Bài tập phương pháp toán lí phần 1

Chương 1: Giải tích vectơ trong hệ tọa độ cong 1.1.. Giải tích vectơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 1.1.1... * DạnỊỊ bài ỉ : 'l ính các tích phán đường loại hai, tích phán m ặt loai

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOÁN

(T a i b a n là n t h ư n h à t )

M ù sỏ: III.Oi 07 14 DU 201 ì

MỤC LỤC

Lời nói đầu

A Bài tập tự lu ậ n

Chương 1: Giải tích vectơ trong hệ tọa độ cong 1.1 Giải tích vectơ trong h ệ tọa độ D escartes vuông góc 1.2 Giải tích vectơ trong h ệ tọa độ c o n g

Chương 2 : Tenxơ và giải tích tenxơ

2.1 Khái niệm cơ bàn về tenxơ - Đại s ố ten x ơ

2.2 Tenxơ hạng hai □ Giải tích te n x ơ

Chương 3: Lí thuyết hàm biến phức

3.1 Khái niệm cơ bản về s ố p h ứ c

3.2 Hàm số biến phức - Đ ạo hàm của hàm biến p h ứ c

3.3 C ác hàm s ố sơ c ấ p

Chương 4: Tích phân và chuỗi hàm biến phức

4.1 Tích phân hàm biến p h ứ c

4.2 Chuỗi hàm biến p h ứ c

4.3 Thặng dư và ứng dụng để tính tích phân suy rộ n g

Chương 5: Phương trình Hypecbolic

5.1 Phương trình só n g một chiều

5.2 Phương trình sóng hai c h iề u

Chương 6: Phương trinh Parabolic

6.1 Phương trình truyền nhiệt một chiều

6.2 Phương trình truyền nhiệt hai c h iề u

Chương 7: Phương trình Eliptics

7.1 Phương trinh Laplace hai c h iề u

7.2 Phương trình L aplace ba ch iều

7.3 Phương trinh P o is s o n

B Câu hỏi trắc n ghiệm

Tài liệu tham kh ảo

LỜI NÓI ĐẦU

H ọ c p h ầ n P h ư ơ n g p h á p to á n lí đ ư ợ c x â y d ự n g n h ằ m tra n g bị c á c phư c

p h á p to á n h ọ c d ù n g c h o V ậ t lí h iệ n đ ạ i như : h à m b iế n sô' p h ứ c , đ ạ i s ố v à g iả i t

v e ctơ , c ấ c h à m đ ặ c b iệ t, c á c p h é p b iế n đ ổ i tíc h p h â n , đ ạ i s ố v à g iả i tíc h ten:

p h ư ơ n g p h á p tín h s ố , c á c p h ư ơ n g tr ìn h vật lí to á n V ớ i k h ố i lư ợ n g k iế n th ứ c t

rộ n g v à c ồ n g k ề n h n h ư v ậ y n ê n lư ợ n g b à i tậ p c ũ n g rấ t p h o n g p h ú , đ a dại

H ệ th ố n g g iá o tr ìn h v à tà i liệ u th a m k h ả o đ ã c ó tư ơ n g đ ố i n h iề u n h ư n g c h ư a

h ệ th ố n g b à i tậ p đ ầ y d ủ c ó th ể g iú p sin h v iên k h o a V ậ t lí c á c trư ờ n g Đ ạ i t

Sư p h ạ m tiế p c ậ n v à th ự c h à n h k iế n th ứ c m ô n h ọ c n à y m ộ t c á c h th u ậ n lợ i

c ô n g th ứ c c ơ b ả n sẽ đ ư ợ c trìn h b à y trư ớ c tiê n n h ằ m h ệ th ố n g h ó a lạ i c á c k iế n ứ

c ầ n th iế t đ ể g iải b à i tập T iế p th e o sẽ h ư ớ n g d ẫ n n h ữ n g d ạ n g b à i tậ p m ẫ u c ụ t

A BÀI TẬP Tự LUẬN

C H Ư Ơ N G 1

GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

1.1 Giải tích vectơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc

1.1.1 Các kiến thức cơ ban

* C ộng h a i lìay nhiều vectơ

G iả sử c ó h ai v e c tơ Ã (A x, A v A z) và B ( B X B j Bz) C ộ n s h a i v e c tơ Ă và

đ ư ợ c thự c h iệ n n h ư sau :

A + B = (A v i + A , j + A z k ) + (B v i + B v ị + B7 k )

