g phán thức c ủ a m iền nguyên R.

3) Xét s là t ậ p t ấ t cả các p h ầ n t ử không là ư ớc của không c ủ a m ột vành

R Vì tích hai p h ầ n t ừ không là ước c ủ a không lại là m ộ t p h ầ n t ừ không là ước của không nên 5 là m ộ t t ậ p n h â n đóng Khi đ ó v à n h S ~ l R đ ư ợ c gọi là vành phân thức toàn phần c ủ a R.

4) Cho p là m ột iđ ê an nguyên tố c ủ a m ột v àn h R D ự a vào tín h nguyên

tố của p t a t h ấ v ngay rằn g , t ậ p h ợ p s = R \ p là m ột t ậ p n h â n đóng Trong trư ờ n g hợ p này, v à n h các p h â n th ứ c S ~ l R đ ư ợ c ký hiệu là Rp Rõ ràng tậ p hợp t ấ t cà các p h ầ n t ử củ a Rp có d ạ n g a / s với a G p .s Ệ p lập t h à n h một iđêan m c ủ a 7?p N ếu a / s ị m thì a ị p nghĩa là a / s k h ả nghịch tro n g R v Điều này nói lên rằ n g m là iđê an cực đ ại d u y n h ấ t của Rp (xem bài tậ p 20)

tứ c R p là m ột v à n h đ ị a p h ư ơ ng Q u á trìn h t ừ R đ ế n Rp đ ư ợ c gọi là địa

p hư ơ ng hoá và v à n h Rp đ ư ợ c gọi là vành đìa p h ư ơ n g hoá củ a R tạ i iđéan p 5) Cho / € R là m ộ t p h ầ n t ử k hác 0 khi đ ó tậ p h ợ p s = { / " } n >0 là một

tậ p n hân đóng T rư ờ n g h ợ p n ày t a cũng viết R ị th a y cho S ~ 1R.

6) T rư ờ n g h ợ p đ ặ c biệt R = z là v à n h các số ngu y ên và p = (pjZ p là

Với tích hai c ấ u xạ là p hép h ợ p t h à n h của án h xạ ta dễ d à n g kiêm tr a

đ ư ợ c rằ n g là m ột p h ạ m trù Khi đó t a có đ ịn h nghĩa sau đây

5 1 ệ Đ i n h n g h ĩ a V ậ t đ ẩ y phô d ụ n g của p h ạm t r ù '$(/?) đ ư ợ c gọi là vành

d u y n h ấ t m ột đồng c ấ u v à n h h : p — » Y sao cho h( x ) — y v à g = h o /

Áp dụ n g M ệnh đề 5.11 cùa chư ơ ng III về tín h du y n h ấ t của v ật p h ổ d ụ n g

ta có ngay kết q u à sau đây

5.2 H ê q u à -Vcu ( / p x ) và ( f P ' x ' ) là n h ữ n g vành đa th ứ c trẽn R thì tòn tại d u y n h ấ t m ộ t đ ằ n g cấu lì : p — » p ' sao cho h( x ) — x ' và Ị ' — ti o f

Bây giờ t a c h ứ n g m in h sự tồn tạ i của v àn h đ a th ứ c tr ẽ n m ột v à n h R

các p h ầ n t ử I' C p và n G M tu v ý

+ ư ) { n ) = ^ (n ) + v ( n )

84 Giáo trình đại s ố hiện đai

luôn giao hoán với các p h ầ n t ử f ( a ) = / „ , a € R V ậy ( / p x ) G ‘ỊK-R) Việc

CÒI1 lại của t a là chứng m in h tín h phổ d ụ n g c ủ a ( / , p , x) T h ậ t vậy, giả sử

chú ý rằn g phép lấy tố n g ờ tro n g công th ứ c trê n là có n g h ĩa vì If chi có hữu hạn giá trị khác không Rõ ràn g h là m ộ t đồng c ấ u v à n h v à t ừ đ ịn h nghĩa ta

V ậy h — k và đ ịn h lý đ ã đ ư ợ c chứ ng m inh xong □

Cho ( / P X ) là m ộ t v à n h đ a th ứ c m ột biến trên R Vì / là m ột đ ơ n cấu nên ta có th ể đông n h ấ t R với ả n h f { R ) của nó qua / và xem R nh ư là m ột

v à n h con c ủ a p Khi đ ó m ột p h ầ n t ử e F đ ư ợ c gọi là có bậc n ký hiệu

là d e g ^ = n nếu n là số nguyên lớn n h ấ t sao cho ự}(n) 7^ 0 H ơn n ữ a, theo chứng m inh củ a đ ịn h lý trê n th ì mọi p h ầ n t ử ự} G p với deg if = n đ ề u có

H ơn nửa, t a có th ê đ ịn h nghĩa vành đa thức n -biến i?[a'i theo

các ký hiệu x i , , x n- i x n , gọi là các biến s ố độc lập tr ê n R b ằ n g q u v n ạ p

n h ư sau: G ià sử i ? [ x i £ „ _ i ] đ ả đ ư ợ c xác định, khi đó R [ x 1 i n _ i i nỊ chính là v ành đ a th ứ c m ột biến (theo x n ) trê n v àn h R[x 1 £ „ _ i ].

