Giáo trình đại số hiện đại Phần 1

Có nhiêu cách đổ xác lịnh một tạ p hợp.. Ta nới jua.il hệ liai ngòi trong ví clụ này là Ịhàn xạ.. Y lả hai tập hạp.. Các ví dụ tiếp theo đ â y không còn các tín h chất đó nửa.5 Phạm trù

BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC

N G U Y Ễ N T ự C Ư Ờ N G

V iện T o á n học

Trung tủm K h oa học T ự nhiên và Cônạ lìíỊlìệ Qitổc íỊÍư

GIÁO TRÌNH

Phần I: Đại sô trừu tượng

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

MỤC LỤC

T rang

M Ờ Đ A U 5

C h ư ơ n g I S ơ L Ư Ợ C V Ê L Ý T H U Y Ế T T Ậ P H Ợ P 9

§1 T ậ p h ợ p và các phép to á n trên tậ p hợp 9

§2 Á nh x ạ 11

§3 Q uan hệ 12

§4 T ậ p hợ p tư ơ n g đ ư ơ n g 15

§5 Tiên đề chọn v à các m ệnh đề tư ơ n g đ ư ơ n g 17

Bài tậ p .20

C h ư ơ n g I I N H Ó M 22 §1 Định nghĩa và ví dụ về nhóm 22

§2 Nhóm con, Định lý Lagrange 25

§3 Nhóm con chuẩn tắ c .29

§4 Đồng cấu n h ó m 31

§5 P h ạm tr ù v à h àm t ừ 36

§6 Nhóm Abel h ữ u hạn sinh .47

Bài tậ p 58

C h ư ơ n g I I I V À N H , T R Ư Ờ N G V À V À N H Đ A T H Ứ C 63 §1 Các đ ịn h nghĩa v à ví d ụ 63

§2 Iđêan và đồng cấu vàn h 67

§3 V ành giao h o á n 72

§4 Vành các p h â n th ứ c 78

§5 V ành đ a th ứ c 83

§6 V ành G a u ß 87

Bài tậ p 92

i Giáo trình đ ạ i s ố h i ệ n đ ạ i

§1 Các đ ịn h nghĩa và ví d ụ 97

§2 Đồng c ấ u 102

§3 T ổ n g v à tích tr ự c tiế p 105

§4 Dãy hợp th à n h , Định lý J o r d a n - H ö l d e r - S c h n e id e r I l l §5 Tích te n x ơ 116

§6 D ãy k hớ p 122

Bài tậ p 129

C h ư ơ n g V M Ô Đ U N T R Ê N V À N H G I A O H O Á N 133 §1 M ôđun nội x ạ 133

§2 M ở rộng cốt y ế u v à bao nội x ạ 140

§3 M ôđun x ạ ả n h 146

§4 M ôđun N o e t h e r 153

§5 M ôđun A r t i n 159

§6 P h â n tích m ô đ u n nội x ạ 165

Bài tậ p 169

T À I L I Ệ U T H A M K H Ả O 173

C H Ỉ D Ẫ N T R A C Ứ U T Ừ K H Ó A 175

M Ờ ĐẦU

Có th ể nói l ằ n g mọi ngành to á n học hiện đại ngày nay tro n g q u á trìn h

p h á t triển đ ề u cần tớ i các cấu trú c đại số và t ấ t nhiên cả nh ữ n g hiểu biết sâu sắc về các cấu trú c này Điều nàv củng dễ hiểu, vì t a biết l ằ n g hai đặc trư n g cơ bản n h ấ t của to á n học là tính tr ừ u tư ợ n g và tín h tổ n g q u á t, m à hai đặc tính này lại biểu hiện m ột cách rõ ràng n h ấ t trong đại số Đ ã có rấ t nhiều sách về đại số c ủ a các tác giả Việt N am hoặc dịch t ừ tiếng nước ngoài

đ ư ự c x u ấ t b àn ờ Việt N am, trong số đó có nhiều quyển đ ã t r ở t h à n h kinh

điển và đư ợc sử dụng làm giáo trìn h giảng dạy, th a m khảo cho sinh viên học toán trên k h ắ p th ế giới Vì vậy, viết một giáo trìn h mới về đại số là m ột việc làm rất khó khàn, n h ấ t là khi tác giả không m uốn rập khuôn hay sao chép lại

từ n g p h ầ n các giáo trìn h đ ã có Cuốn sách này đ ư ợ c viết d ự a tr ê n các bài giảng về đại số cùa tác giả trong vòng 10 năm t r ờ lại đ â v cho học viên cao học và nghiên cứ u sinh tạ i Viện Toán học và m ột số trư ờ n g đ ại học trong nước, cũng nh ư các bài giảng trong 4 n ăm gần đ ây cho các lớp cử n h â n tài năng thuộc T rư ờ n g Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia H à Nội

Nó đ ư ợ c viết hư ớ n g tớ i hai m ục tiêu:

Mục tiêu đ ầ u tiên, giống nh ư mọi giáo trìn h về đại số, là n h ằ m cung cấp các cấu trú c đại số cơ b ản n h ấ t m à không đòi hỏi người đọc phải có b ấ t

cứ kiến th ứ c c h u ẩn bị về đại số nào trư ớ c đó ngoại t r ừ m ột chút yêu thích

to á n học

Mục tiêu t h ứ hai cùa cuốn sách là trìn h bày các khái niệm, cấ u trú c đại

số dưới m ột ngôn ng ữ tô n g q u á t, thống n h ấ t với sự chú trọng nhiều h ơ n các' tính phô d ụ n g của các khái niệm Nói cách khác, tá c giả m uốn người đọc

n hận t h ấ y các mối q u a n hệ q u a lại giữa các khái niệm, cấu trú c đ ại số khác

n hau và khuyến khích cho n h ữ n g t ư duy tổng quát, t r ừ u tư ợ n g h ơ n nữa

Do đó, giáo tr ì n h n à y đ ư ợ c viết theo phương p h á p đi t ừ t r ừ u tư ợ n g đ ế n

cụ thè, là m ột việc làm trá i với h ầ u h ế t các cuốn sách đại số t r ư ớ c đây Bù lại, p h ư ơ ng p h á p n ày cho p hép t a có m ột cách nhìn tổ n g t h ể hơn, r ú t n g ắn

đ án g kế cách tr ìn h b à y vì dễ đ à n g đ ư a các cấu trú c khác n h a u vào tro n g m ột khái niệm và giúp người đọc làm quen với p h ư ơ ng p h á p t ư du y h ình th ứ c

6 Giáo trình đai s ổ hiên đai

là phương p h á p q uan trọ n g n h ấ t trong đại số T uy nhiên đẽ giảm h ớ t tín h hình thứ c, sau mỗi khái niệm t r ừ u tư ợ n g chúng tôi cố gắng đ ư a ra nhióu ví

dụ khác nhau n h ằ m giúp cho người đọc dễ hình dung và tiếp n h ậ n ill rực khái niệm này

Sách bao gồm 5 chương C h ư ơ ng I trìn h bày v ắ n t ắ t ve lý rh u y ế t t ậ p hợp, ánh xạ, các q uan hê n h ằ m th ố n g n h ấ t các ký hiệu tiện cho các chirưng

tiếp theo Trong chương II vé lý th u y ế t nhóm , chúng tòi bỏ q u a n h ư n g cấu

trú c n ử a nhóm, tiền nh ó m m à đi ngay vào đ ịnh nghĩa nhóm C h ú n g tỏi củng

bỏ qua phần lý th u vết nhóm h ữ u h ạn m à (lành trìn h bày kỹ liưn vê c ấu trú c nhóm Abel hữ u han sinh K hái niêm p h ạ m trù và hàrn tư cũn» đ ư ư c đ ư a vào chương này n h ằ m phục vụ ngay cho cho việc đ ịnh nghĩa các khái niệm q uan trọng m ang tín h phố d ụ n g của đại số tro n g suốt, giáo trin h một cách n h ấ t quán Trong chương III về lý th u y ế t vành, có m ột chú ý là trono đ ịn h nghĩa

m ột vành t a đòi hỏi sự tồn tại p h ầ n t ử đ ơ n vị đ â y cũng là đ iề u m à nhiều giáo trìn h đại số khác không (lòi hổi Lý do giải thích cho việc n ày là vì giáo trìn h đ ư ơ c viết thiên nhiều hơ n về v à n h giao hoán C h ư ơ n g IV trìn h bày các đ ịnh nghĩa và các khái niệm cơ b à n c ủ a lý th u y ế t m ô đ u n c ấ u trú c q uan trọng n h ấ t c ủ a đ ại số Hai h à m t ừ q u a n trọ n g n h ấ t của lý th u y ế t m oduli là

h àm t ừ Hom và te n xơ cũng n h ư tí n h c h ấ t đ ơ n giản đ ầ u tiên c ủ a chúng cũng

