ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ GIẢI TÍCH 1

Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −

Trang 1

Tr˜Ìng Đ§i HÂc Bách Khoa Tp.HCM

Khoa Khoa hÂc ˘ng dˆng

BÎ môn: Toán ˘ng dˆng

ĐÁP ÁN MÔN THI GIÉI TÍCH 1

Môn thi: Gi£i Tích 1-MT1003

Ngày thi: 06 tháng 01 n´m 2020 ThÌi gian thi: 100 phút.

Không dùng tài liªu

do đó ta không có tiªm c™n trong tr˜Ìng hÒp này.có tiªm c™n trong

tr˜Ìng hÒp nàycó tiªm c™n trong tr˜Ìng hÒp này.

Trang 2

Hàm h2(t) =t2−24t +144 gi£m trên đo§n [3,12], do đó h2(t) ≤ 81 trên đo§n

Ghi chú: có th∫ gi£i bài toán theo cách gi£i cıa ph˜Ïng trình

Trang 3

GÂi V (t) là th∫ tích n˜Óc trong thùng t§i thÌi đi∫m t (giây) Khi

đó đÎ cao h (t) cıa m¸c n˜Óc quan hª vÓi V (t) bi (dùng công th˘c th∫

Trang 4

V™y sË l˜Òng muÈi sau 5 tu¶n là

P (5) = 2000e−e −5C−D ≈ 1347 con.

Trang 5

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 10 câu.

Sinh viên không được sử dụng tài liệu.

NỘI DUNG ÔN TẬP

1 Khảo sát hàm số y = f (x) và đường cong tham số x = x(t), y = y(t).(Chỉ xét tiệm cận và cực trị.)

2 Vận dụng định nghĩa, ý nghĩa của tích phân xác định trong bài toán thực tế.

3 Vận dụng định lý giá trị trung bình, định lý cơ bản của vi tích phân, công thức Newton-Leibnitz trong bài toán cụ thể.

4 Khảo sát và tính tích phân suy rộng (không cho tích phân hỗn hợp).

5 ứng dụng hình học của tpxđ (4 loại).

6 Ứng dụng thực tế và ptvp cấp 1 (nội dung như trong file Nội dung họp ngày 03/08 đã gửi đến Thầy Cô vào đầu học kỳ).

7 Ptvp cấp 2 tuyến tính hệ số hằng và hệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (không có bài toán thực tế).

Trang 6

t + 1

f (1) = −2, xác định các giá trị f (2), f (3), f (4) và phác họa lại đồ thị của f (x), 1 ≤ x ≤ 4, chỉ rõ vị trí của các điểm cực trị.

vào một ngày tháng 5 được cho bởi mô hình

I(t) = 0.03t3(t − 7)4 + 60.2, 0 ≤ t ≤ 7, trong đó I tính theo chỉ số PSI (1 PSI = 14.7 atm) Xác định thời điểm chỉ số PSI cao nhất và thấp nhất trong khoảng thời gian này Câu 4 : Giải phương trình vi phân

chi phí để sản xuất 500 đơn vị sản phẩm nếu biết phí cố định là 2000USD.

Câu 7 : Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi miền phẳng D giới

hạn bởi đường cong

x2 + 6x + 10 , y = 0, 0 ≤ x < +∞

Trang 7

Câu 8 : Cho y = f (x) có đồ thị như hình vẽ Đặt g(x) =

Câu 9 : Trong một cộng đồng dân cư có n người, khi dịch cúm xuất hiện, tốc

độ lây lan bệnh (tốc độ biến động số người mắc bệnh theo số ngày)

tỷ lệ thuận với số người nhiễm bệnh và số người chưa nhiễm bệnh Giả sử cộng đồng có 2000 người và ban đầu có 1 người nhiễm bệnh, sau 20 ngày, số người mắc bệnh là 15, xác định số người nhiễm bệnh sau 2 tháng.

Câu 10 : Khảo sát sự hội tụ của tích phân

Trang 8

3 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới.

5 Một mặt cầu có bán kính r = 5dm, cắt mặt cầu bởi 2 tấm phẳng song song và cách mặt phẳng đi qua tâm lần lượt theo các khoảng a và b để tạo ra mảnh cầu như hình vẽ.