C h ú V rằn g , đ ịn h nghĩa v à n h đ a th ứ c của ta ờ trê n là r ấ t tổ n g q u á t,

không đòi hòi v à n h R là giao hoán T uy nhiên, p h ần lớn các ứ n g d ụ n g q u a n trọng của v à n h đ a th ứ c đ ề u đòi hòi R là giao hoán T ín h ch ất q u a n trọ n g

n h ấ t của v à n h đ a th ứ c tr ê n m ộ t v à n h giao h oán là th ỏ a m ã n thuật toán Euclid

trong đ ịn h lý sau đây

86 Giáo trình đại s ố hiện đại

5.4 Đ ị n h lý Cho R là m ộ t vành giao hoán và f g là hai đa th ứ c cùa vành

đa thứ c m ộ t bien Già sứ rằng hệ s ố cao n h ấ t của g là p h a n từ khả nghịch trong R K h i đ ủ luón tòn tại hai đa th ú c d u y n h ấ t q r € R[x} sao cho

Nếu Tì = 0 th ì đ ịn h lý là hiển nhiên b ằ n g cách chọn r = 0 và q = a n ò- 1

Bây giờ giả sử n > 0 v à đ ịn h lý đ ã đ ư ợ c chứng m inh đối với t ấ t cả các đ a

Vì hệ số cao n h ấ t của g là p h ầ n t ử k h ả nghịch trong R nên ta dễ d à n g chứ ng

m in h đ ư ợ c rằ n g

cỉeg {g{q - s)) = deg (q - s) + deg g.

M ặt khác, t a lại có deg (t — r) < deg g nên đ ẳ n g th ứ c trê n chi có th ể x ảy

5 5 H ê q u ả Già sư k là m ộ t trường K h i đó vành đa th ứ c m ộ t biến k[.r]

là vành iđêan chính.

Chứng minh H iển nhiên k[x] là m ột miền nguyên, n ên t a chi còn phải chứ ng

m inh rằng, mọi iđ ê an a / 0 của k[x] là sinh bời m ột p hần tử T h ậ t vậy già

sử g là m ột đ a th ứ c khác không thuộc a có bậc bé n h ấ t tro n g t ấ t cả các đ a

th ứ c c ủ a Q và / là m ộ t đ a th ứ c khác không tu ỳ ý c ủ a a Do mọi p h ầ n t ử khác khòng của một tr ư ờ n g đ ề u k h ả nghịch, liên t a có th ê áp d ụ n g đ ư ợ c đ ịn h lý

(5.4) đê tìm đ ư ợ c các đ a th ứ c q r sao cho

f = 9Q + r

m à deg r < d e g g w r G a và g có bậc bé n h ấ t như đ ã chọn, nên r = 0 T ừ

§6 V à n h G au ß

Ta đã biết rằng, tro n g v à n h các số nguyên z mọi số Iiguyên khác không

đ ều p h ả n tích đ ư ợ c t h à n h một tích các số nguyên tố m à hai tích n h ư th ế có các n h ản t ừ chi sai khác n h a u bời hệ số ± 1 Mục đích của tiết n à y là x ét các miền nguyên có tín h c h ấ t trên T rư ớc hết t a cần m ột vài khái niệm mới

Với R là m ột m iền nguyên cho trư ớ c , t a đ ặ t R* là t ậ p h ạ p t ấ t cà các

ph ần t ử k hả nghịch của R v à R' = R \ R * Với hai p h ầ n t ử a b G R n ế u tồn tại một p hần t ử c sao cho a = bc th ì ta nói b là một ư ớc của a hoặc CÒI1 nói

là a chia hết cho b Diễn đ ạ t lại theo ngôn ngữ iđêan thì b là m ột ư ớc của a khi và chi khi iđè an chính ( a ) R là n ằ m tro n g iđẽan chính (b ) R

Hai p h ầ n t ử a b đ ư ợ c gọi là liên kết nếu mỗi p h ầ n t ừ đ ề u là ước c ủ a

phần t ử kia nghĩa là

a = bc và b = ad.