đ ư ợc xét đ ế n tro n g chư ơ ng này C h ư ơ n g cuối cùng d à n h cho việc tr ì n h bày cấu trú c m ột số lớp m ô đ u n đ ặc biệt q u an trọ n g nh ư m ô đ u n nội xạ m ó đ u n

xạ ảnh, m ỏ đ u n N o eth er và A r tin trê n v à n h giao hoán N h ư vậy hai chương cuối của giáo trìn h cỏ th ể xom nliư là m ột sir chuấn bị kiến th ứ c khời (Táu cho nh ữ n g đọc giả có Ý đ ịn h tiế p tụ c đi sâu vào nghiên cứu các n g à n h quan trọng cùa đ ại số n h ư Lý th u y ế t m ô đ u n trê n v à n h kết hợp Đại số đồ n g điều hay Đại số giao hoán

Cuối mỏi chư ơng c ù a cuốn sách đ ề u có p h ần bài t ậ p đ ư ợ c chọn lọc Các bài tậ p n ày không chỉ đò’ ngư ời đọc giải n h ằ m t ự kiêm t r a sự tiế p th u n h ữ n g điều đã học, m à nhiên bài t ậ p là nh ữ n g bô sung hay m ờ lộ n g kiến th ứ c chưa có tro n g sách Vì vậy sẽ th ự c sự có ích nếu người đọc giải đ ư ợ c nhiều bài tập

Cuốn sách n ày đ ư ợ c viết ra với mục đích có thè dù n g làm giáo tr ì n h đ ại

số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách th a m khảo cho n h ữ n g sinh viên học về các ngành t o á n lý th u y ế t và nghiên cứu sinh T uy Ìiliiõn vì các

Tác giả xin chân th à n h cảm ƠI1 PGS TSK H Lê T u ấn Hoa đ ã đọc kỹ toàn bộ b ản th ả o và đóng góp nhi'éu V kiến quý báu để cuốn sách đ ư ợ c

tố t hơn

T ác giả xin chân th à n h cảm ơn GS vs Nguyễn Văn Đạo đ ã q uan tâ m

đ ế n hộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng K hoa học T ự nhién

và N hà x u ấ t b ản Đại học Quốc gia H à Nội đ ã giúp đ ỡ đê' cuốn sách đ ư ợ c

x u ấ t bản

T á c g i ả

s ơ LƯỢC v'Ẻ • l ý t h u y ế t t ậ p• h ợ p•

Troiif> cliinnif* 111Ữ (lầu này (h ú n g ta sò trìn h bày một cách sơ lưực về tậ p hợp ánh xạ và quan hẹ n h à m mục đích llumg nliất các ký liiộu và th u ậ t ngữ (lược (lùm; troiifi, suốt hài J>iãii}ỉ, này P hần cuối cua chương hàn về các dạng

t i r a n t (hrưii" khác n hau n i a t it'll đe chọn Vì chưa tìm th ấ y tài liệu tie n s Yii'l nào có rliứiiu, minh đ ầ y d ù cho các tư ơ n g (lương này nôn chúng ta sẽ

d ư a ra mọt clnrnti, m inh đè bạn đọc tham kliào thêm

(¡1 T â p h ơ p v à cá c p h é p to á n tr ê n tâ p h ơ p

1 1 Đ i n h n g h ĩ a Tập hợp là một khái niệm cơ b ản cùa to á n học như ng lại là một khái niệm khỏng đ ư ợ c (lịnh nghĩa Một cách trự c quail, ta có t lie liiru một tạ p hợp n h ư là sự tụ tậ p những vật nhữ ng đối tư ợ n g hay nh ữ n g kliiíi Ìiiẹm toán học đ ư ợ c xác đ ịnh bùi một hay nhiều tín h chất chung

Ta thườn» sư (lụng các chữ cái La tinh 4 13 c V Y z hoặc chữ

cái Hy Lạp co nlnr I n A đè chi một tậ p liựp.

Các vạt cùa một tạ p hợ p X gọi là các p hần tư của tậ p hợ p đó Một p hần

từ ./• cùa tạ p lìcrp A' (linrc ký hiệu là (• G A’

Nốu tất cà các Ị)hần tư cùa một tậ p hơp X đ éu là p hần t ư cùa mọt tậ p litrp V t 111 ta nói tạ p lu/Ị) A’ là một tạ p hợp con của tậ p h ạ p y và ký hiệu là

A ç V hay V D -V T n rờ n g h ạ p X ç V và )' ç X thì ta nói rầiiíị tậ p h ợ p X hàn» tậ p lurp V và ký hiệu là -V = V Nếu X ç V và X Ỷ till -V đ ư ợ c gọi

là tậ p hợ p coil th ự c sự cua )' và ký hiệu là A' c V.

Xác đ ịnh một tạ p h ạ p là xác clịnh tấ t cà các p hần t ừ cùa 11Ó Có nhiêu cách đổ xác (lịnh một tạ p hợp Đơn giàn nhất là liệt kè tấ t cà các p h ầ n tứ cùi» tạ p hợ p đ ó và (le tro n g liai (làu 111ÓC Cách thõng d ụ n g t h ứ liai là

mo là một tậ p h ạ p qua các tín h chất (lặc tn ru g của các p h ầ n t ử của t ậ p h ợ p

đó C h ản g hạn ta viết À' = {.;■ I P{.v)} d ể nói rằ n g X là tậ p h ợ p gồm t ấ t cả các phần từ .r tlioà m àn m ệnh (Tó P(.r).

C h ư ơ n g I

10 Giáo trình đại s ổ h i ệ n đại

T ậ p h ợ p không c h ứ a m ộ t phần t ử nào đ ư ợ c gọi là tập h ợ p ròng v à ký

xác đ ịn h bời

X n Y = {x \ X e X v à x e Y } 3) Tích Descartes Tích Descartes của hai tậ p h ợ p X và Y ký hiệu X X

f ] x t = { x I X e X i Vi € /}

ie ĩ

= {c = {Xi)i£i I ẽ X i Vi € /}

i€7Đặc biệt, t a hay viết x n đ ể ký hiệu cho tích D escartes c ủ a n - lần

tậ p h ợ p X

§2 Á n h xa

Cùng với khái niệm tậ p hợp ánh xạ thuộc vào mòt trong Iihửng khái

niệm vơ bán n h ấ t của to á n học.

2.2 C h ú ý (a) Cho ánh xạ f : X — > Y và A là một tậ p h ợ p con c ủ a X

Ta gọi tậ p hợ p / ( 4 ) c Y xác đ ịn h bời f { A ) = ị f ( x ) € y I X e A ) là ản h của /1 qua ánh xạ / Vây ánh xạ /’ là toàn ánh khi và chi khi f { X ) — Y.

(1)) Cho B là m ột tậ p con tùy ý c ủ a y ta gọi tậ p h ợ p c X

đ ư ợ c x á c đ ị n h b ờ i = {.?• E X Ị /(.;■) G B } l à n g h ị c h ả n h c ù a D q u a

ánh xạ [ Bây giừ già sử f là m ột song ánh Khi đó, vì f ( X ) = Y ta luôn

có thè xay dựna, đ ư ợ c một ánh xạ / nlnr sau: với y G Y tù y ý tồn tại

12 Giáo trình đại s ổ hiện dại

2 3 BỔ đ ề Cho f : X — > Y và q : X — » z là ¡lai ánh xạ giữ:ì các tập hợp K hi đó các đicu kiện sau đ â y là tương đương:

(i) Tồn tại m ộ t ánh xạ h : Y — ♦ z sao cho g = h o Ị

(ii) Với các phần từ X I , X 2 G X t ù y ý neu f ( x i) = ™ y(-r i) = 9{x 2)-

Chứng minh (/) = > (li) : Già sừ /(./■ 1) = T ừ g — h o f til M1V ra

g(d-1) = /ỉ o /(.(•]) = / ỉ ( / U i ) ) = h{f(.r->)) = h o /(.!■>) = f/(■'■-') •

(Ü) = > (i): Xét tư ơ n g ứ n g h : Y I— > z đ ư ợ c xác đ ịn h ülur Sein:

- Nếu y 6 f { X ) tứ c tồn tại X G X sao cho f ( x ) — ỊJ khi (ló ta đạt h{y) = g(x)

- Nến y ị f ( X ) t a chọn m ột p h ầ n t ử : e Z cố đ ịn h rồi d ặ t /?(</) =

Dễ dàng suy ra t ừ giả th iế t củ a (ii) lằ n g tư ơ n g ứ n g trôn là một á n h xạ hơn

Bô đề 2.3 giúp ta n h ậ n đ ư ợ c n h ữ n g đặc t n r n g đ ơ n giàn khi nào một ánh

xạ là đ ơ n ánh to à n á n h hay song ánh như sau

2 4 ể Đ i n h lý Cho f : X — » Y là m ộ t ánh xạ giữa hai tập hợp K h i đ ó Ciíc

là m ột quail hệ 2-ngôi trê n X th a y vì viết (ci.b) e n người ta viết là HÍV>.