Biết a = 3dm, b = 4dm Tính diện tích của mảnh cầu này.

Trang 9

6 Giải phương các trình vi phân

y00 + 3y = xe−x

7 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân

xy0 − y(ln y − ln x) + y = 0 thỏa điều kiện y(1) = e.

quạt thông gió làm việc.

10 Một chất điểm chuyển động dọc theo một đường thẳng có vận tốc được môt tả theo đồ thị bên dưới Dùng tổng tích phân ước tính quãng đường chất điểm đi được trong 8 phút đầu tiên (viết rõ cách phân hoạch và cách chọn điểm để tính vận tốc trên từng đoạn chia).

Trang 10

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM

Khoa Khoa học ứng dụng-BM Toán ứng dụng

ĐỀ CHÍNH THỨC(Đề gồm có 18 câu/4 trang)

ĐỀ THI GIỮA KỲ HK192 Môn: Giải tích 2 Ngày thi: 07/06/2020 Giờ thi: CA 1 Mã đề thi 7611

Thời gian làm bài: 100 phút, không kể thời gian phát đề

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1. Tìm nghiệm phương trình 3y” + y0− 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0(0) =5

Trong hình bên dưới, cho biết diện tích S2gấp 3 lần diện tích S1 Tìm

mối liên hệ giữa hoành độ a của điểm A và hoành độ b của điểm B

A Các câu khác đều sai B b = a√3

Câu 5. Thân nhiệt của một bệnh nhân khi bắt đầu uống thuốc hạ sốt là 400C và đang thay đổi với tốc độ t2−2.6t(0 ≤ t ≤ 3)

độ / giờ, trong đó t là số giờ kể từ khi uống thuốc hạ sốt Tìm công thức cho thân nhiệt T (t) (độ C) của bệnh nhânsau t giờ và thân nhiệt của bệnh nhân sau khi uống thuốc 3 giờ

A Các câu khác đều sai B T (t) =t

Câu 6. Từ dữ liệu của một camera giao thông gắn ở một đoạn đường trong giờ cao điểm buổi chiều người ta ước tính rằng

từ 16h30 đến 17h30, mỗi phút có R(t) = 100 1 − 0.0001t2 ô tô đi vào đọan đường này, trong đó t là thời gian(tính bằng phút) kể từ 16h30 (t = 0 ứng với 16h30) Tìm lượng ô tô trung bình mỗi phút đi vào đường này trongnửa giờ đầu tiên của giờ cao điểm

A Các câu khác đều sai B 291 (ô tô mỗi phút) C 97 (ô tô mỗi phút) D 103 (ô tô mỗi phút)

Trang 11

Câu 7. Cho phần đường parabol x = y bị cắt bởi đường thẳng x = 1 quay quanh trục Ox ta được mặt tròn xoay có diệntích được tính bởi

A Sx= π

1Z

0

√

1 + xdx B Sx= 2π

1Z

0

√

1 + 4xdx E Sx= π

1Z

A Các câu khác sai B y = C1excos 2x + C2exsin 2x + A cos x + B sin x

C y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + Ax cos 2x + Bx sin 2x

D y = C1excos 2x + C2exsin 2x + Ax cos x + Bx sin x

E y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + A cos x + B sin x

Câu 9. Khi một ly nước lạnh được lấy ra từ tủ lạnh, nhiệt độ của nó là 50C, đặt trong phòng nhiệt độ coi như không thayđổi là 250C Gọi T (t) là nhiệt độ (độ C) của ly nước sau t phút lấy ra khỏi tủ lạnh, tìm câu trả lời đúng

A T = 25 + 15e−kt B T = 25 − 20e−kt C Các câu khác đều sai D T = 25 + 20e−kt

E T = 25 − 15e−kt

Câu 10. Lượng thuốc được cơ thể hấp thu được tính bằng liều lượng thuốc trừ đi tổng lượng thuốc bài tiết ra khỏi cơ thể R

Nếu tốc độ bài tiết thuốc là r(t) (mg / giờ) thì R =

+∞

R

0r(t)dtTính lượng thuốc được cơ thể hấp thu biết liều lượng thuốc là 200 mg và tốc độ bài tiết thuốc là r(t) = 40e−0.5t(mg / giờ)