88 Giáo trinh đại s ố hiện đại

T ừ đ ây suy ra a = a{cd) Vì R là m iền nguyên, nên cd = 1, tứ c c d € R ’ Ngược lại nếu c là m ộ t p h ầ n t ừ k h ả nghịch, th ì a v à ac là liên kết với nhau Vậy hai p hần t ử a., b là liên kết với n hau, n ế u chúng sai khác n h a u bời một phần tư k hả nghịch, n g h ĩa là ( a ) R = (b ) R G iả sử m ộ t p h ầ n t ử a € R có hai

M ột p hần t ừ p e R ' đ ư ợ c gọi là bất khả quy, nếu mọi ước c ủ a p là phần

tử liên kết với I1Ó Nghĩa là, n ế u p = ab, thì m ột trong hai p h ầ n t ử a b phải

là phần t ừ k h ả nghịch M ột p h ầ n t ử p e R ' đ ư ợ c gọi là p h ầ n t ử nguyên tố nếu tính ch ất sau đ â y đ ư ợ c th ỏ a mãn: Nếu p là ước c ủ a m ột tích ab thì p

phải là ước củ a ít n h ấ t m ột n h â n t ử củ a tích đó T a t h ấ y ngay t ừ đ ịn h nghĩa

rằng, p là m ột p h ầ n t ử nguyên tố khi v à chỉ khi (p ) R là iđêan nguvên tố của

R Điều n ày kéo theo, mỗi p h ầ n t ử liên kết với m ột p h ầ n t ử nguyên tố đéu

là nguyên tố H ơn n ử a b ằ n g q u y n ạ p t a dễ d à n g chỉ r a rằn g , n ếu p h ầ n tử

nguyên tố p là ước c ủ a m ộ t tích CL\ an th ì nó phải là ư ớc c ủ a ít n h ấ t một phần t ử a, nào đó

6 1 Đ i n h n g h ĩ a M ột m iền nguyên R đ ư ợ c gọi là vành Gauß, n ế u mọi phần

tử a G R' đ ề u p h â n tích đ ư ợ c th à n h m ộ t tích h ữ u h ạ n các p h ầ n t ử b ấ t khá

quy (gọi là p h ân tích b ấ t k h ả quy), sao cho hai p h â n tích b ấ t k h ả quy nào

của a đ ề u liên kết với nhau.

6.2 C h ú ý ẵ N hư t a đ ã nói ờ trên , v à n h các số nguyên z là v à n h Gauß Tuy nhiên có nhiều m iền n g uyên không là v à n h Gauß C h ẳ n g hạn t ậ p hợp

R = {a + ò V ^ ã I a b e Z}

là m ột m iền nguyên n h ư n g không là v à n h G auß, vì

4 = 2.2 = (1 + \ / —3)(1 - \ / —3)

là hai p h â n tích b ấ t k h ả q u y không liên kết c ủ a 4

M ột p h ầ n t ư d của m ộ t m iền nguyên R đ ư ợ c gọi là irớc chung lớn nhất của các p h ần t ử a x a n ký hiệu là (l = ( d a„) r x " À lểV "*

t ấ t c ả các p hần t ử n ày v à mọi ước chung khác c ủ a chúng đ ề u là m ộ t ước

cùa d C h ú ý rằng, ư ớc chung lớn n h ấ t không xác đ ịn h m ộ t cách d u y n h ấ t Tuy nhiên, n ếu d v à d' là hai irớc chung lớn n h ấ t của các p h ần t ử a i , ắa n , thì d d ' liên k ết với n hau, nghĩa là tồn tại m ột p h ầ n t ử khả nghịch c sao cho

d = d'c Hai p h ầ n t ừ a b £ R đirợc gọi là nguyên tố cùng nhau, ký hiệu là (a b ) = 1 nếu chúng chi có các ước số chung duy n h ấ t là các p h ầ n t ử k h a

luôn tồn tại m ộ t s ố t ụ nhiên n sao cho a„ = a„_)_i =

(iii) Mọi phần tù b ất khả q u y của R là n g uyên tố và E thỏa m ã n điều kiện tối đại.

Chứng minh ( 0 : Cho a b là hai p h ầ n t ừ tu ỳ ý của R Vì R là v àn h Gauß, nên t a có t h ể tìm đ ư ợ c m ộ t hệ các p h ầ n t ử b ấ t k hả qu y p 1 p ,J sao

có d ạn g tư ơ n g tự Vậy n ế u ta đ ặ t t, — inin{A-, /,} i = 1 n th ì p h ầ n t ử

d = P Ỉ1-PÍ,"

là m ột ư ớc số chung 1Ớ11 n h ấ t c ủ a a và b Đè chứ ng m in h R th ò a m ã n đ iề u kiện t h ứ hai của (ii) t a gọi đ ộ dài của một p h ầ n t ử a e R ký hiệu là C(a) là

số các n h â n t ử tr o n g m ộ t p h ả n tích b ấ t k há quy c ủ a a G iả sừ a = bc v à b là

90 Giáo trình đại s ố hiện đại

một ước t h ậ t sự củ a a th ì rõ rà n g ((a) > £{b) Hay nói cách khác, n ếu a = bc

v à f (u) = 1(b) thì ( a ) R = (b ) R B ảy giờ t r ờ lại với ch ứ ng m inh củ a ta giả sử

p là m ột ước củ a tích ab n h ư n g p không là ước c ủ a cả a v à b Do p là p h à n tử

( p ab) = ( ( p pa) ab) = (p (p a a b )) = (p a) = 1.