3.2 V í d u Trên t ậ p hợ p N t ấ t cà các số t ự nhiên t a xác đ ịn h quail hệ

2) Ü — {(//] n>) G N 2 I ri] chia hết cho 7?2 }- Ta dễ n hận th ấ y rằ n g nQĩi

vtVi moi II G N như ng t ừ ĩ ) ị íìi ì'2 nói chung không suy ra v¿íiri\ Vậy trong

t n r à n g lurp này q uan hộ 2-ngói íì là phán xạ nlnrng không là đối xứng.

■i) ỉ ì = {(il \ n>) € N " I ưức số clnuig 1Ứ11 n h ấ t (/í 1 /ỉ 2 ) / 1} u {(1 1)} Rõ

là n g quan họ liai ngôi mới này là p hàn xạ và đối xứng, như ng t ừ lìịÍ Ì 7>2 và

nói filling kliỏng suy ra ri.ịíhiiị (2fì(j và 6 0 3 như ng t a không có 2Í23)

Ta nới (jua.il hệ liai ngòi trong ví clụ này là Ị)hàn xạ đối xứng nh ư n g không

là hắc call Dẻ t h ấ y ra n g các quan hệ liai ngôi trong các ví d ụ (1) v à (2) đồu

là hac cầu

Ví dụ 3.2 cho ta th ấ y có rất nhiều quan hệ hai ngôi th ú vị trên m ộ t tậ p hợp cho tnrứ c Sau đ à y chúng ta sẽ đ ư a ra hai loại q uan hệ đ ặc biệt q u an trọng trong dại số

3 3 Ỗ Đ i n h n g h ĩ a Một q u an hệ 2-ngỏi ũ trẽn tậ p hợ p X đ ư ợ c gọi là quan Ilf lirtnụ/ dưi/iụ/ nếu 11Ó tlioà m ãn các tín h chất sau.

(i) Phàn rạ: tíì.r v.r G X

(ii) Dối TỨ my .VÍÌỊ/ = > fjQ.r V./-,// G X

(iii) Bắc rầu: -I'íifj fjílz ==> ẳr íìz v r y z G X

Khi quail hộ tmrnji, đ m n i ” íì đ ã d ư ợ c xác đ ịn h trên À”, th a y vì viết x í ì ụ Iigưừi

14 Cilio Il ình đai so hiên đai

xứ ng và bắc cầu, nên X ~ Ị) Điều n ày chứng tỏ hoặc íì(.r) = H(y) hoặc Í2(.r) n Í2(y) = 0 v.ỉ.ắ y € X.

V ậy ta n h ậ n đưựC' m ộ t p h â n hoạch của A' qua các lcVp t ư ơ n g đ i r a n g í ?(./•)

T ậ p hợp t ấ t cà các lớp tư ư n g đ ư ơ n g này đ ư ợ c ký hiệu là x / í ì và gọi là tậ p hợp th ư ơ n g của X q u a qua.il hệ tư ơ n g đ ư ơ n g Í2 H ơn n ữ a t a có th e xác đ ịnh

m ột ánh xạ 7T : X — * X / Q 7r(.r) = Q (.r)ếV.r e X và gọi 11Ó là ánh xạ chính tắc sinh ìxri q u an hệ tư ơ n g đ ư ơ n g Q.

3.5 Đ i n h n g h ĩ a M ột quail hệ ã2-njỉ;ói Q trên m ột tậ p hự p X (lược «ọi là quan hệ thú tụ bộ phận n ế u q u a n hệ đó là p h à n xạ l)ắ(ề cầu và ph(in đói rứiiỊi

(nghĩa là, từ x i l y y í ì x = > X = y, v.r y € X )

Khi trê n t ậ p h ợ p X có m ột quail hệ t h ứ t ự hộ p h ậ n Q th ì ta nói X là

m ột tập hợp đ ư ợ c sắp th ú tự bời íì T h ô n g th ư ờ n g ngư ờ i ta d ù n g ký hiệu

< d ể chì một (ịuan hệ t h ứ t ự bộ pliận Hai p hần t ử x y e X đirợc »,ọi là so

s á n h đ ư ợ c đối với q u a n hệ t h ứ t ự bộ p h ậ n < n ếu hoặc .V < ỊJ hoặc y < r

Clio A là m ột t ậ p h ợ p COI1 cùa t ậ p h ợ p X và X e X Ta nói r ằ n g là một

cận d ư ớ i (cận trên) của t ậ p .4 tro n g t ậ p X n ế u .r < a (« < x ) \ / a G 1 Đạc

biệt, một ])hần từ X e X đượ c gọi là phần từ c ự c đại ( c ự c t i ê u ) <ếiểia tậ p hợp

X liến là cận trôn (cận d ư ớ i) duy n h ấ t cùa t ậ p {.(•} tro n g X

Q u a n hệ t h ứ t ự 1)0 p h ạ n < trẽ n tạ p li<yp X (lược gọi là tuyến tính nếu

hai ])hần t ừ tùy ý của A' đồ u so sá nil đ ư ợ c \'ới n hau Một quail họ t h ứ tự

tu y ế n tín h trê n X đ ư ợ c gọi là quail liộ t h ứ t ự fat n ếu mọi t ậ p h ạ p coil khác rỗng, cù a X đ ê u chứa m ột p h ầ n t ừ cực tiểu.

3 6 V í d u 1 ) Clio X là m ộ t tậ p hợp tậ p h ạ p 2A = { A I A C À'} đ ư ự c gọi

là tậ p h ợ p các bộ p h ậ n của X (dễ ch ứ ng m inh đ ư ợ c rằn g , nếu X có II p h ầ n

t ứ thì 2 a có 2" plm.il tử đ iề u này giãi thích tại sao t a lại d ù n g ký hiệu nh ư trên) Ta xác đ ịn h m ột (Ịiian hệ < trê n 2 X đ ư ợ c gọi là quan hê bao hàm như sau: A < B khi và chi khi 4 C n Dễ d à n g chứ ng m inh đ ư ợ c r a n g quail hệ này là m ộ t q u a n hệ t h ứ t ự bộ p h ậ n trê n ‘2X H ơn nữa liến X c h ứ a ít n h ấ t

2 p h ầ n t ử X Ỷ y thì q u a n hệ đ ó k hô n g b ao giừ là m ộ t q u a n hộ t u y ế n tí nh, vì Ịj'} kliôug sơ s ánh (lược với {//}

42) Q uail hệ t h ứ t ự th o n g th ư ờ n g trên t ậ p h ợ p tấ t cà các số n g uyên z

là m ột <|uan hệ t h ứ tự tu y ế n tính, n h ư n g không là một quail hộ tlnr t ự to à n

p hần (chẳng hạn tạ p h ợ p { — 2 —1 0 } không cỏ ])hần t ừ cực tié u )

3) Quail hệ t h ứ t ự th ô n g th ư ờ n g trên tậ p hợp t ấ t cả các số t ự Iihiên N

là m ộ t q uan hệ t h ứ t ự tu y ế n tính, hơ n n ữ a nó là m ột q uan hệ t h ứ t ự tốt

§4* T â p h ơ p t ư ơ n g đ ư ơ n g

4 1 Đ i n h n g h ĩ a Hai t ậ p h ợ p X v à Y đ ư ợ c gọi là tư ơ n g đ ư ơ n g , ký hiệu

là X ~ Y nếu tồn tại m ộ t song á n h / : X — ♦ Y Khi đ ó t a cũng nói r ằ n g X

là song ánh, suy r a h = g o f : X — » z cũng là m ộ t song ánh.

Vậy nếu cho m ộ t họ các t ậ p hợ p E nào đ ó thì q u a n hệ ~ xác đ ịn h trê n E là

m ột q u a n hệ t ư ơ n g đ ư ơ n g th e o nghĩa c ủ a (3.3)

4 3 BỔ đ ề P h é p lấ v tích Descartes và h ợ p là bào toàn tính tư ơ n g đư ơng Nghĩa là, neu X ~ X \ và Y ~ Y\ thì các m ệ n h đề sau là đúng.

(i) X X Y ~ X i X Y i.

(ii) Girl thiết, th e m r ằ n g X n Y = X \ n Y] — 0 thì X u Y ~ X \ u F j.

Chứng minh T h e o giả th iế t, tồn tại các song á n h / : X — » X i v à g : Y — >

y ị Ta xây d ự n g n h ữ n g á n h x ạ m ới n h ư sau:

ộ ; X X y — * X i X Y ị , ộ { x y ) = ( f ( x ) , g ( y ) ) , V x 6 X , V y e Y.

f ( z ) , n ếu 2 G X , g{z) n ếu 2 e Y.