= (A x + Bx) I + (A y + B ,) J + (A ; + B,) k (1

P h ép c ộ n g n h iề u v e c tơ được tín h từ c ộ n g h ai v e c tơ đ ầ u tiê n , lấ y tổ n a c

c h ú n g c ộ n a với v e c tơ th ứ b a, rồi lấy k ế t q u à c ộ n g vớ i v e c tơ tiế p th eo C ứ n h ư \

c h o đ ế n v e c tơ c u ố i c ù n g

P h ép trừ v e c tơ v e c tơ A c h o v e ctơ B đư ợ c thự c h iệ n b ằ n a c á c h c ộ n g v e ctơ

\ ới v e c tơ đ ố i c ủ a v e c tơ B :

Ả - B = ( A , I + A y J + A j k ) — (B , I + B , ] + B ĨC )

= (A , - B J T + (A > - B ,) J + (A , - B,) k (1

P h ép c ộ n s v e c tơ c ó tín h c h ấ t a ia o h o á n v à tín h c h ấ t k ế t hợp

Đ ịn h n s h ĩa : T íc h võ h ư ớ n a c ù a v e c tơ A với v e ctơ B k í h iệ u A B là n

vò h ư ó n a b ằ n e tíc h m ồ đ u n c ù a h ai v e c tơ n h à n với c o sin c ủ a a ó c (0 ) e iữ a hưc

c ù a c h ú n a

Ă B = A.B.COS0 = |Ả | Ị ẽ | COS0 = B Ã (1

Tích vỏ hướng có tính chất giao hoán và tính chất phân bó.

* Tích vecĩơ cùa hai vectơ

Đ ịnh n sh ĩa : Tích vectơ cùa vectơ A với vectơ B , kí hiệu A A B 11 A B

m ột vector c vuông góc với m ặt phảng chứa A và B , sao cho:

Các vectơ A B và ũ c tạo thành m ột tam diện thu ận (lương tự với các trụ

y z) hoặc tuân theo quy tắc bàn tay phải, hoặc quy tắc "cái m ở nút c h a i”.Biêu diễn tích vectơ qua các toạ độ có dạng như sau:

à A B = í A , ỉ + A j J + A r k ) A (Bv ĩ + B ] + B, k )

= ( A , B z - A , B v) T + ( A z B , - A v B ; ) J + ( A x B J, - A J B J k (Hay:

Tích vectơ có tính chất phản giao hoán và tính chất phán hố

* T it'll hỗn h ọ p (h ỗ n ĩụp) cùa ba vectơ

T ích hỏn tạp cua ba vectơ A , B và c là m ột vỏ hướng: V = c .( A A B ) Biếu diễn qua các toạ đõ của các vectơ c ủ a tích hỏn hợp là

* Til'll kép Ilia hư vectơ

(1.13)

AY-*U AY AV-ii) AV+ T ro n s hệ toạ độ D esc arte s v uông góc, ta có

- c A x ê A v c A z

D iv A = — S + — + — L

d R otationel cua m ột vecto

+ Lưu th ổ n 2 cúa vectơ A theo m ộ t đ ư ò n a cong kín:

C ( Ă ) = ^ d C = ị Ã d L = ^ A L d L

+ R otationel củ a m ột v ectơ A k í hiệu là R ot A

G iá tri hình ch iếu củ a R o tA trẽn phưcrns pháp tu v ến c ủ a vi phân m ặt AS đươc bao bơi vi phân đ ư ờ n s AL:

e Toan ru nabỉa V và các toán rù vi phán cáp hai

+ T oán rư n ab ìa (V) là m ột vectơ T ro n s hệ toạ đó D escartes v u óng só c nó có dạne như sau:

cjA dL = I jR o tA d S , ( 1.21 )

trong đó đường cong kín L bao quanh m ặt s

1.1.2 Một sô bài tập mẩu và nhũtig lưu ý

a M ộ t số c h ú ý v à c ác p h ư ơ n g p h á p là m việc với to á n tứ N a b la

Đ ể giải các bài tập về giải tích vectơ, c húng ta cẩn thành thạo tính toán với toán tử N abla T oán tử N abla vừa có tính chất đạo hàm , vừa có tín h c h ất vectơ, việc phải lưu ý song song hai tính chất luôn làm c húng ta th ấy rất k h ó khãn Phương pháp thông dụng và đem lại hiệu quả là tách p h ép đạo hàm ra trước đê thực hiện cấc phép tính vectơ, sau đó m ới thực hiện phép đ ạo h àm N goài phương pháp khai triển đạo hàm th ông thường và phương pháp sử dụ n g chỉ số ten x ơ (sẽ trình bày ở chương 2 ) người ta còn dùng m ộ t phương pháp kh ác, đó là sử dụng kí hiệu cho phép tính đạo hàm (có thể là k í hiệu b ằn g m ũi tên) Trước hết chúng ta sẽ làm quen với cách k í hiệu này qua quy ước s ử d ụ n g m ũ i té n đ ê c h ỉ vị t r í thực