Điều Iiày m â u t h u ẫ n với giả t h i ế t p h ầ n t ử không k h ả nghịch p là m ột ước của ab Vậy p là p h ầ n t ử n g u y ê n tố.

C h ư ơ n g III Vành, t r ư ờ n g và đa thức 91(iii) = > (/') : T rư ớ c h ế t t a chứng m inh rằ n g mọi p h ần t ử không k hả nghịch của R đ ề u có th è p h ả n tích đ ư ợ c th à n h một tích các p h ầ n t ử b ấ t khả quy

G iả sử ngược lại tứ c khi đó t ậ p h ợ p n t ấ t cả các iđêan chính m à các p h ầ n

t ừ sinh của chúng không có p h â n tích b ấ t k h ả quy là khác rỗng C h ú ý rằng

ũ là m ột tậ p hợ p con c ủ a t ậ p hợ p th ỏ a m ãn điều kiện tối đại £ nên theo

Bô đề K uratow ski-Zorn fì c h ứ a m ột p h ần t ử cực đại a = (a ) f í Vì 0 không

có p h â n tích b ấ t k hả quy nên a là p h ầ n tử khả quy tứ c tồn tại n h ữ n g ước

th ự c sự b.c của a sao cho a — bc Điều này kéo theo các iđê an (b) R v à (c ) R

không thuộc vào V ậy b.c có các p h ân tích b ất k hã quy và tích của chúng

sẽ là một p h â n tích b ấ t k hả qu y của a trá i với giả thiết khác rỗng của Q Giả sử p h ầ n t ừ không k h ả nghịch a e R có hai p h á n tích b ấ t k hả quy

B ây giờ t a sẽ chi ra m ộ t số lớp vành quen biết là v àn h Gauß

6 4 Đ ị n h lý M ọi vành idean chính là vành Gauß.

Chícnq m inh Ta chi cần c h ứ n g m in h v à n h iđêan chính R th ỏ a m ã n các điều kiện (ii) tro n g Đ ịnh lý 6.3 C ho o b là hai p h ầ n t ừ tu ỳ Ý của R VI iđ ẻ an sinh

bời hai p h ầ n t ừ n ày lại là một iđêan chính, chẳng hạn

( a ) R + ( b) R = (d ) R

92 Giáo trình đại s ố hiện đại

n ê n t ồ n t ạ i n h ữ n g p h ầ n t ừ X, y e R s a o c h o

d' = a x + by.

Điều này chứng tỏ mọi ư ớc chung củ a a v à b đ ề u là ước củ a d H ơn Iiữa vì (a)R (b) R C ( d) R nên d là m ột ư ớc chung c ủ a a, b Vậy sự tồn tại ước chung lớn n h ấ t c ủ a hai p h ần t ử tu ỳ ý tro n g R đ ư ợ c chứng minh.

Bây giờ, giả sử

( a i ) R c {a2) R C .

là m ột xích tă n g các iđêan c ủ a R Gọi a là h ợ p c ủ a t ấ t cả các iđêan này Rõ

ràng a là m ột iđê an và th e o giả th iế t là m ộ t iđêan chính sinh bời m ột phàn

t ử a nào đó Điều n ày ch ứ ng tỏ tồn tại m ột số t ự nhiên n sao cho (a n ) R = a nghĩa là tậ p h ợ p t ấ t cả các iđê an chính £ củ a R th ỏ a m ã n đ iề u kiện tối đại

Chứng m inh Hệ q u ả n à y đ ư ợ c suy r a b ằ n g quy n ạ p t ừ Hệ q u à 6.5 và định

lý đ ư ợ c đ ư a vào đ ể người đọc t h a m k hảo m à không có chứ ng m in h sau đáy

6.7 Đ ị n h lý Và n h đa th ứ c n -b iến /? [x i x n\ trên m ộ t vành Gauß R lại

là vành Gauíỉ.