Dỗ kiểm t r a t h ấ y r ằ n g 0, ọ là n h ữ n g song ánh, bố đề đ ư ợ c c h ứ n g m inh □

IG ^ẽni() i n n fl dại so bien dại

4 5 Đ i n h lý C a i i t o r - B e r n s t e i n Cho X Y lả hai tập hạp s ế u X tư ư n g

đ ư ơ n g v ó i m ộ t rập h ợ p con cûa Y và Y rương d ư ơ n g với m ộ t tậ p Ììơp con cùa X Thì X r ư ơ n g đ ư ơ n g với y.

Chứnq minh T h eo giã th iế t, tồn tại A’i ç A’ và )'i ç V sao cho A"i ~

Y V] — X Giã sử f : V -V] là một soiiq ánh Đật A’ = 1 ) \~1A' ~~ Vi y 1 — X-2 - suy ra A" — A’_> Vậy tồn tại một so n s failli g : X — - A )

Đặt A'o = -V và q u a còng tlil'rc tru y chứ ng -Y„+ 1 = <y(.Y„_i) ta n h ận clirực một dãy vò h ạ n các t ậ p h ợ p lồng n h a u

- V = V o 2 - V] D A ' 2 2 - V , .

D ựa vào cách xây d ự n g cu a -Y„ và tín h song án h của q dễ d à n g suy ra ran g

Bảy giờ ta dẻ th ấ y các t ậ p h ọ p A" A l có thẻẽ biể u d ie n đ ư ợ c n h ư sau

Trong m ộ t th ờ i gian dài tr ư ớ c (lảy rấ t nhiều nhà to á n li(ểic m uốn xem tiên

đề chọn nh ư là m ộ t đ ịn h lý và cố gắng chứng m inh 11Ỏ Việc này đ ã đ ư a đ ế n

n h ữ n g tr a n h cãi lâu (lài, đ ặ c biệt đ ã đ ặ t ra cho logic to á n và lý t h u y ế t tậ p hợp n h ữ n g v ấ n đ ề l ấ t khó k h ăn và qua.11 trọng M ãi đ ế n khi ngư ời ta n h ậ n ra làng, có nliiồu đ ịn h lý cơ b à n của to á n học chỉ có thê chứ ng m inh d ư ợ c chặt chõ nếu người ta cõng n h ậ n tiên đề chọn nh ư là mọt tien đồ Và h(rn nữa chúng CÒ11 tư ơ n g đ ư a n g với tiên đề chọn P h á t hiện sau cùng này đ ã ch ấm

d ứ t mọi tra n h cãi x u n g q u a n h việc công nhộn tiên đồ chọn hay không Sau

Một x í c h .1 cùa m ộ t t ậ p licrỊ) đ ư ợ c sTtp HrtT-Ht V rìir<rr_ » o i là rịch a r c đ ạ i

liến 11Ó khôn» là t ậ p h ợ p con cua b ất kỳ m ột xích nào khác c ủ a X

5 2 Đ ị n h lý c 'ác m ện h đc sail đây lả tư ơ n g đ ư ơ n g với tien (Ir chọn:

(i) ( Đ i n h lý Z e r m e l o ) Mọi tập hợp (tru có thè (Vược sắp thứ tự tối (ii) ( Đ i n h lý H a u s d o r f F ) M ỗi xích của m ột tập hựp đ ư ợ c sấp t hứ tự

I.UÔĨI n ằ m t r o n q m ộ t x í c h c ự c đ ạ i r

-(iii) (B Ổ đ ề K u r a t o w s k i - Z o r n ) N ế u m ồ i xích ị u a ' i nô t 't âp liơp đ ư ợ c sấp thứ tự X đe 11 cú cận trên, thì X chứa, ít n h ấ t m ộ ị 'ýHền'-hĩ r u e đai.

IX Gián trình đại s ố hiện đại (iv) (BỔ đ ề T e i c h m i i l l e r - T u k e y ) Cho X là m ộ t tập hợp và Ằ' In m ột

họ không rỗng nh ữ n g tập h ợ p con của X có tính chất: m ột tập h ợ p con 4 cùa X thuộc ràn họ X khi và chi khi mọi tập hợp con hữu hạn phán từ cũn

A thuộc X K h i đó X c hán ít n hất m ộ t phần tủ rụcả đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp.

Chúng m inh T a sẽ c h ứ n g m inh đ ịn h lý theo lược đ ồ san đây: T iên đ e chọn

= > ( i ) = > (ii) = > ( i i i ) = > ( i v ) = 4> tiên đề chọn

Tiên đê chọn = > (i): T rư ớ c h ết ta đ ịn h nghĩa m ột vài th u ậ t ng ữ mới can

th iế t cho ch ứ ng minh M ột tậ p h ợ p con B của một tậ p h ợ p đ ư ợ c s ắ p hoàn

to à n A đ ư ợ c gọi là m ộ t đoạn củ a A n ếu với b G B tù y Ý th ì { x € A I X < b} C

B Bây giờ giã sử B là m ộ t đ o ạ n củ a A v à B Ỷ A Vì A \ B ^ 0 tồn tạ i p h ầ n tử cực tiể u b tro n g t ậ p h ợ p này T a dễ d à n g suy r a B = { x E A \ X < b và X ^ b} Khi đó t a nói đ o ạ n B đ ư ợ c sinh b ờ i b tro n g t ậ p h ợ p A và ký hiệu B = [.4.6].

T rớ lại chứ ng m in h đ ịn h lý Clio X là m ộ t t ậ p h ợ p tù y ý T h eo tiên đề chọn t a có một á n h xạ *p xác đ ịn h tr ê n t ậ p h ợ p t ấ t cả các bộ p h ậ n của X sao cho với mỗi t ậ p h ợ p con khác rỗ n g Y c ủ a X xác đ ịn h m ột p h ầ n t ử >p{Y) G V

Ta gọi m ộ t t ậ p h ợ p coil A của X là tốt n ếu nó là m ộ t t ậ p h ợ p đ ư ợ c sắp th ứ

t ự tốt và với mọi p h ầ n t ử a G Ả luôn có

t ậ p h ợ p A v à D G iả sử r ằ n g c không tr ù n g với cả A v à D Vì c là tạ p

h ợ p tố t của hai t ậ p h ợ p A v à B nên th e o n h ậ n xét ờ p h ầ n đ ầ u c h ứ n g minh

c — [A i p{X \ C)] = [B ifi(X \ C )\ Vậy C ' = c u {- p( X \ C )} là m ột đ o ạ n chung cùa A và B chứ a th ự c sự đ o ạ n c Điều n ày m â u t h u ẫ n vói tín h cực đại cua c Vậy tro n g hai t ậ p h ự p tố t 1 và B phải có m ộ t t ậ p h ạ p là đ o ạ n cùa t á p h ợ p kia B ây giừ với ký hiệu D là h ợ p cua tấ t ca các t ạ p h ạ p coil tốt của À', ta sẽ c h ứ n g m in h D cũng là m ộ t tậ p hợ p con tố t cùa X T liạt vậy nếu a b là hai Ị)hần t ử tù y ý c ù a D thì a b phải n ằ m tro n g hai t ậ p h ạ p COI1

tố t A B cùa -V suy r a chú n g th u ộ c vào tậ p h ạ p lớn hơn c h ẳ n g h ạ n là A Khi

đ ó t a xác đ ịn h (I < b tr ê n D khi và chi khi a < b theo q u a n hệ t h ứ t ự to à n

p h ầ n trên .4 Rõ là n g cách xác đ ịn h này làm D tr ờ th à n h m ột t ậ p h ợ p đ ư ợ c

s ắ p tu y ế n tính G iả sữ D không phải đ ư ợ c sắp tốt tứ c tồn tại m ột t ậ p h ợ p con không rỗng E c D sao cho tro n g E không có p h ầ n t ử cực tiếu T ừ đ â y SUY ra [E x] củng là m ột tậ p h ợ p không có p hần t ừ cực tiể u với m ỗi X e E cho trư ớc Điều này m â u th u ẫ n , vì [E r] luôn n ằ m trong m ộ t tậ p h ợ p con

tố t cùa X V ậy D là m ột tậ p h ợ p đ ư ợ c sắp t h ứ t ự tốt H ơn nữa n ếu » 6 0 thì u phái n ằ m tro n g m ộ t tậ p h ợ p con tốt 4 nào đó Do đó ta n hận đ ư ạ c

a = ự { X \ [-4.a]) = ^(-Y \ [D.a]).

