ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ GIẢI TÍCH 1

Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn −3, 4 có đồ thị được ghép từ nửa đường tròn và 2 đoạn thẳng như hình vẽ. Đặt hàm g(x) = Zx 1 f(t)dt. 1. Tính g(1), g(−1), g(3) 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm g(x) trên đoạn −3; 4 Câu 3 (1.0 điểm) Một khu nghỉ dưỡng ven biển vào mùa hè có lượng khách tăng với tốc độ được cho bởi hàm y(t) = 10e 0.04√ t (ngườingày) vào ngày thứ t kể từ ngày 15 tháng 5. Ước lượng số khách tới khu nghỉ dưỡng trong cả mùa cao điểm từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 thángCho hàm f(x) liên tục trên đoạn −3, 4 có đồ thị được ghép từ nửa đường tròn và 2 đoạn thẳng như hình vẽ. Đặt hàm g(x) = Zx 1 f(t)dt. 1. Tính g(1), g(−1), g(3) 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm g(x) trên đoạn −3; 4 Câu 3 (1.0 điểm) Một khu nghỉ dưỡng ven biển vào mùa hè có lượng khách tăng với tốc độ được cho bởi hàm y(t) = 10e 0.04√ t (ngườingày) vào ngày thứ t kể từ ngày 15 tháng 5. Ước lượng số khách tới khu nghỉ dưỡng trong cả mùa cao điểm từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 thángCho hàm f(x) liên tục trên đoạn −3, 4 có đồ thị được ghép từ nửa đường tròn và 2 đoạn thẳng như hình vẽ. Đặt hàm g(x) = Zx 1 f(t)dt. 1. Tính g(1), g(−1), g(3) 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm g(x) trên đoạn −3; 4 Câu 3 (1.0 điểm) Một khu nghỉ dưỡng ven biển vào mùa hè có lượng khách tăng với tốc độ được cho bởi hàm y(t) = 10e 0.04√ t (ngườingày) vào ngày thứ t kể từ ngày 15 tháng 5. Ước lượng số khách tới khu nghỉ dưỡng trong cả mùa cao điểm từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 thángCho hàm f(x) liên tục trên đoạn −3, 4 có đồ thị được ghép từ nửa đường tròn và 2 đoạn thẳng như hình vẽ. Đặt hàm g(x) = Zx 1 f(t)dt. 1. Tính g(1), g(−1), g(3) 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm g(x) trên đoạn −3; 4 Câu 3 (1.0 điểm) Một khu nghỉ dưỡng ven biển vào mùa hè có lượng khách tăng với tốc độ được cho bởi hàm y(t) = 10e 0.04√ t (ngườingày) vào ngày thứ t kể từ ngày 15 tháng 5. Ước lượng số khách tới khu nghỉ dưỡng trong cả mùa cao điểm từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 tháng

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM

Khoa Khoa học ứng dụng-BM Toán ứng dụng

ĐỀ MINH HỌA (Đề gồm có 20 câu/4 trang)

ĐỀ THI CUỐI KỲ HK201 Môn: Giải tích 1 Ngày thi : 25/01/2020 Mã đề thi 1101

Thời gian: 100 phút, không kể thời gian phát đề

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1. Tính In=

+∞

Z0

xe−nxdx, với mọi số tự nhiên n (không tính số 0)

Câu 4. Khi dùng phương pháp hệ số bất định tìm nghiệm riêng y∗(x) của phương trình vi phân

y00− 12y0− 13y = (2 − x)ex,

ta được hàm số nào dưới đây?

Câu 6. Phần dầu tràn từ một tàu chở dầu loang trên biển có hình dạng bề mặt như hình bên dưới Sử

dụng thông tin của hình, dùng tổng trung tâm (tổng giữa) với khoảng chia 200 feet để ước tínhdiện tích của vệt dầu loang

B. C1+ C2e−3x+ Ax2, với A là hằng số nào đó

C. C1+ C2e3x+ Ax + B, với A, B là các hằng số nào đó

P V ≈

+∞

Z0

P (t)e−rtdt

Ước tính khoản tiền đầu tư này nếu lãi suất r = 5%/năm

A. 12 tỷ đồng B. 8 tỷ đồng C. 10 tỷ đồng D. 6 tỷ đồng

Trang 2/4- Mã đề thi 1101

Câu 10. Tốc độ thay đổi nồng độ một loại kháng sinh trong máu sau t giờ kể từ lúc tiêm tỷ lệ thuận với

nồng độ kháng sinh Gọi C(t) là nồng độ kháng sinh trong máu sau t giờ Với k là một hằng số

dương nào đó, phương trình vi phân nào sau đây mô tả sự thay đổi nồng độ trong máu của loại

kháng sinh này?