Hệ q u ả 6.6 cho p hép t a chỉ r a n h ữ n g lớp v à n h G au ß n h ư n g không là vành

iđêan chính C h ẳ n g hạn, v à n h đ a th ứ c hai biến R = k[x, y] trê n m ột tr ư ờ n g

k là v à n h G auß n h ư n g không là v à n h iđê an chính, vì iđêan (x, y ) R không thể

sinh bời m ột p h ầ n từ

B à i tâ p

1) Ký hiệu M n ( R) là t ậ p h ợ p t ấ t cả các m a t r ậ n vuông cấ p Tì có hệ số trong

m ột v àn h C'ó ít n h ấ t h ai p h ầ n t ừ /? C h ứ n g m in h các m ện h đ ề sau là đ úng :

(i) T ậ p hợ p M n ( R) với các phép cộng và Iihân m a t r ậ n th ô n g th ư ờ n g lập

3) Cho R là m ộ t m iền nguyên với Ch(i?) = 0 C h ứ n g m inh rằ n g tồn tạ i m ộ t

và n h con s c ủ a R đ ẳ n g cấ u với v à n h các số nguyên z

4) C h ứ n g m inh r ằ n g m ộ t m iền nguyên hữ u h ạn là m ột trư ờ n g

5) C h ứ n g m inh r ằ n g ả n h đồng c ấu của m ột v à n h iđẻan chính là v à n h iđêan chính

6) Cho / là m ột iđêan củ a m ộ t v àn h giao hoán R C h ứ n g m inh các m ệ n h đề

sau đ â y là đúng:

(i) R a d ( / " ) = R a d ( / ) với mọi số nguyên d ư ơ n g n.

(ii) Nếu R ad(7) là iđ ê a n h ữ u h ạ n sinh thì tồn tại m ộ t số nguvên d ư ơ n g

8) Cho R — K[x] là v à n h đ a th ứ c m ột biến với hệ số trê n tr ư ờ n g K , gọi / là

b) V àn h z m các lớp t h ặ n g d ư m ô đ u n m c h ứ a m ột p h ầ n t ử luỹ linh khi

v à chỉ khi m chia h ế t cho b ìn h p h ư ơ n g của m ột số nguyên > 1.

10) Hãy tìm t ấ t cả các t ự đồng cấ u c ủ a v à n h các số n g uyên z

94 Giáo tr inh đại s ố hiện đại

11) Cho I là một iđê an của mọt v à n h giao hoán, có đ ơ n vị R H ãy chứng

m i n h c á c m ệ n h đ ề s a u đ â y :

a) I là iđêan nguvén sơ th ì R a d ( / ) là m ột iđêan nguyên tố.

b) Nếu R ad(7) là m ột iđéan cực đ ại thì / là iđêan Iiguyén sa

12) C hứ ng m inh rằ n g m ột v à n h là giao hoán nếu mọi p h ầ n tư X củ a 11Ó thỏa

C hứ ng m inh r ằ n g / là đ ơ n c ấ u khi và chi khi s là m ộ t t ậ p con củ a tặ p tấ t

cà các p h ầ n t ử không là ư ớc c ủ a không của R.

17) Cho / là iđê an tro n g là m ộ t v à n h giao h oán R và s là m ột t ậ p n h â n đóng trong R KÝ hiệu / s = I R s là m ộ t idean c ủ a R S- C h ứ n g m inh rằng:

(i) (Rad/).s- = R a d ( / 5 )

(ii) /5 = /?>• k h i v à c h i k h i / n S ^ 0.

18) Cho A là một t r ư ờ n g và R = K[ X ] là v à n h đ a th ứ c m ột hiến có hệ s>ố trong K Hãy xác đ ịn h các t ậ p h ợ p sau đây:

(i) T ấ t cà các iđẽ an cực đ ạ i của R.

(ii) T ấ t cả các iđê an nguyên tố của R.

(iii) Các t ậ p h ợ p tr o n g (i) và (ii) n h ư t h ế nào khi K là t r ư ờ n g số phức

c?

19) Cho R là một v à n h giao h o án và p là m ộ t iđẻ an nguyên tố c ủ a R K ý hiệu

p[A] là t ậ p h ợ p t ấ t cả các đ a th ứ c m ột biến có hệ số n ằ m tro n g p

(i) C h ứ n g m inh r ằ n g p[Ar] là m ộ t iđẻan nguyên tố c ủ a v à n h đ a th ứ c một

(ii) N ếu già sử th ê m p là iđêan cực đại của R thì p[A'] có là iđẻ an cực đại

tro n g /?[A'] không?

V 20) Cho R là m ộ t v à n h giao hoán T ậ p hợ p

Spec R = {p Ị p là iđêan nguyên tố của R }

đ ư ợ c gọi là phò nguyên t ố cùa vành R Đặt X = S p e c R và với mỗi iđêan tù y

ý a của R ta ký hiệu

V( a ) = { p e X I a C p }

H ãy chứng m inh các m ệ n h đề sau đày:

(i) V’(a) = X khi và chi khi R ad(a) = 0: l ’(a) = 0 khi và chi khi a = R.