h iện p h é p tín h đ ạ o h à m

* Q uy ước chung: T rong trường hợp thông thường, m ọi hàm số đặt bén phảiphép tính đao hàm (ví du — hay V) đéu chiu tác dung của phép đao hàm đó

dx

Phương pháp khai triển đạo hàm thô n g thường sẽ sử dụng cô n g thức (1.16) khai triển toán tử N abla để thực hiện tính toán Ư u đ iểm của phương pháp là dễ làm và tránh được nhầm lẫn T uy nhiên phương pháp này có nhược điểm là tính toán dài dò n g và phức tạp

* I uti . V_1ỈU11£^ Iliu m u c U1UV ouu \ J l u u \ y y J — Y"v *“ “ Y T - r

* P hương p h á p s ứ dụ n g k í h iệu đạo hàm (m ũi tên)

T ro n g p h ư ơ n g p h á p n à v c h ú n a ta dùrui m ũ i tê n đ ể c h ì rõ c ác h à m s ố n à o c h ịu

- o Õ c -r

= p -3 - (p, — + py—— P ,— ) ( i X + j y + k .7.)

= 3 p - (p, i + py j + p, k ) = 3 p p = 2 p

* Dạng bell 2: C hứng m inh hai biếu thức đạo hàm băng nhau

Đ ối với dạng bài này, c h ú n g ta có thế áp dụng phương pháp khai trịón đị

hàm thông Ihường hoặc phương pháp sử dụng k í hiệu đạo hàm đế giai quyết

B ài m un: Chứng m inh R ot| Ấ , B ] = A D iv B - B D iv A + (B V ) A

( A V ) B ; với A và B là những hàm của tọa độ

Giới: Ta có

V T = Rot[ Ã ,B J = Va( Ã a ẽ ) = Va( Ả aB ) + Va( Ã A Ẽ )

= (V B ) Ã - (V Ã ) B + ( V B ) Ấ (V Á ) B

= ( B V ) Ã - B (V A ) + Ả ( V B ) ( A V ) B = V P ( đ p c m )

* DạnỊỊ bài ỉ : 'l ính các tích phán đường loại hai, tích phán m ặt loai hai

Đối với dạng bài này, chúng ta thường áp đụng các định lí lích phán và cá

cống thức G rad, Div, Rot, laplacc đc tính

Bài mầu: T ính thông lượng của bán kính vcctơ

r L|ua mật trụ như hình VC bcn

Giãi: Gọi s là đáy dưới cùa hình tru, Sị là dáy

trôn cùa hình trụ còn s là m ật kin gồm S|, S, và mật

tru (mặt xung quanh cúa hình trụ) N hư vậy ta có:

1) V e c tơ đ ơ n v ị s o n s s o n s với v ectơ : V = 2-i + 3 j — 6 k

2 ) V e c tơ đ ơ n v ị c u a đ ư ờ n g th ă n s n ố i đ iế m P( l 0 3 ) với Q (0 2 1)

1.2 C h ứ n s m in h r ằ n s v ectơ : V = a i - r b j + c k Maòna a ó c với m ặ t c h o b(

2) Kiếm tra sự độc lập tuyến tính của ba vectơ sau

v = 3 i + j - 2 k ; ũ = 4 i - j - k ; w = i - 2 j + k

1.6 N ghiệm lại rằng tích hỗn tạp của b a vectơ ã , b , C ( ã [ b , c ] ) có thể biểu diễnnhư sau: À = ã.[b ,c] = eijk.a,.bj.ck

i, j, k = 1, 2, 3 với cách k í hiệu ax = a,, ay = a 2, ạ, = a 3

Eijk là k í hiệu ten x ơ L evi - chivita

+ Ejjk = 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau

+ Eijt = 1 nếu i j 5É k và có số lần hoán vị chẵn đ ể vẻ th ứ tự 1, 2, 3

+ Ejjk = - 1 nếu i j k và có số lần hoán vị lẻ để về thứ tự 1, 2, 3

các chỉ số lặp lại có nghĩa là lấy tổng theo các chỉ số đó

1.7 Cho ã và b là tuỳ ý Chứng m inh rằng: Ả = (ă A b ).(ã A b) + (ã b ) 2 = (a.b)2

1.9 Tính G ra d (ã r) với ã là vectơ không đổi

1.10 Tính G r a d ( - ^ ) (với P là vectơ không đổi)

r

1.11 Chứng m inh các hệ thức sau:

1) Div(cp.à ) = (p.Divà + Ẩ Gradcp,

2) Rot(cp A ) = ọ Rot A — [ A , Gradcp],

1.17 C h ứ n s m in h h ệ thứ c sau: £<ọ.đ7 = j J [ n , G r a d ọ ] d s L là c ò n s - t u a b a o q u a n h

d iệ n tíc h s ĩĩ là v e c tơ p h á p tu y ế n đ ơ n vị c ó ch iề u làm với c h iề u d ư ơ n g trên L