A. C0(t) = kC(t) B. C0(t) = −kC(t) C. C0(t) = k

0(t) = −kt

Câu 11. Cho đường cong y = √

x, 0 ≤ x ≤ 1 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo ra khi đường cong nàyquay quanh trục Ox

Câu 14. Khi chất thải hữu cơ được đổ và một hồ nước, quá trình oxy hóa diễn ra làm giảm lượng oxy

trong nước Lượng oxy trong hồ sẽ được khôi phục theo thời gian Sau t ngày, kể từ ngày chấtthải hữu cơ đổ vào hồ, phần trăm lượng oxy trong hồ so với mức chuẩn ước tính theo công thức

f (t) = 100t

2+ 10t + 100

t2+ 20t + 100.Tính phần trăm oxy trung bình trong hồ nước trong 10 ngày đầu tiên kể từ khi chất thải hữu cơ

đổ vào

Câu 15. Tính I =

1Z0

−2[f (x) − g(x)] dx

Trang 3/4- Mã đề thi 1101

Câu 17. Tìm một hàm số f (x) liên tục trên [−2, 1] biết

xZ

Câu 18. Một thanh kim loại mỏng, không đồng chất dài 2 mét được đặt dọc theo chiều dương trục Ox

bắt đầu từ gốc tọa độ Nếu mật độ phân bố vật chất trên thanh tại vị trí x của dây là ρ(x)gam/centimet (g/cm), khối lượng của thanh kim loại (gam) có thể được tính bằng công thức nàodưới đây?

200Z0ρ(x)dx

Câu 19. Công thức nào sau đây dùng để tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi các đường cong

PHẦN II: PHẦN TRẢ LỜI NGẮN Thời gian: 50 phút

Câu 1: (L.O.1; L.O.2)

Trong câu hỏi này, a = M + 3

5 , với M là chữ số cuối trong mã số sinh viên.

Ví dụ: Nếu MSSV là 2013012 thì a = 1

Cho miền phẳng D giới hạn bởi các đường cong y = ln(ax), y = ax − 1, x = e

(a) Xác định hoành độ giao điểm giữa các đường y = x − 1 và y = ln x

(c) Tính diện tích bề mặt tạo ra khi biên của miền D quay xung quanh trục Ox

Yêu cầu viết công thức tính và kết quả

Câu 3: (L.O.1; L.O.2)

Để đo cung lượng tim (lượng máu được tim bơm đi trong một đơn vị thời gian) bằng chỉthị màu, bệnh nhân sẽ được tiêm một lượng chất chỉ thị màu vào các ven Theo vòng tuầnhoàn, chất chỉ thị màu sẽ đến động mạch chủ Nếu tiêm 5 mg chất chỉ thị màu, nồng độC(t) của nó trong động mạch chủ một bệnh nhân được mô tả như đồ thị bên dưới

Cung lượng tim ở một bệnh nhân được tính bởi công thức

R = 60 × 528Z2C(t)dt

lít/phút (L/p)

(a) Dùng tổng Riemann trung tâm (tổng giữa) với khoảng chia 4 giây để ước tính giá trịcủa

28Z0C(t)dt (Yêu cầu ghi rõ cách tính)

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM

Khoa Khoa Học Ứng Dụng

ĐỀ THI CUỐI KỲ DỰ THÍNH - HK 192

Môn học: Giải tích 1Ngày: 06/07/2020

Thời gian: 100 phút

(Đề gồm 8 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4 Sinh viên không được sử dụng tài liệu.)

Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham sốsau đây

a Tìm tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính r tại vùng cách trung tâm thành phố 5 km

và hãy tìm bán kính r sao cho tại đó tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính đạt lớn nhất

b Biết rằng ở thành phố này càng ở cách xa trung tâm thành phố, mật độ dân số càng thấp

và mật độ dân số thấp nhất là 1000 người/km2 Hãy tìm bán kính của thành phố và tìm số dâncủa thành phố sống ngoài vùng bán kính 5 km (kể từ trung tâm thành phố) nếu giả sử như thànhphố A có dạng hình tròn

Câu 4 (1.0 điểm) Tính diện tích của miền phẳng D giới hạn bởi các đường sau

D : y = ex, y = 1, x + y = e2+ 2

Câu 5 (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân

∞Z1

ln x2+ 3

x2+ 1

dx

1

Câu 6 (1.0 điểm) Một chiếc xe máy ở thời điểm t đang ở vị trí A (như hình vẽ) cách B mộtkhoảng AB = x m Một người cảnh sát đang đứng ở vị trí C (như hình vẽ) cách B một khoảng

BC = 30 m Góc tạo bởi vectơ CB và vectơ CA nối vị trí của người cảnh sát và xe máy là α Biếtrằng tại thời điểm này xe máy đang chạy theo hướng của vectơ BA vuông góc với BC Để tìmvận tốc của xe máy, người cảnh sát đo sự thay đổi của góc α Tìm vận tốc của xe máy tại thờiđiểm góc α đang thay đổi với vận tốc 0.5 rad/s và α = π

6 Hãy đổi vận tốc này sang đơn vị km/h.

Câu 7 (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1 mg/lít Mộtthùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhà máy nàycung cấp Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5 lít nước do nhà máy nước cung cấp và 4lít nước không chứa Flo Nước sau khi được khuấy đều sẽ thoát ra ngoài với tốc độ 7 lít nước mỗiphút

a Viết phương trình vi phân biểu diễn sự thay đổi của khối lượng Flo trong thùng

b Giải phương trình để tìm lượng Flo (mg) ở trong thùng theo thời gian t (phút)

c Hỏi bao lâu sau thì thùng đầy và khi thùng đầy thì nồng độ Flo trong thùng bằng bao nhiêumg/lít?

Câu 8 (1.5 điểm) Giải hệ phương trình vi phân sau đây bằng phương pháp khử

ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ DỰ THÍNH GIẢI TÍCH 1Câu 1: (1.0 điểm) Ta có

Vậy đường cong có 1 tiệm cận đứng x = 7 (0.5 điểm)

Câu 2 (1.0 điểm) Nồng độ thuốc trung bình trong máu của bệnh nhân từ t = 5 giờ tới

t = 10 giờ kể từ khi tiêm thuốc:

¯

10 − 5

10Z5

3t(t2+ 36)3dt (0.75 điểm) = 0.0254 (mg/cm

ue−0.01u2du ≈ 419.843 (ngàn người) (0.5 điểm)Câu 4 (1.0 điểm) Diện tích của miền phẳng D

SD =

e 2

Z0(e2+ 2 − y − ln y)dy (0.75 điểm) ≈ 34.69 (đvdt) (0.25 điểm)

3

Câu 5 (1.0 điểm) Ta có khi x → ∞:

x0(t0) = 30(1 + tan2ϕ).ϕ0(t0) = 30(1 + 1

3)0.5 = 20 (m/s) = 72 (km/h) (0.75 điểm)Câu 7 (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1 mg/lít Mộtthùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhà máy nàycung cấp Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5 lít nước do nhà máy nước cung cấp và 4lít nước không chứa Flo Nước sau khi được khuấy đều sẽ thoát ra ngoài với tốc độ 7 lít nước mỗiphút

Gọi y(t) là lượng Flo có trong thùng tại thời điểm t phút

9(700 + 2t)9 + C= 10t+35009 + C.(700 + 2t)−7 (0.25)Tại t = 0, y(0) = 700, vậy C = 3500

√

700 7

9 KL: y = (700 + 2t)−72

5

c Thùng đầy nước: 1000 = 700 + 2t ⇒ t = 150 (phút)

Nồng độ Flo trong thùng tại t = 150: y = 644.84(0.25)