(ii) Y'( Q1 •■•“ ») = ^ (a 1 n n a„) = V’(a i) u u V (a „ ) tro n g đ ó a, là

n h ữ n g iđêan của R.

( i i i ) a , ) — t r o n g đ ó ( a¿)¿£7 là m ộ t h ọ t ù y ý c á c i đ ê a n

của R.

Chú ý: Các tín h ch ất (i) (ii) (iii) làm t ậ p h ợ p phô nguyên tố X của v à n h R

tr ờ th à n h m ột không gian tô pô với tậ p đóng trong X là t ậ p h ợ p con sao

cho tồn tại một iđẽan a đ ể V = V( a) Tô pô này đ ư ợ c gọi là tỏ pỏ Zariski trên X

21) Với các ký hiệu n h ư tro n g bài t ậ p 20 và a b là hai iđê an của v à n h R

C h ứ n g minh r ằ n g T ( a ì = r ( b ) khi và chi khi R a d (a ) = R a d ( b )

22) Cliứn^ m inh r ằ n g mọi ả n h đồng cấ u của m ộ t v àn h đ ịa p h ư ơ n g (v àn h đ ịa

ph ư ơ ng là một v à n h giao h o án chi có duy n h ấ t một iđêan cực đ ại) là v à n h địa phương

23) C h ứ n g minh r ằ n g m ột v à n h giao hoán R là v àn h địa p h ư ơ n g khi và chi khi tậ p hợ p tấ t cà các p h ầ n t ử không khà nghịch của R lập t h à n h m ột iđèan

th ự c sự

24) Cho R — Zo[.r ụ} là v à n h đ a th ứ c hai biến có hệ số tro n g v à n h Z ) các lớp

th ặ n g dir m ô đ u n lò 2 và 5 = { / „ n — 1 2 } là một họ các đ a th ứ c của R trong đ ó / „ = .rn + y " Gọi I là iđêan sinh bời t ậ p s C h ứ n g m in h r ằ n g / là

gọi là các đ a th ứ c r ó n <7 cơ bản th e o 7? biến Ti x n C h ứ n g m in h rằng

mỗi đ a th ứ c đối xứ n g đ ề u có t h ể đ ư ợ c biểu diễn d u y n h ấ t d ư ớ i d ạ n g đ a thức

theo ơ \ ơ n

26) Cho R là v àn h iđêan chính và s là m ột tậ p n h ả n đóng C h ứ n g m in h rằng

S ~ l R cũng là m ộ t v à n h iđê an chính.

27) M ột miền nguyên R đ ư ợ c gọi là vành Euclid, n ếu tồn tại m ộ t á n h x ạ ỗ từ

R \ {0} vào tậ p các số nguyên không âm sao cho các đ iề u kiện sau đ ư ợ c thòa

mãn:

- ố{ab) > ố{a) Va b e R \ { 0}.

- Va b e R \ {0} 3(] r e R với ổ(r) < é(a) sao cho b = qa + r.

C hứ ng minh rằng:

(i) V àn h đ a th ứ c m ộ t biến k[X] có hệ số trê n m ộ t t r ư ờ n g k là vành

Euclid

(ii) Mọi v à n h Euclid đ ề u là v à n h iđê an chính

28) Cho R là m ột m iền nguyên C h ứ n g m inh rằ n g m ột p h ầ n t ử k hác khỏng

a e R là b ất k h ả quy khi iđ ê a n a R là m ộ t iđêan nguyên tố.

29) Cho R là m ộ t m iền chính v à a, b là Iihửng p h ầ n t ừ khác khóng củ a R Già

sử d = (a.b) C h ứ n g m in h r ằ n g tồn tạ i n h ữ n g p h à n t ử x y thuộc R sao cho

a x + by = d.

N ếu R là m ột t r ư ờ n g th ì m ộ t R -m ô đ u n đ ư ợ c gọi là không gian vectơ trê n

tr ư ờ n g dó T ư ơ n g tự t a cũng có m ộ t đ ịn h Iighĩa cho /? -m ô đ u n p h ải b ằ n g cách xét phép n h â n với vô h ư ớ n g ờ bên phải Tuy nhiên đ ê cho đ ơ n giản,

t a sẽ chỉ xét các i? -m ô đ u n trá i tro n g suốt giáo trìn h n ày và gọi n g ắ n gọn là

R - m ôđun.

1.2 V í d ụ 1) Mọi nh ó m Abel G đ ề u có th ể xem là m ô đ u n t r ê n v à n h các

số nguyên Z: Với a e G wk n e z t u ỳ ý, phép n h ả n với vỏ h ư ớ n g đ ư ợ c xác

đ ịnh là

n — lần

n a = a + + a

2) M ột v ành R luôn có th ể xem là m ộ t m ỏ đ u n trê n chính nó với phép

nhân với vô hư ớ n g chính là p hép n h ả n c ủ a vành Do đ ó m ột iđ ê a n trá i (phải)

của R là m ột  -m ô đ u n tr á i (phải).