0

f (t)dx, 0 ≤ x ≤ 4.2 với f có đồ thị nhưhình vẽ Tìm câu trả lời sai

A Các câu khác đều sai B Hàm g(x) đồng biến trong các khoảng (0; 1), (2; 3), (4; 4.2)

C Hàm g(x) nghịch biến trong các khoảng (1; 2), (3; 4) D Hàm g(x) đạt cực tiểu tại x = 0, x = 2, x = 4

E Hàm g(x) đạt cực đại tại x = 1, x = 3

Câu 12.

Cho bóng đèn nhỏ tại 10 điểm cách đều nhau như hình bên dưới Dùng tổng

Riemann phải để tính xấp xỉ thể tích phần bao bởi thủy tinh của bóng đèn, ta

được:

E Các câu khác đều sai

Câu 13. Cho phương trình y” + 4y = 2xe2x, dạng nghiệm riêng của phương trình khi dùng phương pháp hệ số bất định là:

A Các câu khác sai B y = (ax + b)e2x; a, b ∈ R

C y = x(ax + b)e2x; a, b ∈ R D y = x2(ax + b)e2x; a, b ∈ R

E y = axe2x; a ∈ R

Trang 12

Câu 14. Khi quay miền D giới hạn bởi các đường cong x = 0, x + y = 2, x =√y quanh trục Ox ta được vật thể tròn xoay

có thể tích được tính bởi tích phân nào dưới đây?

A Vx= π

1Z

0

x2dx + π

2Z

1

1Z

0(2 − x)2− x2 dx

C Vx= π

1Z

0

1Z

0

x4dx + π

2Z

1(2 − x)2dx

Câu 15. Một bể chứa 1000 lít nước và 4 kg muối Nước có nồng độ muối thay đổi theo thời gian t (tính bằng phút) là

γ(t) = 0.05(1 + 0.5 sin t) kg / lít chảy vào bể với tốc độ 7 lít / phút, được liên tục quậy đều và cho chảy ra với cùngtốc độ Gọi y(t) là số kg muối trong bể sau t phút kể từ lúc bắt đầu quá trình Phương trình nào dưới đây mô tả quátrình này

A y0 = 0.05(1 + 0.5 sin t) − 0.007(y + 4), y(0) = 4 B Các câu khác đều sai

C y0 = 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4 D y0= 0.05(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4

E y0 = 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007(y + 4), y(0) = 4

Câu 16. Cho phương trình y0 = − 4x + 4y

3x + 3y − 1, bằng cách đặt z(x) = x + y ta đưa được phương trình này về thành phươngtrình tách biến nào dưới đây

Câu 17. Để đưa phương trình y0= y y3cos x + tan x về thành phương trình tuyến tính, ta nên đặt:

A Các câu khác sai B Hàm z(x) = (y(x))−3 C Hàm z(x) = (y(x))−2

D Hàm z(x) = (y(x))3 E Hàm z(x) = (y(x))2

Câu 18.

Bà A thường đi bộ vòng quanh công viên (xem hình) mỗi ngày vào sáng

sớm, đơn vị tính trên mỗi trục là trăm mét Bình thường, bà đi một vòng

công viên hết khoảng 1 giờ Hỏi tốc độ trung bình của bà gần với đáp

án nào dưới đây nhất?

E 2.1 km/giờ

Trang 13

Answer Key for Exam A

Trang 14

Câu 1. Một bể chứa 1000 lít nước và 4 kg muối Nước có nồng độ muối thay đổi theo thời gian t (tính bằng phút) làγ(t) = 0.05(1 + 0.5 sin t) kg / lít chảy vào bể với tốc độ 7 lít / phút, được liên tục quậy đều và cho chảy ra với cùngtốc độ Gọi y(t) là số kg muối trong bể sau t phút kể từ lúc bắt đầu quá trình Phương trình nào dưới đây mô tả quátrình này

A y0 = 0.05(1 + 0.5 sin t) − 0.007(y + 4), y(0) = 4 B y0= 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007(y + 4), y(0) = 4

C Các câu khác đều sai D y0= 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4

E y0 = 0.05(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4

E 80 mg

Câu 4.