Câu 8 (1.5 điểm) Dùng phương pháp khử ta thu được

y = C1e−3t+ C2e−t− 2

3t2+ 349t − 8827 (0.25)Thay vào thu được x (0.25)

4

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 8 câuSinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số

lại trong máu của bệnh nhân được cho bởi công thức

a Tìm tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính r tại vùng cách trung tâm thànhphố 5 km và hãy tìm bán kính r sao cho tại đó tốc độ thay đổi của dân số theobán kính đạt lớn nhất

b Biết rằng ở thành phố càng ở cách xa trung tâm thành phố, mật độ dân số càngthấp và mật độ dân số thấp nhất là 1000 người/km2 Hãy tìm bán kính củathành phố và tìm số dân của thành phố sống ngoài vùng bán kính 5 km (kể từtrung tâm thành phố) nếu giả sử như thành phố A có dạng hình tròn

Câu 4: (1.0 điểm) Tính diện tích của miền phẳng D giới hạn bởi các đường sau

D : y = ex, y = 1, x + y = e2+ 2

Câu 5: (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân

∞Z1

ln x2 + 3

x2 + 1

dx

GIẢI TÍCH HCMUT

Câu 6: (1.0 điểm) Một chiếc xe máy ở thời điểm t đang ở vị trí A (như hình vẽ) cách B

một khoảng AB = x m Một người cảnh sát đang đứng ở vị trí C (như hình vẽ) cách

B một khoảng BC = 30 m Góc tạo bởi vectơ CB và vectơ CA nối vị trí của ngườicảnh sát và xe máy là α Biết rằng tại thời điểm này xe máy đang chạy theo hướngcủa vectơ BA vuông góc với BC Để tìm vận tốc của xe máy, người cảnh sát đo sựthay đổi của góc α Tìm vận tốc của xe máy tại thời điểm góc α đang thay đổi vớivận tốc 0.5 rad/s và α = π

6 Hãy đổi vận tốc này sang đơn vị km/h.

Câu 7: (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1 mg/lít Một

thùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhàmáy này cung cấp Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5 lít nước do nhàmáy nước cung cấp và 4 lít nước không chứ Flo Nước sau khi được khuấy đều sẽthoát ra ngoài với tốc độ 7 lít nước mỗi phút

a Viết phương trình vi phân biểu diễn sự thay đổi của khối lượng Flo trong thùng

b Giải phương trình để tìm lượng Flo (mg) ở trong thùng theo thời gian t (phút)

c Hỏi bao lâu sau thì thùng đầy và khi thùng đầy thì nồng độ Flo trong thùngbằng bao nhiêu mg/lít?

Câu 8: (1.5 điểm) Giải hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp khử

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng Dụng

ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1

Ngày thi: 06/01/2020Thời gian: 100 phút

Ca thi : CA 3Hình thức thi tự luận: Đề gồm 09 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số

Hai chất điểm bắt đầu chuyển động tới luitrên một đường thẳng tại thời điểm t = 0,với hàm vận tốc v1(t) và v2(t) có đồ thị nhưhình bên Hàm vị trí của hai chất điểm (sovới gốc tọa độ) là s1(t) và s2(t) Giả sử tạithời điểm t = 0 : s1(0) = −0.3 và s2(0) =1.3 Hãy cho biết khoảng cách giữa hai chấtđiểm ở thời điểm t = 8 (bỏ qua các đơn vịtính)

Câu 3 (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

+∞

Z1

Câu 5 (1.0 điểm) Giải phương trình vi phân y0 = x(x

2+ y2)2y với điều kiện y(1) = 1.

Câu 6 (1.0 điểm) Tính giá trị của tích phân I =

3Z0

rx

3 − xdxCâu 7 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử:

(

x0(t) = x − y

y0(t) = −x + 2y − 3t

Câu 8: (2.0 điểm)

Một thùng chứa hình nón cụt có chiều cao 1 mét, đườngkính đáy lớn là 1 mét, đường kính đáy nhỏ là 0.5 mét nhưhình vẽ Ban đầu, thùng không chứa gì và người ta bắt đầucho nước chảy vào thùng với vận tốc 0.25m3/ giây