m ộ t hè đ in h ố c th u ậ n , cp là trư ờ n a vò h ư ớ n e liê n tục tro n a m iề n s

1.18 C h o trư ờ n g v e c tơ A = y i + z j + x k d ù n g c ô n g thứ c X tố c đ ể tín h tíc h p h à n

r 1 ") -I

đ ư ờ n s c ÍÃ d r tr o n s đ ó c là đ ư ờ n a trò n C: ị x ' z , tíc h p h àn

chạy ngược chiều kim đổng hồ nếu nhìn từ phía dươns của trục X.

1.19 T ín h th ò n g lư ợ n a c ủ a trư ờ n a v e ctơ A = 3 7 = 3 x i + 3y j + 3z k q u a tất c ả

c á c m ặ t h ìn h n ó n x ác đ ịn h bới:

X2 + y 2 < z : v ớ i 0 < z < h

r.Ạ I HỌC TR.VĨ NGUYỄN

17

, , J x 2 + y 2 = 1

theo đưònc cong L: <

[x + z = 1chiểu lấy tích phàn là ngược chiều kim đổng hổ nếu nhìn L từ phía dưc trục Ox

1.21 Tính thõng lượng cùa trường vectơ A = 5y i + 3x j + (z - x) k qua tất các m ặt hình tru xác định bời:

| x 2 + y 2 = 4

Ị 0 < z < 5

1.22 Tính th ô n s lương cùa trường vectơ A = 2y i + z j + (z - x) k , qua irhình cầu có phương trình: X + y2 + í — 2x + 4y - 6 z - 2 = 0

1.23 Tính thông lượng cùa vectơ F = xz i + yx j + zy.k qua m ặt cầu x : + V2 + T = 2>

1.24 Cho vectơ F = xy.i + y z j + zx k

* Pliép biến đói toợ độ:

Các hệ thức độc lập liên hệ giữa các toạ độ q ', q \ q ’ với các toạ đồ X, V z:

q ' = q (X y, z ) ; q : = q ;(x, V z ) ; q ? = q-'(x, y, z) ( 12'.

và các hệ thức độc lặp liên hệ eiữ a các toa đỏ X y, z với các tọa đỏ q 1 q : q':

X = \ ( q ' q :, q ?) ; y = y(q'_ q : , q 5) ; z = 7.(q', q : q 5ì (1.2;gọi là các hệ thức biến đổi toạ độ từ hệ toạ độ D escarters (X, y, z) sana hộ toạ d cong (q 1 q : q ’ì và ngược lại

* M ạ t lOti đ ộ : Q u a đ i ế m P ( q ; q 2 q ) c ó b a m ặ t c o n g :

(1.2-r

* Đ ư ờng toạ đ ộ : G ia o c ủ a từ n g c ặ p m ặ t là n h ữ n g đ ư ờ n g to ạ đ ộ đ i q u a đ iể m

p C á c đường to ạ đ ộ q u a p tạ o th à n h m ộ t h ệ to ạ đ ộ c o n g đ ịa p h ư ơ n g tạ i p

* C ác vectơ đơn vị h iệp biến: G iả sử có m ộ t h ệ to ạ đ ộ c o n g q 1, q 2, q 3 Q u a(lí; m ỗ i đ iể m M tro n g k h ô n g g ia n c ó 3 đ ư ờ n g to ạ đ ộ q 1, q 2, q 3 T rê n m ỗ i đ ư ờ n g to ạ đ ộ , tại đ iể m M ta đ ư a v ào c á c v e c tơ đcm vị ẽ j , ẽ 2 v à ẽ 3 là n h ữ n g v e c tơ tiế p tu y ế n với

c á c đ ư ờ n g to ạ đ ộ tư ơ n g ứ n g v à c ó c h iề u th e o c h iề u tă n g c ủ a g iá trị to ạ đ ộ trê n