E 1.8 km/giờ

Trang 15

Câu 6.

A Các câu khác đều sai B b = 4a C b = a√3

A Các câu khác sai B y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + A cos x + B sin x

C y = C1excos 2x + C2exsin 2x + A cos x + B sin x

D y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + Ax cos 2x + Bx sin 2x

E y = C1excos 2x + C2exsin 2x + Ax cos x + Bx sin x

Câu 8. Tính tích phân I =

aZ

0

A Các câu khác đều sai B Hàm g(x) đạt cực đại tại x = 1, x = 3

C Hàm g(x) đồng biến trong các khoảng (0; 1), (2; 3), (4; 4.2)

D Hàm g(x) nghịch biến trong các khoảng (1; 2), (3; 4) E Hàm g(x) đạt cực tiểu tại x = 0, x = 2, x = 4

A Các câu khác sai B Hàm z(x) = (y(x))2 C Hàm z(x) = (y(x))−3

D Hàm z(x) = (y(x))−2 E Hàm z(x) = (y(x))3

A Các câu khác sai B y = axe2x; a ∈ R C y = (ax + b)e2x; a, b ∈ R

D y = x(ax + b)e2x

; a, b ∈ R

Câu 12. Khi một ly nước lạnh được lấy ra từ tủ lạnh, nhiệt độ của nó là 50C, đặt trong phòng nhiệt độ coi như không thay

đổi là 250C Gọi T (t) là nhiệt độ (độ C) của ly nước sau t phút lấy ra khỏi tủ lạnh, tìm câu trả lời đúng

A T = 25 + 15e−kt B T = 25 − 15e−kt C T = 25 − 20e−kt D Các câu khác đều sai

E T = 25 + 20e−kt

Trang 16

Câu 14. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là:

A Các câu khác sai B y = 2x2+ x − 1 C y = 2x2− 2x + 1 D y = 2x2− x

E y = x2− x + 1

E 103 (ô tô mỗi phút)

Câu 16.

0

√

1 + xdx B Sx= π

1Z

0

√

1 + 4xdx C Sx= 2π

1Z

0

√

1 + 4xdx

A Vx= π

1Z

0

x2dx + π

2Z

1

C Vx= π

1Z

0

1Z

0(2 − x)2− x4 dx

E Vx= π

1Z

0

x4dx + π

2Z

1(2 − x)2dx

Trang 17

Answer Key for Exam B

Trang 18

D y = x(ax + b)e2x; a, b ∈ R E y = x2(ax + b)e2x; a, b ∈ R

Câu 2.

Cho hàm g(x) =

xZ

0

C Hàm g(x) đạt cực đại tại x = 1, x = 3

D Hàm g(x) nghịch biến trong các khoảng (1; 2), (3; 4) E Hàm g(x) đạt cực tiểu tại x = 0, x = 2, x = 4

Câu 3. Cho phương trình y” − 2y0+ 5y = cos x Với C1, C2là các hằng số tùy ý và A, B là các số thực nào đó, nghiệmcủa phương trình có dạng:

C y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + A cos x + B sin x

D y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + Ax cos 2x + Bx sin 2x

Trang 19

Câu 7. Lượng thuốc được cơ thể hấp thu được tính bằng liều lượng thuốc trừ đi tổng lượng thuốc bài tiết ra khỏi cơ thể R.Nếu tốc độ bài tiết thuốc là r(t) (mg / giờ) thì R =

+∞

R

E 80 mg

Câu 8.

3

E b = 3a

Câu 9.