Điồu này chứ ng m inh r ằ n g D là một tậ p hợp con tốt của X Già sư D Ỷ X Khi đ ó t ậ p h ợ p D' = D u { ^ ( A ' \ D) } sẽ là một t ậ p hợ p con tố t chứ a th ự c sự

D K ết luận này m â u t h u ẫ n với cácli xảy d ự n g của D Vậy D — X tứ c tậ p

hợp A’ đ ã đ ư ợ c s ắ p t h ứ t ự tốt

(ị) = > (//): C ho A là m ộ t xích của tậ p h ợ p đ ư ợ c sắp t h ứ t ự bộ p h ậ n X Nếu 4 = X ta không CÒ11 gì đ ê chứ ng m inh nữa Trái lại n ế u B = X \ A ^ 0

d ự a vào (i) t a có t h ể giả th iế t trên B có m ột t h ứ t ự đ ư ợ c s ắ p tố t C h ú Ý rằn g t h ứ t ự Iiày h o à n to à n độc lập với t h ứ t ự bộ p h ậ n của X h ạ n chế trê n

B Ta sẽ p h â n hoạch B t h à n h hai t ậ p hợ p con C D nh ư sau: P h ầ n t ư cực tiểu b E B sẽ thuộc c n eu b so sánh đ ư ợ c với mọi p h ần t ừ củ a .4 CÒ11 ngư ợ c lại ta cho b G D C ho ỉ’ là một p h ầ n t ử tù y ý cùa D và già sử r a n g mọi p h ầ n

từ của [# /■] đ ã biết tlniộc c hay D rồi Khi đó ta chơ .V E c n ế u ./■ so s ánh

đ ư ợ c với mọi p h a n t ừ cùa 4 và với mọi p h ầ n tir của (theo q u a n hệ t h ứ

t ự bộ p h ậ n cùa À'), ngư ợ c lại thì ta cho X G D Xót tậ p hợ p 4' = .4 u c Rõ ràn» 4' là một xích của X và là m ột xích cực đ ại chứa A vì mỗi p h ầ n t ử cùa

D khòng so s á n h đ ư ợ c ít n h ất với một p h ần t ừ của c

(//) = > (Hi): Clio .V là một p h ầ n t ừ tù y Ý của tậ p h ợ p đ ư ợ c s á p bộ p h ậ n A' Nếu r là cực đ ại th ì m ệ n h đề đ ư ợ c chứng m inh xong Già sư .V kh ô n g phải

là p h ần t ừ cực đại Khi đó theo (ii) xích gồm một p h ầ n t ư {.;■} phải n ằ m

trong một xích cực đ ại Ả nào đ ó cùa v T heo già th iế t tồn tại m ột t ận trê n I) cùa 4 tứ c tì < b.Va G -4 N ếu b không phải là p h ầ n t ừ cực đại tồn tại m ột

ph ần t ừ c Ỷ b sao c-lio b < c T ừ đ â y suy ra a < c.Va 6 .4 V ậy A u {c} là một

xích mới th ự c sự d u r a .1 Điều này m àu th u ầ n với tín h cực đ ại của 4 do đó

I) là một p h ầ n t ư cực dại cua A\

20 Guio trình đại s ố hiện dại (i.ii) = > (ir): Clio À' là một tậ p hợ p đ ư ợ c sắp t h ứ t ự bộ p h ậ n và ì ' một tậ p hợp các tậ p hợ p coil của X th o à m ã n giả th iế t c ù a (iv) C h ú ý lằ n g với quail hệ bao hàm C t r ờ t h à n h m ộ t t ậ p hợ p đ ư ợ c s ắ p t h ứ t ự hộ p hận Đé

chứng minh trong X có m ột p h ầ n t ư cực đại t a chỉ call cluing m inh rail", mọi xích trong X đ'óu có cận trê n tro n g X Bây giờ gọi V là hạ]) của tấ t cá các

tậ p hự]) trong một xích cua X Rõ là n g V là một cận tròn của xích n ày trong

tạ p liap 2 a Việc CÒ11 lại c ù a ta là ( 111 ra V E X Gia sư {/•] /•„ } 1Ì1 mót tạ p hợp con hữ u h ạn nào đ ó ( lia V Do mỗi r, thuộc vào m ộ t tạ]) h ạ p .1, nào dó trong xích ta đ a n g xét liên tồn tạ i một tậ p hợp chằng h ạ n A \ d u r a tấ t cà

nh ữ n g tậ p CÒ11 lại Suy ra {<’1 i’„ } ẽ X T heo giả th iế t cùa (iv) ta đi đ ế n

V e X.

(ir) = > Tiên đ f chọn: Clio A” là một tậ p hợ p tù y ý X ét tậ p h ợ p .1' mà tấ t

cà các p hần tư c ủ a nỏ là n h ữ n g tậ p hự p con cùa, X th o ả m ã n tiỏii de chọn

Rõ ràng tậ p hợ p n ày là không rỗng, vì mọi tậ p hợ p coil, h ữ u h ạ n p h ầ n tứ

của X đ ề u thuộc X hơ n n ử a X là m ộ t t ậ p h ợ p đ ư ợ c s ắ p t h ứ t ự bộ phận theo q uan hộ hao hàm v ấ n đề CÒ11 lại là chứ ng m inh X G X T h ậ t vậy cho

r = ( A s ) một xích tù y ý (ệù a X Đ ặt Ả = u.s-4.s Vì A s thoã m ã n t it'll (Té chọn

nên trên I1Ó tồn tại á n h xạ chọn ly0H Khi đó t a xác đ ịn h tr ê n A một á n h xạ -p sao cho trên mỏi A s 11Ó tr ù n g với Rõ là n g là m ộ t á n h xạ chọn của

A Vậy A E Ằ' là m ọt cận tr ê n của xích r trong X Sừ (lụng tín h ch ất này với chứ ng m inh hoàn to à n t ư ơ n g t ự n h ư trong (iii) = > (iv) ta suy ra trong Ằ' có ít nhất một p h ầ n t ư cực đ ại r Giã sử V / X tứ c tồn tại mọt p h ầ n tứ ./■ G -V \ V T ừ d â y suy ra ngay rằn« r u {./■} e Điều này m á u tim an với

tính cực dại của r V ạy V — X v à đ ịn h lý đ ư ợ c chứ ng m inh đ ầ y đ ù □

B à i tâ p

1) Clio X v à {A,},(Z¡ là n h ữ n g tậ p hợp C h ứ n g m inh các công th ứ c sau đáy: (i) X \ ( n i € ỉ A ẻ) = Ui € l ( X \ A â).

(li) X \ (U,e /.4,) = n i6 /(A' \ .4,).

2) Cho f : X — * ) là m ột á n h xạ và c D là hai tậ p h ạ p coil cẻùa Y C h ử n g

minh các tín h chất sau là đ ú ng

(i) j - l ( C U Ũ ) = , r 1( C ) U / - 1(D ).

(ii) f ~ l { c n D) = f - ]( C ) n f - l ( D).

(iii) / - ' ( } • \ C ) = x \ f - ! (C’).

.■{) C ho /' : X — - V’ và (/ ■ ) — • z là những song ánh C h ứ n g m inh l ằ n g i/o / lại là song ánh và (</o /’) _1 = f ~ ] o ợ _ l

8) KÝ hiệu A_> là tậ p hợ p tấ t cá các ánh xạ t ừ ta p h ạ p V vào tạ p h ạ p X

C h ứ n g minh ra n g với 4 tậ p h ạ p tùy ý A B c D th o à m ãn tín h chất 4 — B

và c ~ D ta luôn có ,4( ~ B n

9) Ký hiệu 2 a là t ậ p h ạ p t ấ t cà các tậ p hợp coil của tạ p h ợ p X ( ’hứ n g miiili

rằn g lực lưựng cùa liai t ậ p hự p A' và 2A là khác nhau

10) Cho > là một q u a n hộ t h ứ t ự bộ p h ận trên tậ p h ạ p X Cliửnu, m in h các

niệuli đồ sau đ à y là tư ư n g đưưng:

(i) Mỗi tậ p h ạ p con khác lỗ n g ) cua X chứa ít n h ất m ộ t p han t ư cực

tiểu

(ii) Mỗi xích giàni r á c ])hần từ cùa À'

■l'\ > -r > > ••• > >

đ ều dừng, tứ c tồn tại mọt số tự nhiên Ả' sao cho Vị,- = .;■/,+ ] = ■■■■

C hương II NHÓM

Lý th u y ế t n h ó m thuộc vào m ộ t tro n g các lý th u y ế t đ ư ợ c p h á t tricii sám

nh ấ t, do vậy r ấ t phong p h ú và có nhiều ứng dụ n g n h ấ t tro n g đại số Ngoài các khái niệm và tín h c h ấ t cơ b ả n về nhóm đ ư ợ c tr ìn h b ày tro n g ch in m g này

ta sẽ đ ư a th ê m khái niệm p h ạ m trù không những' n h ằ m làm gọn h<rn các định nghĩa về nhóm t ự dơ, tích và đối tích tro n g nhóm, mà 11Ó CÒII rất hữu ích cho t ấ t cà các ch ư ơ n g về sau tro n g bài giảng Iiày

§1 Đ in h n g h ĩa v à v í d u v ề n h ó m

l ềl Đ i n h n g h ĩ a • M ột t ậ p h ợ p G đ ư ợ c gọi là m ộ t n h ó m n ế u tồn tại một ánh xạ t ừ tích D escartes G X G vào G (ảnh cùa p h ầ n t ử (a b) € 6 ' X G với

a, b là n h ữ n g p h ầ n t ừ tù y ý c ủ a G qua á n h xạ này t a ký hiệu là ab - khi dó

G sẽ đ ư ợ c gọi là m ộ t nh ó m n h ân ) th o à m ã n các tín h c h ấ t sau đáy.