3) X ét tậ p h ợ p M = M (5, R ) t ấ t cả các á n h x ạ t ừ m ộ t t ậ p h ạ p s vào

m ột vành R T h eo Ví d ụ 1.2, (3) tro n g chư ơng III th ì M là m ộ t v à n h nên là

m ột nhóm Abel cộng T a xác đ ịn h m ộ t tích với vô h ư ớ n g

R X A/ — » AI, (x ,m ) I— > x m

x m : s — > R, (x m ) ( s) = x ( m ( s ) ) , Vs G s.

Dễ dàng kiểm t r a đ ư ợ c r ằ n g tích với vô h ư ớ n g n ày t h o ả m ã n đ iề u kiện (Mĩ )- Vậy M là m ột i?-m ôđun.

4) Với m ộ t nhóm Abel G cho trư ớ c , t a xét t ậ p h ợ p các t ự đồng c ấ u nhóm

E — E n d (G, G) T h e o Ví d ụ 1.2, (4) c ủ a chư ơ ng III th ì E là m ột vành Khi

đó, tích với vô h ư ớ n g xác đ ịn h bời

E X G — -> G , (x, a) I— > x a — x( a)

th o ả m ã n điều kiện ( M 2) c ủ a Đ ịnh n g h ĩa 1 1, nên G là m ộ t E - m ô đ u n Vậy

mọi nhóm Abel luôn có t h ể xem là m ô đ u n trê n v à n h các t ự đồng c ấu của nó

G iả sử AI là m ộ t R m ô đ u n , m ộ t t ậ p h ợ p con N c ủ a M đ ư ợ c gọi là môđun con c ủ a AI, n ếu N là m ộ t n h ó m cộng con c ủ a nh ó m Abel M v à R N ç N Điều này cũng nói lên r ằ n g N với p h ép n h â n với vô h ư ớ n g cảm sinh lại là một fí-m ôđun K hi đ ó t a c ũng nói M là m ờ rộng c ủ a N M ô đ u n M đ ư ợ c gọi

với các phép to á n v à tích với vô h ư ớ ng cảm sinh t ừ M hiên nhiên là m ộ t

m ô đ u n con c ủ a M H ơn n ử a chúng có nhữ ng tín h ch ất sau đ â y .

tro n g đó { x m} là m ộ t t ậ p h ợ p gồm các p h ầ n t ử thuộc R m à chi có h ữ u h ạ n

phần t ừ là khác không, n ên p hép lấy tổ n g là có nghĩa Rõ ràng, m ộ t tô h ợ p

tu y ế n tính trê n s là m ột p h ầ n t ử c ủ a R{ S ) H ơn nữ a, tậ p h ợ p t ấ t cả các tổ hợp tu y ế n tín h tr ê n s h iể n nhiên lập th à n h m ộ t m ô đ u n con c h ứ a s c ủ a M suy r a nó chính là m ô đ u n con R ( S )

T ậ p hợ p coil s của M đ ư ợ c gọi là độc lập tu y ến tính, n ế u m ộ t tô h ợ p

tu y ế n tín h tr iệ t tiêu

y , x m m = 0

r n GS

luôn suy ra Xm = 0, Vm e s N ếu hai tổ hợ p tu y ế n tín h b ằ n g n h a u

y : x m m = ^ ym m,

m E S m £ S

thì x m = ym , Vm e 5 T h ậ t vậy, t r ừ hai tổ h ợ p tu y ế n tín h cho n h au , ta

độc lập tu y ế n tín h thì mội p h ầ n t ứ tu ỳ ý c ủ a R ( S ) đ ề u đ ư ợ c b iể u diễn một cách duy nhất nh ư là m ộ t t ổ h ợ p tu y ế n tín h trê n s T rư ờ n g h ợ p đ ặ c hiệt, khi

AÎ = R ( S ) v à s là độc lập tu y ế n tính, th ì t a gọi 5 là m ột cơ s à c ủ a M.

1 4 ằ Đ ị n h n g h ĩ a C ho R là m ộ t v à n h giao hoán M ộ t t ậ p h ợ p A đ ư ợ c gọi

là R -đ ạ i s ố , hay còn gọi là đ ại số trê n R n ếu A là m ột i? -m ó đ u n v à tồn tại

một phép to á n hai ngôi

A X A — * A (a b) I— ♦ aò,

gọi là phép n hân, sao cho các đ iề u kiện sau đ ư ợ c th o ả mãn:

x( ab) = (xa)b = a ( x b ),

c(x a + yb) — xca + ycb.

(xa + yb)c — x a c + y6c,

trong đ ó x , y € R v à a, b c G A là n h ữ n g p h ầ n t ử tu ỳ ý.