A Các câu khác sai B Hàm z(x) = (y(x))−3 C Hàm z(x) = (y(x))2

D Hàm z(x) = (y(x))−2 E Hàm z(x) = (y(x))3

C y0 = 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007(y + 4), y(0) = 4 D y0= 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4

E y0 = 0.05(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4

Câu 12. Cho phần đường parabol x = y2bị cắt bởi đường thẳng x = 1 quay quanh trục Ox ta được mặt tròn xoay có diện

tích được tính bởi

A Sx= π

1Z

0

√

1 + xdx B Sx= 2π

1Z

0

√

1 + xdx C Sx= π

1Z

0

√

1 + 4xdx

Trang 20

A Vx= π

1Z

0

x2dx + π

2Z

1

1Z

0(2 − x)2− x2 dx

C Các câu khác đều sai D Vx= π

1Z

0(2 − x)2− x4 dx

E Vx= π

1Z

0

x4dx + π

2Z

1(2 − x)2dx

Câu 16. Khi một ly nước lạnh được lấy ra từ tủ lạnh, nhiệt độ của nó là 50C, đặt trong phòng nhiệt độ coi như không thay

đổi là 250C Gọi T (t) là nhiệt độ (độ C) của ly nước sau t phút lấy ra khỏi tủ lạnh, tìm câu trả lời đúng

A T = 25 + 15e−kt B T = 25 − 20e−kt C T = 25 − 15e−kt D Các câu khác đều sai

E T = 25 + 20e−kt

Câu 17.

E 1.8 km/giờ

Trang 21

Answer Key for Exam C

Trang 22

A Các câu khác sai B Hàm z(x) = (y(x))−3 C Hàm z(x) = (y(x))−2

D Hàm z(x) = (y(x))2 E Hàm z(x) = (y(x))3

Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là:

A Các câu khác sai B y = 2x2− 2x + 1 C y = 2x2− x D y = 2x2+ x − 1

E y = x2− x + 1

Câu 4. Khi một ly nước lạnh được lấy ra từ tủ lạnh, nhiệt độ của nó là 50C, đặt trong phòng nhiệt độ coi như không thayđổi là 250C Gọi T (t) là nhiệt độ (độ C) của ly nước sau t phút lấy ra khỏi tủ lạnh, tìm câu trả lời đúng

A T = 25 + 15e−kt B T = 25 − 20e−kt C Các câu khác đều sai D T = 25 − 15e−kt

0

√

1 + 4xdx

Câu 6.

E b = 3a

Trang 23

Câu 7.

E 1.8 km/giờ

0

C Hàm g(x) nghịch biến trong các khoảng (1; 2), (3; 4) D Hàm g(x) đạt cực đại tại x = 1, x = 3

E Hàm g(x) đạt cực tiểu tại x = 0, x = 2, x = 4

Câu 11.

được:

E 3.8πcm2

Trang 24

A Vx= π

1Z

0

x2dx + π

2Z

1

1Z

0(2 − x)2− x2 dx

C Vx= π

1Z

0

E Vx= π

1Z

0

x4dx + π

2Z

1(2 − x)2dx

Câu 13. Lượng thuốc được cơ thể hấp thu được tính bằng liều lượng thuốc trừ đi tổng lượng thuốc bài tiết ra khỏi cơ thể R

Nếu tốc độ bài tiết thuốc là r(t) (mg / giờ) thì R =

+∞

R

E 80 mg

C y0 = 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4 D y0= 0.35(1 + 0.5 sin t) − 0.007(y + 4), y(0) = 4

E y0 = 0.05(1 + 0.5 sin t) − 0.007y, y(0) = 4

C y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + Ax cos 2x + Bx sin 2x

D y = C1e2xcos x + C2e2xsin x + A cos x + B sin x

A Các câu khác sai B y = (ax + b)e2x

Trang 25

Answer Key for Exam D

Trang 26

PHẦN II: PHẦN TRẢ LỜI NGẮN Thời gian: 50 phút

Câu 1: (L.O.1; L.O.2)

Trong câu hỏi này, a = M + 3

5 , với M là chữ số cuối trong mã số sinh viên.

Ví dụ: Nếu MSSV là 2013012 thì a = 1.

Cho miền phẳng D giới hạn bởi các đường cong y = ln(ax), y = ax − 1, x = e.

(a) Xác định hoành độ giao điểm giữa các đường y = x − 1 và y = ln x.

(c) Tính diện tích bề mặt tạo ra khi biên của miền D quay xung quanh trục Ox.

Yêu cầu viết công thức tính và kết quả.