(G'i) K ế t h ợ p : a(bc) — (ab)c, Va, ồ, c e G.

(G ễ2) Có đ ơ n vị: T ồ n tạ i m ộ t p h ầ n t ử e e G sao cho ae — ea = a Va € G (G';ị) Có nghịch đào: Với mỗi p h ầ n t ử a e G luôn tồn tạ i m ột p h ầ n tứ

b £ G sao cho üb = ba = e.

P h ầ n t ư ab đ ư ợ c sọi là tích cua u và I) và á n h xạ xác đ ịn h tích ờ trẽn

đ ư ợ c gọi là phép toán trê n n h ó m n h a n G P h ầ n t ử e tro n g (G>) đ ư ợ c gọi là

p h ầ n t ừ đ ơ n vị của G P h ầ n t ử b tro n g (G: ị ) đ ư ợ c gọi là p h ầ n t ử nghịch đàu của a tro n g G và ký hiệu là a - 1 K hi chỉ có m ộ t nhóm G cho tr ư ớ c ta ký hiệu

p h ầ n t ử đ ơ n vị là e n h ư ờ trên N ến có nhiều nhỏm G H , ta sẽ d ù n g các

ký hiệu e c,.C Ị{ đe chi các p h ầ n t ử đ ơ n vị củk các nlióni G H

Nếu p hép to á n trê n G th o á m ã n th ê m điồu kiện

(G,i) Giao hoán: ab = ba Va b G G

thì ulióm G đ ư ợ c gọi là n h ó m Abel N hóm Abel nhiều khi CÒ11 đ ư ợ c gọi là

nhóm giao hoán

T h ô n g th ư ờ n g n g ư ờ i ta q u e n viết p hép to á n trê n m ột nhóm Abel th e o lối

cộng: (I + I) và gọi là tòng của (I YÌ\ ị) trong G Khi đó t ư ơ n g ứ n g V('ri Ị)lian

tư đ ơ n vị e tro n g nhóm Iiliản là p h ầ n tư không, ký hiệu 0 và p h ầ n t ư nghịch

đ ả o r/ -1 ểsõ là phần t ư đối ký hiệu —a, trong m ột nhóm cộng.

Một nhóm 6 ' đ ư ợ c gọi là h ữ u hạn hay vô hạn nếu tậ p hợ p G là h ữ u h ạn hay vô h ạ n p h ầ n từ T rư ờ n g h ợ p nhóm G là h ữ u h ạn th ì số p h ần t ừ của G

đ ư ợ c gọi là cấp của nh ó m đó v à ký hiệu là I G I

1 2 T í n h c h ấ t Ta sẽ d ư a ra ờ đ â y nh ữ n g tín h ch ất đ ơ n giản n h ấ t của một Iilióm G :

1) Phần từ đơn vị e của G đ ư ợ c xác định duy nhất

T h ậ t vạy nếu e' cũng là m ột p h ầ n t ử đ ơ n vị suy ra e = ee' = e '

2) M ỗi phan từ a cùa G chì có duy nhất m ộ t phần từ nghịch đảo a ~ l hơn

n ử a e ~ l = e ( a _1 ) _1 = a uà {ab) ~i — b ~ la '

T h ậ t vậy n ếu b.c là hai p h ầ n t ừ nghịch đ à o của a suy ra

I) — be = b(ac) = (.ba)c — ec = c.

P h ầ n CÒ11 lại đirợc suy ra m ột cách tư ơ n g tự

3) (Luật giản ư ớc ) Cho a b x là những phần từ tùy ỷ cùa G T ù các đẳng thức x a = xb hoặc a x = bx đầu suy ra a = b.

T h ậ t vậy n h ả n vào hôn trá i liai vế cùa đ ẳ n g th ứ c ,ia — xb với x ~ 1 suy ra

a = en = ( x ~ l x ) a = x ~ (xa) — x ~ 1xb = ( x ~ l r)b = eb = b.

P h ầ n còn lại ch ứ n g m inh h oàn to à n tư ơ n g tự

4) Trong G các p h itơ n q trình xa — b và a.r = b có nghiệm duy nhất.

T h ậ t vậy .r — b a ~ l là nghiệm của p h ư ơ n g trìn h đ ầ n và là d u y n h ấ t do

tín h c h ấ t Ếỉ

5) Cho a G G ta xác định a° = e a" = a a (n-phần tứ a) và a ~ " = ( a - 1 )"

K hi đó ta đ ư ợ c a na m = a" + ,n { a " ) m = a " m hơn nửa, nếu G lả Abel thì (ab)" = a ¥,bn ,V a b e G.

Các công th ứ c trẽ n đ ư ợ c suy ra dễ d àng t ừ đ ịn h nghĩa

1.3 V í d u 1) T ậ p h ợ p t ấ t că các số nguyên z với phép to á n cộng lạp t h à n h

m ột nhóm Abel C ũ n g n h ư vậy t ậ p h ợ p t ấ t cà các số h ữ u tỳ khác không Q ' với phép n h â n th ò n g th ư ờ n g lập t h à n h m ột nhóm Abel

2) Cho G là một nh ó m và X là m ột t ậ p không rỗng T ậ p h ợ p t ấ t cà các ánh xạ tir -V vào G ký hiệu M ( X G ) , là một nhóm với p hép to á n n h à n

đ ư ợ c đ ịn h nghĩa n h ư sau: đổi với hai á n h xạ tù y ý f g e M ( X G ) á n h

24 (¡/án trình đại s ố hiên đai

xạ tích Ị'Ị! đ ư ợ c xác đ ịn h q ua c óng th ứ c {/<]){.!') = f {x)g( r) v.r £ A\ Khi

dó phần t ử đ ơ n vị cùa M ( X G ) là ánh xạ cho ứ ng mọi p hần t ư rù a A'

lén p h ần t ử đ ơ n vị cua ( ! và á nh xạ nghịch đ à o / _l đ ư ợ c xác (lililí }XVi

( / ,_l )(.»•) = ( / (./■))“ 1 v.r G À' Ta cũng dễ chứng minh đ ư ạ c rằn« M ( X G ) là một nhóm Abel khi và chi khi G là một nhóm Abel.

vị của tậ p hự p X K hông khó k h ă n ta có thổ chứng m inh đ ư ợ c lằ n g 11CU A'

có ít n h ấ t ba p h ầ n t ừ tr ờ lên th ì S ( X ) không hao giờ là nh ó m Abel.

Ta sẽ d ư a sau đây n h ư là ví dụ một lớp n h ữ n g nhóm có tín h chất đơn giàn n h ấ t, dó là các nhóm xyclic

1.4 N h ó m x y c l i c Một nh ó m G đ ư ợ c gọi là lìhóiĩi vyrli(ệ uốn moi p hần tư cùa nó đ e u là luỹ th ừ a cùa một p h ầ n t ữ ti G G Khi đ ó ta gọi a là phán tứ sinh của nhóm xyclic G và ký hiệu là G —< a >

Tlico đ ịn h nghĩa, m ộ t n h ó m xyclic G với p hần t ử sinh là a có th ế viết

dư ợc dưới đạiiị>

G = ịa " I /í € Z}.

Bâv giờ có hai klià n ăn g x â y ra:

1) a" / u " 3 với mọi cặ p số n g uyên khác n h a u Ii.ru Rõ ràn g khi đ ó cấp cùa nhóm xycli(ệ G là vô hạn.