1 Gọi V (t) là thể tích và h(t) là độ cao của nước trongthùng sau t giây Tìm mối liên hệ giữa V (t) và h(t)

2 Tính tốc độ thay đổi độ cao của mực nước trongthùng tại thời điểm độ cao của mực nước là 0.5 mét

Câu 9 (1.0 điểm) Số lượng muỗi trong một khu vực gia tăng theo mô hình tăng trưởng

Gompertz Theo mô hình này, nếu ta gọi P (t) là số lượng muỗi ở thời điểm t (tính theo tuần)thì tốc độ thay đổi của P luôn tỉ lệ với hàm

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng Dụng

ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1

Ngày thi: 06/01/2020Thời gian: 100 phút

Ca thi : CA 2Hình thức thi tự luận: Đề gồm 09 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số

2+ et−2

t2− 2tCâu 2: (1.0 điểm) Một cái chảo có hình dạng là 1 phần mặt cầu, với kích thước mặt ngoài nhưhình vẽ và có độ dày 1.5mm Người ta phủ thêm lớp chống dính phía trong chảo có độ dày0.2mm Tính thể tích lớp chống dính theo cm3

Câu 3: (1.0 điểm) Khi bơm nước vào một bể chứa , thể tích nước trong bể thay đổi theo thờigian t (tính bằng phút) như công thức dưới đây

V (t) = πt

tR0

Câu 5: (1.5 điểm) Giải phương trình vi phân: y00− 2y0+ 2y = (2x − 3) cos(2x) + 3 sin(2x)

Câu 6: (1.5 điểm) Dân số thành phố A tính từ đầu năm 2009 là một hàm số P (t), đơn vị triệungười, trong đó t tính bằng năm Biết rằng tốc độ gia tăng dân số phụ thuộc vào tốc độ tăng tựnhiên là k%/năm và số dân thay đổi do nhập cư và di cư là I ngàn người mỗi năm Giả sử dân

số thành phố A vào đầu năm 2009 là P0 (triệu người)

1 Tính P (t) theo P0, k và t

2 Đầu năm 2009, thành phố Hồ Chí Minh có 7.1 (triệu người), tốc độ gia tăng dân số tựnhiên là 1.1%/năm, số dân tăng do nhập cư và di cư là 126 ngàn người mỗi năm Áp dụng

mô hình trên để ước tính dân số thành phố vào đầu năm 2021

Câu 7: (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

+∞

R3

xα

√

x + e−x+ 12x2− x + 1 dxCâu 8: (1.0 điểm) Một lon nước ngọt có nhiệt độ 28◦C được đặt vào ngăn mát tủ lạnh ở nhiệt

độ 8◦C Sau 15 phút, nhiệt độ của lon nước giảm còn 18◦C Theo định luật về sự thay đổi nhiệtcủa Newton, nhiệt độ của lon nước ngọt thay đổi theo thời gian t (tính bằng phút)thỏa:

T (t) = 20e−0.05t+ 8, t ≥ 0

Tìm nhiệt độ trung bình của lon nước ngọt từ phút thứ 5 đến phút thứ 8

Câu 9: (1.0 điểm) Tính diện tích miền giới hạn bởi phần đường cong y2 = x

ĐÁP ÁN CA 2Câu 1: Tiệm cận đứng : x = 1 (khi t → +∞), x = 0 (khi t → 0) (0.25Đ+0.25Đ).

Tiệm cận xiên phải: Y = 5

−9.85(9.852− y2) dy −

−4R

−9.83(9.832− y2) dy



≈ 7.22 (0.75Đ + 0.25Đ)(b) V = 0.02 × 2π

−4R

−9.85p9.852− y2

s

29.852− y2dy

≈ 7.24 (0.75Đ + 0.25Đ)Câu 3: V0(t) = π

tR0

0

3 = (2u + 1)

2− 1 (0.5Đ)12u + 11 = Ce−12x (0.25Đ)

12(x − 3y) + 11 = 23e−12(x+2) (0.25Đ)

Câu 5: y0 = ex(C1cos x + C2sin x) (0.5Đ)

yr = (Ax + B) cos(2x) + (Cx + D) sin(2x) (0.5Đ)

y = ex(C1cos x + C2sin x) − 1

5



x − 2310

cos(2x) −1

5

2x −1110

sin(2x) (0.5Đ)Câu 6: 1/ P0(t) = 10−2kP + 10−3I (triệu người/năm) (0.5Đ)