Trang 27

Câu 3: (L.O.1; L.O.2)

Để đo cung lượng tim (lượng máu được tim bơm đi trong một đơn vị thời gian) bằng chỉ thị màu, bệnh nhân sẽ được tiêm một lượng chất chỉ thị màu vào các ven Theo vòng tuần hoàn, chất chỉ thị màu sẽ đến động mạch chủ Nếu tiêm 5 mg chất chỉ thị màu, nồng độ C(t) của nó trong động mạch chủ một bệnh nhân được mô tả như đồ thị bên dưới.

Cung lượng tim ở một bệnh nhân được tính bởi công thức

Trang 28

Đáp án đề cuối kì Môn học: Giải tích 1 Học kì: 193

(b) Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị hàm số trên sao cho tiếp tuyến tại đó song song với trục Ox

Chứng minh (a) • (0.5đ) Miền xác định của hàm tham số: t > 0 & t 6= 1 x0(t) = 3 + 4t = 0 ⇔ t = −3

4;

y0(t) = ln(t) − 1

ln(t)2 = 0 ⇔ t = e

• (0.5đ)Kết luận hàm số y = y(x) đạt cực tiểu tại x = 3e + 2e2, ứng với t = e và yCT = e

(b) (0.5đ) Tiếp tuyến song song với trục Ox nên y0(x) = 0, tương ứng với điểm cực tiểu (3e + 2e2, e)

Câu hỏi 2 (L.O.2.2) (1 điểm) Giải phương trình vi phân sau: x2y0+ (x + 1)y = y2.(∗)

Chứng minh • (0.5đ) Đặt u = y−1⇒ y0= −y2u0 Thay vào phương trình (*) ta có: u0−x + 1

h

e1x 1

x− 1 + Ci.Kết luận: y(x) = 1/u(x) = e

Trang 29

• (0.5đ) Tìm nghiệm riêng dạng yr= A cos t + B sin t Suy ra A = B = −1

8.Kết luận nghiệm:

y(t) = y0+ yr= e2t(C1cos t + C2sin t) −1

• Được ptvp: x00− 4x0+ 5x = −1

2sin t +

3

2cos t.

• PTĐT: k2− 4k + 5 = 0 ⇔ k = 2 ± i Suy ra nghiệm tổng quát x0(t) = e2t(C1cos t + C2sin t)

• Tìm nghiệm riêng dạng xr= A cos t + B sin t Suy ra A = 1

0 p1 + (3x2)2dx ≈ 4.6087 (0.5 điểm)

• Tính độ dài đường cong L3: s3=√3

4 − 1 Chu vi miền D: P = s1+ s2+ s3≈ 9.4008 (0.5 điểm)Ghi chú : Có 4 cách chọn miền D, chọn cách nào cũng được tính điểm

Câu hỏi 5 (L.O.2.2) (1 điểm) Cho miền D được biểu diễn như hình bên dưới Khi xoay miền D quanh trục

Oy ta được một khối tròn xoay Hãy chia miền D thành 5 khoảng và dùng nguyên tắc điểm giữa (dùng tổngRiemann và chọn điểm chính giữa) để ước lượng cho thể tích khối tròn xoay này

Chứng minh • (0.5đ) Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Oy: Vy= 2πR10

0 |x(f2(x) − f1(x))|dx

Trang 30

• (0.5đ) Dùng Tổng Riemann:

Vy≈ 2π × 2(1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 3 + 7 × 2 + 9 × 2) = 244π

Câu hỏi 6 (L.O.3.1) (1.5 điểm) Người ta quan sát một nhóm bệnh nhân mắc bệnh bạch cầu giai đoạn đầu,

và nhận thấy rằng tỷ lệ sống sót (%) của các bệnh nhân này ở thời điểm t (tháng) tính từ lúc phát hiện bệnh

có thể được miêu tả bởi hàm số

S(t) = 100e−R0th(u)du,trong đó h(t) = 1

200t1/10 là hàm rủi ro

(a) Tìm tốc độ biến thiên của tỷ lệ sống sót của các bệnh nhân này tại thời điểm 30 tháng

(b) Hãy tìm thời điểm mà tại đó tốc độ biến thiên của tỷ lệ sống sót của các bệnh nhân là thấp nhất

Chứng minh • (0.5đ) Tính S0(t) = 100e−R0th(u)du(−h(t))

Nếu biết rằng số lượng tối đa là 100 000 con Hơn thế nữa, người ta quan sát được rằng ban đầu (t = 0)quần thể này có 5 000 con, và số lượng đang gia tăng với tỉ lệ 400 con/phút

(a) Quần thể này sẽ có bao nhiêu con sau 30 phút?