M ột tậ p hợ p con B c ủ a /?-đại số A đ ư ợ c gọi là đại s ố con củ a A nếu nó

là m ột  -m ỏ đ u n con v à đ ó n g đ ối với p hép n h â n củ a A nghĩa là B cũng là

m ột i?-đại số với p hép n h â n c ả m sinh C ũ n g n h ư đối với m ò đ u n giao của

nhữ ng đ ại số con c h ứ a m ộ t t ậ p h ợ p con s c ủ a A lại là m ộ t đ ạ i số con của Ả gọi là đại s ố con sinh b ờ i 5 v à 5 gọi là hệ sinh.

1 5 ể V í d ụ 1) C ho B là m ộ t v à n h con c ủ a m ộ t v à n h R cho trư ớ c G iả sứ B chứ a đ ơ n vị củ a R v à mọi p h à n t ử c ủ a B đ ề u giao h oán với mọi p h à n t ử của

R Khi đó B là m ộ t v à n h giao h oán v à R là m ộ t B -m ô đ u n H ơn n ử a phép nhân của R th o ả m ã n t ấ t c ả các đ iề u kiện c ủ a (1.4), nên R là m ột £?-đại số

T ừ đ ây t a suy ra mọi v à n h giao h o á n đ ề u là đ ại số trê n mọi v à n h COI1 chứa

đ ơ n vị của nó v à dễ t h ấ y là mọi iđ ê a n sẽ là n h ữ n g đại số con

2) Xét v àn h đ a th ứ c R[x] tr ê n m ộ t v à n h giao hoán R Rỏ ràn g v à n h đ a

th ứ c này là m ột R -m ô đ u n v à p h é p n h ả n các đ a th ứ c th o ả m ã n các tín h c h ấ t

của Định nghĩa 1.4, nên /?[x] là m ột /?-đại số Điều cần chú ý ở đ â y là, n ếu chi xét n h ư là /?-m ô đ u n th ì /?[x] không là h ữ u h ạ n sinh, nó có m ộ t hệ sinh

vỏ h ạn là

1 X, X 2 , X3,

Trong khi đó n ếu xem R[x] là m ộ t /?-đại số thì nó lại là m ột đ ại số h ữ u h ạ n

sinh với hai p h ầ n t ử sinh l i \

3) G ià sử R là m ột v à n h giao hoán Giống n h ư đ ịn h nghĩa v à n h đ a th ứ c,

ta ký hiệu M là tậ p h ợ p các số Iiguyẻn không âm v à xét t ậ p h ợ p A t ấ t cà các

sẽ th o ả m ãn các đ iề u kiện đ ế .4 t r ờ th à iĩh m ột z?-đại số H oàn to à n tư ơ n g

tự nh ư chứng m inh Định lý 5.3 của chương III, ta có th ê chỉ ra rằng, mọi

p h ầ n t ừ f e A đ ư ợ c b iể u diễn tư ợ n g tr ư n g m ộ t cách d u y n h ấ t d ư ớ i d ạ n g

m ột chuỗi luỹ th ừ a vô h ạ n

/ = Y i a , x i ,

¡=0 trong đó a, — f ( i ) E R và p h ầ n t ử X € A đ ư ợ c xác đ ịn h bời

T a hãy xét m ột ví d ụ đ ơ n giản về đồng c ấu m ô đ u n G ià sứ -V là một

m ôđun C011 của M T rư ớ c h ế t t a chỉ xét cấ u trú c n h ó m A bel cộng của chúng Khi đó t a có nhóm th ư ơ n g M / N T iế p theo t a xác đ ịn h m ộ t c ấu trú c m ỏđun cho M / N nh ư sau: Cho X e R v à m + N là m ột lớp ghép tu y ý c ủ a M / N dễ

chứng minh đ ư ợ c rằng, tích với vỏ h ư ớ n g xác đ ịn h bởi

x ( m + N ) = x m + N

là không phụ thuộc vào cách chọn đ ại diện củ a lớp ghé]) và th o ả m ã n điều

kiện ( Mỉ ) - V ậy A I / N là m ộ t -R-môđun, đ ư ợ c gọi là m ô đ u n t h ư ơ n g của m ỏđun

M theo N Khi đ ó ta có m ộ t to à n c ấ u các nh ó m Abel

p : M — M Ị N

p ( x m ) = x m + N = x p ( m) ,

nôn p là m ột to à n c ấ u m ô đ u n , gọi là vhén chiếu tự nhiên.

Hoàn to à n tư ơ n g t ự n h ư các tr ư ờ n g h ợ p cho đồng cấ u nh ó m và đồng cấu vành, t a dễ d àn g ch ứ ng m in h đ ư ợ c bổ đề sau