P (t) =



P0+ I10k



e10−2kt− I

10k (0.5Đ)2/ P (12) ≈ 9.72 (triệu người) (0.5Đ)

Nếu Câu a viết phương trình dạng P0(t) = kP + I nhưng xuống dưới tínhđúng vẫn cho trọn điểm

Câu 7: 0 < f (x) ∼ 1

2x3/2−α (0.5Đ),

α < 1

2 (0.5Đ)Câu 8: Ttb = 1

3

8R5

T (t)dt (0.5Đ) = 22.46◦C (0.5Đ)

Câu 9: S = 2

1R0

x

√

1 − xdx (0.5Đ)Đặt √

1 − x = t, S = 4

1R(1 − t2)dt (0.25Đ) = 8

3 (0.25Đ)

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng Dụng

ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1

Ngày thi: 06/01/2020Thời gian: 100 phút

Ca thi : CA 1Hình thức thi tự luận: Đề gồm 9 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số:

xZ1

f (t)dt

1 Tính g(1), g(−1), g(3)

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm g(x) trên đoạn [−3; 4]

Câu 3 (1.0 điểm) Một khu nghỉ dưỡng ven biển vào mùa hè có lượng khách tăng với tốc độđược cho bởi hàm y(t) = 10e0.04√t (người/ngày) vào ngày thứ t kể từ ngày 15 tháng 5 Ước lượng

số khách tới khu nghỉ dưỡng trong cả mùa cao điểm từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 tháng 8.Câu 4 (1.0 điểm)

Phần thân của một ly rượu vang có dạng một mặt trònxoay thu được khi quay đường cong y = x

2

2 quanh trục

Oy (đơn vị tính của x, y là cm) Người ta để một trái anhđào hình cầu đường kính 2cm vào ly như hình vẽ Sau đórót rượu vang vào ly từ từ cho đến khi rượu vang vừangập trái anh đào thì ngưng (giả sử rằng trái anh đàoluôn chạm đáy ly như hình vẽ) Tính thể tích rượu vang cótrong ly

Câu 5 (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

π/4Z0

dx(1 − tan x)√3

1 − cos xdx

1

r = 2.

Câu 9 (1.5 điểm) Trong thùng thể tích 1000 lít có chứa 800 lít nước đã hòa tan 2kg muối.Người ta cho nước muối có chứa 0.03 kg muối/1 lít nước vào thùng với vận tốc 12 lít/phút,khuấy đều liên tục và cho nước chảy ra với tốc độ 8 lít/phút Gọi y(t) là lượng muối (kg) trongthùng sau t phút

a Thành lập phương trình vi phân với điều kiện đầu theo dữ liệu đề bài

b Tìm nghiệm của phương trình ở câu a

c Tìm lượng muối trong thùng khi nước đầy thùng

Giảng viên phụ trách ra đề

TS.Phùng Trọng Thực

CN Bộ môn duyệt

TS.Nguyễn Tiến Dũng

ĐÁP ÁN CA 1

Câu 1: x = −1, y = 5 (0.5đ), y = 1.5x + 1 (0.5đ)

Chỉ đúng 1 TCN hoặc TCĐ: 0.25đ Chỉ có TCX y=1.5x (thiếu b=1): 0.25đ

Câu 2: 1.g(1) = 0, g(−1) = −π, g(3) = −1 (0.5đ) 2.gmin = −2π, gmax = 0 (0.5đ)

Chỉ đúng 2 trong 3 giá trị của hàm g ở câu 1: 0.25đ

Chỉ đúng 1 trong 2 giá trị cực trị của g ở câu 2 kèm BBT đúng: 0.25đ

p2y

Câu 5: f (x) = √3 1

1 − cos x(1 − tan x), I =

π/8Z0

f (x)dx +

π/4Zπ/8

f (x)dx

Khi x → 0+: f ∼

3

√2

x2/3 nên TP HT (0.5đ)Khi x → π

x = C1e9t+ C2e2t−4

7te2t (0.5đ), chỉ đúng NTQ, sai NR thì chỉ cho 0.25

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câuSinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1 (1.5đ): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 5x