2) Tồn tại hai số ngu y ên kliác n h a u /í 7/7 sao cho a" = a"‘ T ừ (lây cũn» suy ra <I~" = nên ta luôn có th è già th iế t th ê m r ằ n g n — II) > 0 H<J11 nưa ta có a"~ '" = a " a ~ '" = — e Vậy luôn tồn tại m ột số t ự nhicn r

1)1’ n h ấ t sao cho a' = ( Ta sẽ c h ứ n g m inh rằng

ri _ í I) _ 1 $ 2 / —lì

u = {u = (\(l 0 .(I

T h ậ t vâv nếu tồn tại hai so i < ý 0 < i j < r — 1 sao cho ữ' = aJ T a suy ra

aJ ~' = (= Điều này trá i với tín h bé n h ấ t của r vì j — i < r vậy a' aJ Bây giừ giả sử a Ả £ G với A’ là m ột số nguyên nào đó Khi đó tồn tại n h ữ n g số Iiguyên n và 0 < m < r sao cho k = n r + m Do đó ta có

0 A = a „ r + m = ( a r ỵ » a m = Q m_

V ậv trong trư ờ n g h ợ p n à y ta đ ã chứ ng m inh đ ư ợ c rằ n g G là m ộ t nhóm h ữ u hạn có cấp là số bé n h ấ t r có tín h chất a ' = e.

§2 N h ó m c o n , Đ in h lý L a g ra n g e

2 1 Ề Đ i n h n g h ĩ a M ột t ậ p h ợ p coil H củ a m ột nhóm n h ân G đ ư ợ c gọi là

m ột n hóm con củ a G n ếu các đ iề u kiện sau đ ư ợ c th o ả mãn:

(i) P h é p to á n n h â n là đ ó n g đối với H tứ c x ụ G H y r ị) e H:

(ii) H chứa p h ầ n t ử đ ơ n vị e của G:

(iii) x ~ l e H \ / x e H

Nói cách khác, H Ỷ 0 y à là m ột nhóm với phép to á n n h ả n chính là phép

to á n của G.

Đê chỉ H là m ột n h ó m COI1 c ủ a G t a d ù n g ký hiệu H < G M ột n h ó m con

H khác với nh ó m coil m ộ t p h ầ n t ử { f } và khác với chính nhỏm G đ ư ợ c gọi

p h ần từ X G H Suy ra c = .r.r-1 G H tứ c điều kiện (ii) cùa (2.1) đ ư ợ c th o à

m ãn T ừ đ â y ta n h ệ n đ ư ợ c X-1 = e x ~ l € H nếu X e H tứ c đ iề u kiện (iii)

đ ư ợ c th o à m ã n ễ C uối cùng, n ế u .r y G H th ì X, y ~ x G H vậy theo già th iết t a suy ra x y — G H tứ c đ iề u kiện (i) c ủ a (2.1) c ũng đ ư ợ c th o ả m ãn.

2 3 V í d ụ 1) C h o À' = {1 /ỉ} là m ộ t t ậ p liựp gồm 17 p h ầ n tứ Trong

tr ư ờ n g h ợ p n ày nh ó m đối x ứ n g S ( X ) đ ư ợ c ký hiệu là s„ M ột n h ó m con c ù a

26 Giáo trình đại s ố hiện đạis„ đ ư ự c gọi là m ộ t n h ó m các phép th ế c ủ a X Cho một h oán vị / € s„ tích

đ ư ợ c gọi là chi s ố cùa h o á n vị f và đ ư ợ c ký hiệu là sign f Rõ rà n g tậ p hợp

t ấ t cả nh ữ n g hoán vị c ủ a S n cỏ chi số b ằ n g 1 th o ả m ãn các đ iề u kiện cùa Định nghĩa (2.1) nên lập th à n h m ộ t nhóm con cùa S n Ta gọi nh ó m COI1 này

là nhóm thay phiên bậc 11 v à ký hiệu là A n

2) C'ho G là một nhóm và (ì là m ột p h a n t ừ t ù y ý c ù a G Dồ kiếm tra

đirựe rằn g t ậ p Ii ợ ị )

lập th à n h m ột nhóm con c ủ a G N hóm con này chính là nhóm xyclic sinh hời phần t ừ Ö đ ã đ ư ợ c đ ịn h n ghĩa tro n g (1.4) Nếu I H 1= n th ì t a nói p hần tử a

cỏ cấp 11 còn ngư ợc lại thì ta nói a có cấp vô hạn.

2.4 M ê n h đ ề C ho ( H, ) i £i lì.I m ộ t họ các n h ó m CU 11 cùn m ộ t n h ó m G Khi

dó các m ộnh đờ sun d á v là đúng.

(i) n là m ộ t n h ó m con của G.

(ii) N eu với m ọi i, i 6 I luôn tòn tại m ộ t k € I sao cho H, C Hị, và

H j C Hỵ thì u , e / ( / / , ) là m ộ t n h ó m con của G.

Chứng minh Đặt A' = P li e ì ( H, ) Vì e G Hi nên K ^ M ặt khác, nếu

./■.(/ £ K thì T.ỊJ G H â Vi G I 11Ò11 r y ~ l G Hị V/ G / Suy ra J'fj~ 1 € h tức A’ là một nhóm con của G th e o M ệnh đ ề (2.2) Ta cũng dề d à n g clnriig minh

2 5 ế Đ i n h n g h ĩ a C ho A là m ộ t t ậ p h ợ p con c ủ a m ộ t nhóm G Xót tậ p hợp

] heo Mệnh đồ (2.4) (i) th ì < .4 > là m ột nh ó m con Cềủ a G chứ a 4 N hóm con này d ư ợ c gọi là n h ó m con đ ư ợ c sinh bời tập hợp A Đặc biệt, liến G = < A > thì tậ p h ạ p A đ ư ợ c gọi là hệ sinh c ủ a n h ó m G N hóm G đ ư ợ c gọi là h ữ u hạn sinh nốu 11Ỏ d ư ợ c sinh bời một t ậ p h ợ p h ữ u hạn.

C hú ý rầng khi tậ p li(rp A chi gồm m ộ t p h ầ n t ử a thì nhóm con < A > chính là nhom con xyclic sinh l)(Vi a đ ã nói tro n g Ví dụ ((2.3), (2)).

/ 0 ề) - / ( 0

H = {«" I lì e Z Ị

A C H .11 < f í

C h ư ơ n g II N h ó m 27

2.6 M ê n h đ ề Cho A là m ộ t tập h ợ p con của m ộ t n h ó m G K h ỉ d ó m ọi

plìHii t ừ cùn n h ó m coil < A > đ ó u có t h ổ vjẳc t (lưới d ụ n g tích cùtì m ộ t d ã y

hữu ìicin (ậỉíc phiìii tứ cùa A u ở đ â y A ~ ' = {./■ G G I J’-Â G A )

Chứng minh Đặt

T = { ữ ị ,.o„ I CLị G (>4 u A * ) Ĩ1 G N }.

Nếu H là m ột nhóm con cùa G c h ứ a A thì ç H Suy ra theo đ ịn h nghĩa

c u a nhóm coil thì T ç H đ iề u này chứng tò T c < A > Vậy đê chứ ng m inh

T = < A > t a chỉ cần chi ra r ằ n g T là một nhóm con m à điều n ày là hiển

sẽ chứng minh < (Is > = H T h ậ t vậy nếu tồn tại m ột p hần t ừ a' G H m à u' ị < u s > t ừ đ à y suy ra r không cilia h ết cho s V ậy phải tồn tạ i liai số

nguyên J \ ỊJ sao cho

2K Giáo trinh đại s ố hiện đại

Ta dễ kiểm t r a t h ấ y R v à R' là n h ữ n g q u a n hệ tư ơ n g d ư ơ n g trẽ n 6 ' Hcrn nữa, có th ể tín h đ ư ợ c lớp t ư ơ n g đ ư ơ n g R ( x ) v à R' { x ) (xem p h ầ n (I (3.4)) của m ột p h ần t ừ X G G :

R ( x ) = {y e G \ y x ~ l e H } — { y I 3h € H : y = h x ) = / Í £

T ư ơng t ự ta cũng n h ậ n đ ư ợ c

R' ( x ) = { y e G I x - 1 y e / / } = {y \ 3h e H : y — x h } = ./://.

Vậy ( Hx) , ẩec; và ( x H ) r <zG cho ta hai p h â n hoạch tậ p h ợ p G.

2.8 Đ i n h n g h ĩ a T ậ p h ợ p H x đ ư ự c gọi là lớp ghép trái c ủ a H tro n g 6 ' và

tậ p hợ p J'H đ ư ợ c gọi là lớp ghép phải c ủ a H trong G M ột p h ầ n t ử trong

m ột lớp ghép đ ư ợ c gọi là m ộ t đại diện cù a lớp ghép đó.

2.9 Đ i n h lý L a g r a n g e Cho H là m ộ t n h ó m con của m ộ t nhóm hữu hạn

G K hi đó s ố các lớp ghép trái cùa H troĩig G và s ố các lớp ghép phải cùa H trong G là bằng n h a u , s ố n à y đ ư ợ c gọi là chi s ố của n h ó m con H trong G và

ký hiệu là G : H H ơ n n ữ a ta có

I G 1=1 H I ( ơ : H ).