(b) Tìm thời điểm mà quần thể này đạt số lượng 80 000 con

Chứng minh • (0.5đ, đưa về dạng log là được) Giải ptvd ta được: P (t) = L

Trang 31

ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ DỰ THÍNH GIẢI TÍCH 1 Câu 1: (1.0 điểm) Ta có

Vậy đường cong có 1 tiệm cận đứng x = 7 (0.5 điểm).

Câu 2 (1.0 điểm) Nồng độ thuốc trung bình trong máu của bệnh nhân từ t = 5 giờ tới

t = 10 giờ kể từ khi tiêm thuốc:

ue−0.01u2du ≈ 419.843 (ngàn người) (0.5 điểm) Câu 4 (1.0 điểm) Diện tích của miền phẳng D

SD =

e 2

Z (e2+ 2 − y − ln y)dy (0.75 điểm) ≈ 24.8 (đvdt) (0.25 điểm)

Trang 32

Câu 5 (1.0 điểm) Ta có khi x → ∞:

x0(t0) = 30(1 + tan2ϕ).ϕ0(t0) = 30(1 + 1

3 )0.5 = 20 (m/s) = 72 (km/h) (0.75 điểm) Câu 7 (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1 mg/lít Một thùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhà máy này cung cấp Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5 lít nước do nhà máy nước cung cấp và 4 lít nước không chứa Flo Nước sau khi được khuấy đều sẽ thoát ra ngoài với tốc độ 7 lít nước mỗi phút.

Gọi y(t) là lượng Flo có trong thùng tại thời điểm t phút.

c Thùng đầy nước: 1000 = 700 + 2t ⇒ t = 150 (phút)

Nồng độ Flo trong thùng tại t = 150: d = y(150)

1000 ≈ 0.6448(0.25) Câu 8 (1.5 điểm) Dùng phương pháp khử ta thu được

Trang 33

x2dx +

Z 2 1

(2 − x)dx

= 5π 6 hoặc

Vx = 2π

Z 1 0

y(2 − y2− y)dy = 5π

6 = 2.62 (1đ)

Vy = π

Z 1 0

[(2 − y2)2− y2]dy = 38π

15 hoặc

Vy = 2π

Z 1 0

x2dx +

Z 2 1

Câu 3 Xét x → 0+:

TH1: α < 0 : f ∼

√ x π/2 ⇒ : TP hội tụ

α = 0 : f ∼ √

x ⇒ : TP hội tụ (0.5đ) Phần này có thể châm chước, chỉ cần xét α < 0 có thể cho trọn 0.5đ.

TH2: 2 > α > 0 : f ∼

√ x

xα−1/2 TP hội tụ khi α − 1/2 < 1 ⇔ α < 3/2.

TH3: α ≥ 2 : f ∼ k

√ x

x2 TP phân kỳ (0.5đ) KL: TP hội tụ khi α < 32.

Nếu biện luận phần sau đúng, thiếu xét α < 0 thì trừ 0.5đ, chấm phần khác bình thường.

∞

0

+ 9 4

Trang 34

Câu này nếu chỉ lấy tích phân lên thì chưa đủ, vì đề yêu cầu tìm y(t) nên phải giải ra đến cuối.

c Từ pt (∗): t = 0 : 955 = C0 ⇔ C0 = 191

t = 3 : 50

50 = C0e3k 0 ⇔ k0 = ln 19

3 Khi có 95% người nghe tin đồn:

Trang 35

ĐỀ THI CUỐI KỲ KÌ HK201 Môn: Giải tích 1 Ngày thi : 25/01/2021 Mã đề thi 2021

Thời gian: 50 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Hàm số nào là nghiệm của phương trình y00+ 4y0 = 0 với điều kiện y(1) = −3, y0(1) = 1?