2

√

x2− 1.Câu 2 (2đ): Cho miền phẳng D : 0 ≤ y ≤ x, x ≤ 2 − y2 Tính thể tích vật thể được tạo ra khiquay D xung quanh trục Ox và thể tích vật thể tạo ra khi quay xung quanh trục Oy

Câu 3 (1.5đ): Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ

I =

Z 1 0

x3 +√

x

x2+ arctan xαdxCâu 4 (1.5đ): Tính tích phân

I =

Z ∞ 0

2x + 3

x3+ 2x2+ 3x + 2dxCâu 5 (2đ): Giải hệ phương trình vi phân

(

x0(t) = 7x(t) + 3y(t) + et

y0(t) = 3x(t) − y(t) + sin(t)

Câu 6 (1.5đ): Trong một thành phố, một mô hình lan truyền tin đồn được mô tả như sau: Tốc

độ lan truyền của tin đồn tỉ lệ thuận với tích của phần trăm số người đã nghe tin đồn và phầntrăm số người chưa nghe tin đồn

a) Gọi y(t) là phần trăm số người đã nghe tin đồn trong thành phố Chứng minh y0(t) = ky(100 −y)

b) Giải phương trình vi phân tìm y theo thời gian t

c) Trong thành phố có 1000 cư dân Tại thời điểm t = 0 có 50 người đã nghe tin đồn Tại t = 3 giờ

có nửa số dân đã nghe tin đồn Tìm thời điểm t mà 95% số người đã nghe tin đồn

1 t

−2 t

3 I = 0.03t3(t − 7)4+ 60.2, 0 ≤ t ≤ 7

I0 = 0.09t2(t − 7)4+ 0.12t3(t − 7)3

I0 = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 3 ∨ t = 7

I(0) = I(7) = 60.2; I(3) = 267.56

Vậy thời điểm có mức thải N O2 cao nhất: t = 3: 10h, Imax = 267.56, thấp nhất: 7h và14h, Imin = 60.2

2 ĐỀ 2

Thay vào pt (3), ta có: C = 2

7 Vậy y = C1e−2t+ C2e8t+ 2

7et.Thay vào (2), ta có: x = 4

√(3−x)dxhội tụ, ta có I2hội tụ (t/c ss 2) Vậy I hội tụ

Vậy hàm số không có tiệm cận

2 Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại thời điểm tc sao cho số tiền thu được trungbình trong 6 tháng là: S(tc) = 1

√ 4t 2 +25dt = 250

Ta có: √750tc

4t 2 +25 = 250 ⇒ tc=√

5 ≈ 2.236tháng

2 ĐỀ 2

3 I = 2Rd

a f (x)dx + [−3x22 + 7x]

d a

Vậy doanh thu đạt lớn nhất với x =√10ngàn sản phẩm, hay xấp xỉ 3162 sản phẩm

5 Diện tích phần mặt cầu đã cho là diện tích mặt tròn xoay khi quay đường cong: y =√

25 − x2, 3 ≤ x ≤ 4xung quanh trục Ox Ta có:

xα

x2− x + 1 ∼ x

α−2,2

x3dxlà tích phân hội tụ

Kết luận: Để diện tích hữu hạn thì α < 1

9 Gọi lượng CO2(m3)tại thời điểm t phút là y

Ta có: y(0) = 0.12% × 10800 = 12.96 (m3)

Tốc độ đưa CO2vào phòng: y0vào = 200 × 0.04% = 0.08 (m3/phút)

Tốc độ đưa CO2ra khỏi phòng: y0

ra = 200 × 10800y = 54y (m3/phút)

3

Sau 10 phút, ta có phần trăm CO2còn lại: 10800y(10) ≈ 0.1065%.

10 Chia đoạn [0, 8] thành 8 phần bằng nhau với độ dài mỗi đoạn ∆t = 1

Trong mỗi đoạn, ta chọn điểm biên trái để xấp xỉ hàm vận tốc

Ta có quãng đường xấp xỉ mà vật đi được là:

s ≈ ∆t (|v(0)| + |v(1)| + + |v(7)|)

= 4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 0 + 2 + 3 = 20