Chúng minh Clio X là m ộ t p h ầ n t ử tù y ý c ủ a G Xét á n h x ạ / : H — • H.r xác đ ịn h hởi / ( / ỉ ) = /?.c.v/í € H Rỏ ràng f là m ộ t to à n ánh f cũng là một

đ ơ n ánh vì t ừ h.v — h'X suy r a h = Ìì' V ậy f là m ộ t song án h giữa hai tặp

h ạ p H và H.r H oàn to à n tư ư n g t ự t a cũng xác đ ịn h đ ư ợ c một song ánh

g : H — » x H m à g( h) = x h T ừ đ â y ta suy ra t ấ t cả các lớp ghép trá i (hoặc phải) của H tro n g G đ ề u có c ùng lực lư ợ n g với H M ặ t khác, các lớp ghép trái (hoặc phải) lập t h à n h một p h â n hoạch trê n nhóm h ữ u h ạ n G Iién

*

Định lý Lagrange cho p h é p ngay lập tứ c r ú t ra nhiều hệ q u ả th ú vị dưới

đ â y chúng ta sẽ liệt kê m ột số hệ q u ả m à chứ ng m inh c ủ a chúng là n h ữ n g bài

tậ p dễ d à n h cho đọc giả

2 1 0 H ê q u ả C ấ p của m ỗ i p h ầ n tử trong m ộ t n h ó m h ữ u hạn là ư ớc cùa cấp cùa nlìóni dó.

2 1 1 H ê q u ả Cho G là m ộ t n h ó m h ữ u hạn cấp n và a là m ộ t phần từ cùa

G K h i đó a n — e.

2 1 2 H ê q u à Mọi n h ó m h ữ u hạn có cấp là m ộ t số nguyên tố là xyclic.

2 1 3 H ê q u à Cho a lù m ộ t số t ụ nhiên khô n g chia hốt cho m ộ t số nguyên

tố p K h i đó ap~ l = l ( m o d p).

§3ể N h ó m co n c h u ẩ n t ắ c

3 Ề1 Đ i n h n g h ĩ a M ột n h ó m coil H của m ột nhóm G chrợc gọi là nhóm con chuãn tắc của G n ếu các lớp ghép trái của H trong G trù n g với các lớp ghép phái tư ơ n g ứ ng của H tro n g G tứ c

H x — x H v ỉ ' € G.

Trong nhiều tài liệu n h ó m con chuẩn tắ c còn đ ư ợ c gọi là ư ớ c chu ẩ n tắc Khi H là một nh ó m con c h u ẩn tắ c của G th ì t ậ p hợ p các lớp ghép trá i

c ủ a H trù n g với tậ p h ợ p các lớp ghép phải của H trong G Vì vậy t ừ nay

về sau khi nói đ ế n lớp ghép của m ột nhóm C011 chuẩn tắ c t a không cần p h â n biệt lớp ghép tr á i hay lớp ghép phái nữa

Đè chi H là m ộ t n h ó m COI1 chuẩn tắ c c ủ a G người t a viết là H < G 3.2 V í d u 1) B ả n th ả n n h ó m G và nhóm con gồm chi m ột p h ầ n t ử đ ơ n vị {e} luôn là n h ữ n g nlióni con c h u ẩn tắ c của G.

2) N ếu G là m ột n h ó m Abel thì mọi nhóm COI1 của 11Ó luôn là n h ó m con

chuẩn tắc

3) N hóm t h a y p h iê n A n c ấ p n tro n g Ví dụ (2.3 (1)) là m ột n h ó m con

ch u ẩn tắ c của n h ó m đ ối x ứ n g s„ vì S n : A n — 2 (xem bài t ậ p 13).

3 3 M ê n h đ ề M ột rth óm con H là nhóm con chìiàn tắc cùa m ộ t nhóm Ç khi và chì khi x ~ l h x E H. v r G G. v /î G H.

Chứng m inh ( = > ) : \ ì H là nh ó m coil c h u ẩn tắ c của G liên với X £ G h £ H cho trư ớ c, luôn tồn tạ i h' G H sao cho /ỉ.r = x h ' T ừ đ à y suy ra x ~ l h x = r-K rh ' = h' € H.

( < = ) : Giả sử H là m ột nhỏm con và x ~ l h x G H v.r G G v/ỉ G H Ta SUV

ra h x G x H V/? G H tứ c H r ç x H T ư ơ n g tự t ừ (.r- 1) - 1/ỉ.r_1 e H v.r G

G v/ỉ € H suy ra x H Ç H x Vậy H x = x H v.r e G tứ c H là nh ó m con

:«) ( j KK) /l i nh <lạt sô hiện đạt

Hai hệ q uà hay đ ư ợ c sư d ụ n g sau đ â y đ ư ợ c suy ra m ột cách tầ m th ư ờ n g

từ Mệnh đồ (3.3)

3.4 Ỗ H ê q u ả Cho K là m ộ t n h ó m con cùn H vù H là m ộ t n h ó m con cún

m ộ t nìióni G CÌIO t r ư ớ c G i à s ù 1'àng K là n h ó m COI1 chi i àn t ắ c CIÌH ( ì K hi (ĩó K c ũ n g lù n h ó m con cliUcìn t ẩ ( Ể cùa H.

3.5 H ê q u ả (ỈÌCÌO cùa m ộ t họ các n h ó m cun chuãn tắc của m ộ t n h ó m G ỉà nhóm cun chuẩn tắc của G.

Nhắc lại rằ n g n ếu A và D là hai t ậ p hợ p con c ủ a m ộ t nhóm G th ì tập hợp tích A B đ ư ợ c xác đ ịn h n h ư sau:

A D = {ub \ a e A b e B) 3.6 M ê n h đ ề Cho H là m ộ t n h ó m con chuàn tắc của m ộ t n h ó m G Khi cỉó ta có

(H, r) (HỊ j ) — H x y v.r y € G.

Chứng minh G ià sử ob G ( H x ) ( H y ) tứ c u G H.r và I) £ Hụ Tồn tại h g £ H sao cho CI — li.T và I) — gụ T ừ đ á y suy ra

ab = h.rgy = h ( x g x ~ l )xy.

Vì H là nlióm con c h u ẩn tắ c c ủ a G liên x g x ~ ] G H Điều này chứng tỏ

ab £ H x y N gược lại nếu h x y là m ột J)liần tir tù y ý c ú a lớ]) ghép HXỊJ thì rõ ràng h x y = (h.iể)(ey) E ( H v) ( Hu) V ậy ( H x ) ( H y ) = H x y Vx y <E G □ Mệnh đề (3.6) cho ta t h ấ y r ằ n g trên t ậ p h ợ p t ấ t cả các lớp ghép cua một

nhóm con chuẩn tắ c H tro n g m ộ t nhỏm n h â n G có th ê x ây d ự n g đ ư ợ c một

phép to á n nhai) đối với t ậ p h ợ p này H ơn n ữ a ta có đ ịn h lý sau

Đồng c ấu f đ ư ợ c gọi là đơn cấu hoặc toàn cấu n ếu f là m ộ t đ ơ n ánh

hoặc to à n ánh T rư ờ n g h ợ p / là m ột song án h thì khi đó ta nói đồng cấ u /

là một đẳng cấu hay nh ó m G là đ ẳ n g c ấu với nhóm H và ký hiệu là G = tì Một dồng c ấu t ừ nh ó m G vào chính nhóm dó thì đ ư ợ c gọi là m ột t ự đòng cấli.

4 2 V í d u 1) C ho G là m ột nhóm và N là một nhóm con chua 11 tắ c cua 'G

Khi đó á n h xạ

p : G — * G / X xác đ ịn h bơi p(.r) = .v.r Y.r G G

là một đồng cấu t ừ G vào nhỏm th ư ơ n g G ị.'S Dễ th ấ y p là một to à n t ấ u Toàn cấu này đirực gọi là to à n cấ u chính tắc.

2) Với mỗi p h ầ n t ử a của m ột nhóm G t a xây d ự n g m ột á n h xạ

fa : G — - G f ( x ) = a ~ l ra v.r £ G.

Dễ kiểm tra t h ấ y r ằ n g fa là một đồng cấu nlióni N ếu a ~ 1j'a = a ~ ì v'a ta suy ra theo luật giàn ưức l ằ n g .r = .r' tứ c fa là một đ ơ n cấu H ơn n ữ a với

y e G tù y ý ta có / ( a y a - 1 ) — a ~ l ( a y a ~ l )a = y tứ c f n còn là một to à n cấu Vậ>- /„ là một t ự đ ằ n g cấu đ ư ợ c gọi là tự đẳng cấu trong cùa nh ó m G sinh