Câu 2. Loa phóng thanh có vành nhôm hình dạng như một phần của đường cong y = 2

x, 1 ≤ x ≤ 4, quay xung quanhtrục Ox Nếu đơn vị trên trục tọa độ tính theo decimet (dm), tính diện tích vành loa (theo dm2)

x2, x > −1 Tính I =

2Z

Trang 36

Câu 6. Nếu phân hoạch [1, 2] thành n đoạn con bằng nhau, dãy số nào sau đây mô tả tổng Riemann trái khi tính I =

E π + 2

Câu 8. Tính độ dài của đường cong y = f (x) với f (x) =

xZ

0

p2t + t2dt, 1 ≤ x ≤ 2 (bỏ qua đơn vị)

A Các câu khác sai B 5

34

E 2

Câu 9. y = y(x) là nghiệm của phương trình y0= cos(x) + a

sin(y) thỏa y(π) = 2π với a là hằng số Biết tiếp tuyến của đườngcong nghiệm nằm ngang tại x = 0, hãy xác định y(x)

A Các câu khác sai B y = sin(x) + cos(y) + 1 − π

E sin(x) + cos(y) − x = 1 − π

Câu 10. Biết e2x 4

5x −

2825

là một nghiệm riêng của phương trình 2y” − y0− y = 4xe2x

, nghiệm tổng quát của phươngtrình này là

A Các câu khác sai B C1e x+ C2ex2 + e2x 4

5x −

2825

C C1ex+ C2e−x2 + e2x

4x −285

5x −

2825

E C1ex+ C2e−x2 + e2x 4

5x −

2825

Câu 11. Gọi V = V (t) là kích thước của khối u ở tuần thứ t tính từ thời điểm hiện tại Theo mô hình Gompertz , tốc độ tăng

thể tích của khối u ở tuần thứ t tỷ lệ thuận với hàm số ln L

V

, trong đó L là kích thức lớn nhất của khối u ứng vớimức dinh dưỡng hiện tại của bệnh nhân Phương trình vi phân nào sau đây mô tả sự thay đổi kích thước khối u theothời gian t

A V0 = k ln L

V

, với k là hằng số dương B V0= k ln L

V

, với k là hằng số âm

E Các câu khác sai

Câu 12. Hàm số y = 2e5xkhông phải là nghiệm của phương trình nào?

A Các câu khác sai B y00− 9y0+ 20y = 0 C y00+ 7y0+ 10y = 0 D y00− 25y = 0

E 2y00− 13y0+ 15y = 0

Trang 37

Câu 13. Xét phương trình vi phân y0 = −1 + 1 + y

x.C

x E

√

u + 1 + u + 1 =

Z dx2x

Câu 14. Một hòn non bộ có dạng như miền giới hạn bởi parabol y = 1 − 4x2, y = 0, x ≥ 0 quay xung quanh trục Oy

Hòn non bộ được đặt trong hồ nước và nước chiếm1

4 chiều cao của nó Đơn vị trên các trục tính theo mét (m) Tínhphần thể tích nổi phía trên mặt nước của hòn non bộ theo m3

Câu 16. Cho phương trình vi phân y0− y sin(x) =√2x

y Nếu đặt z = y√y, phương trình đã cho sẽ có dạng nào dưới đây

A Các câu khác sai B z0− z sin(x) = 3x C z0−3z

Câu 17. Hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên R và có một số giá trị cho bởi bảng bên dưới Đồ thị của hàm f (x) luôn nằm

trên đồ thị của g(x) Sử dụng tổng Riemann trung tâm (tổng giữa) với phân hoạch đều (∆x = 1) để ước tính thểtích vật thể tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f (x), y = g(x), x = −1, x = 2 quay xungquanh trục Ox Bỏ qua đơn vị thể tích

f(x) -20 -23 -27 -30 -27 -25 -21g(x) -41 -39 -34 -36 -39 -38 -32

Tiêu đề	Đề Thi Cuối Học Kì Giải Tích 1
Tác giả	Nguyễn Tiến Dũng
Trường học	Đại học Bỏch Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Giải Tích 1
Thể loại	đề thi
Năm xuất bản	2020
Thành phố	Tp.Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	3,74 MB