đ ư ờ n g đ ó C ác v e c tơ n à y g ọ i là c á c v e c tơ đ ơ n vị h iệ p b iế n

* H ệ toạ độ đia p h ư ơ n g th ứ nhất: là m ộ t h ệ to ạ đ ộ đ ịa p h ư ơ n g x á c lậ p b ờ i c ác

v e c tơ đ ơ n vị h iệ p b iế n ẽ j , ẽ 2 , e 3

c H ệ toạ độ đ ịa p h ư ơ n g th ứ h a i

* C ác vectơ đơn vị p h ả n biến: G iả sử c ó m ộ t h ệ to ạ đ ộ c o n g q 1, q 2, q 3 Q u a

m ỗ i đ iể m M tro n g k h ô n g g ia n c ó 3 m ặ t to ạ đ ộ q 1, q 2, q 3 T rên m ỗ i m ặ t to ạ đ ộ , tại

đ iể m M ta đ ư a v ào c á c v e c tơ đ ơ n v ị ẽ 1, ẽ 2 v à ẽ 3 là n h ữ n g v e c tơ p h á p tu y ế n với

c á c m ặ t to ạ đ ộ tư ơ n g ứ n g v à c ó c h iề u th e o c h iề u tă n g c ủ a g iá trị to ạ đ ộ C ác v e c tơ

hoặc ( G radq' ) ( G rad q J ) = k,.kj( e ' e J ) - 0 với i J.

* Đ ức điểm của hệ trực giiịo:

( 1.2Í

(1.2S(1.3C

* Cúi thành phún p h ả n biến và thành p h ẩ n h iệp hiển của m ộ t vectơ:

Ả = A '.ẽ ] + A 2 Ị ^ + A \ c 3

+ Các thành phẩn A 1, A% A 5 (ứng với các vectơ đơn vị hiệp biến) gọi la cáthành phán phán biến trong hệ các vectơ đơn vị hiệp biến

+ Các thành phẩn A ,, A ,, A , (ứng với các vectơ đơn vị phan hiến) gọi là cáthành phần hiệp biến trong hệ các vectơ đơn vị phán biên

đ G radient của m ột hàm vớ hướ ng trong hệ toa đọ cong trục giao

V ectơ cơ sờ: T rong nhiều bài toán người ta còn dùng các vectơ cơ sơ thav chi

các vectơ đưn vị với lựa chọn:

+ Độ dài cùa các vectơ cơ sờ phán biến bằng thông số vi phân hạng nhã tương ứng: Ịẽ'Ị = k, ,

+ Đ ộ dài của các vectơ cơ sở hiệp biến hằng hê số L am e tương ứng: !ẽ, = h

Khi đó, m ột s ố còng thức giải tích vectơ trong hệ tọa độ cong có dạng tươn;

tự trong hệ tọa độ D escartes vuông góc:

(1.32

e D iv e rg e n c e c ủ a m ộ t vectơ tro n g h ệ toạ độ c o n g trự c gia o

P h é p b iế n đ ổ i tọ a đ ộ (1 2 2 ) đư ợ c sử d ụ n a đ ể tín h c ác th ò n a s ố vi p h à n h ạ n g

n h ấ t P h ép b iế n đ ổ i tọ a đ ộ (1 2 3 ) đư ợ c s ử d ụ n a đ è tín h c á c h ệ s ố L am e T ro n a trư ờ n a h ợ p đ ặ c b iệ t k h i h ệ tọ a đ ộ c o n g là trự c g ia o th ì từ h ệ s ố lam e ta có th ế su y

ra th ò n a s ố vi p h â n h ạ n g n h ấ t th e o c ó n g thứ c (1 3 0 ) h o ặ c n g ư ợ c lại

Đ è th u ậ n lợ i tro n g h ọ c tậ p v à làm c á c b ài tập b ạ n đ ọ c c ầ n s h i n h ớ c á c h tín h

v à k ế t q u ả c ủ a c ác h ệ s ố L am e v à c ác th ò n g số vi p h à n h ạ n g n h á t tr o n s c ác h ệ tọ a

đ ộ th ồ n s d ụ n g n h ư h ệ tọ a đ ộ cự c, h ệ tọ a đ ộ trụ h ệ tọ a đ ộ c ầ u Đ ồ n s th ờ i, c á c c ò n s

và n h ớ rõ để tính toán m ột số tích phàn trong hệ tọa độ cong.

* Hệ sỏ Latne và thông sô vi phũìi hụ/ỉg n/híí troiìg m ột sô hệ toụ độ cong

1) Hệ toạ độ cực: h | = 1 h, = r

k, = l , k , =

r2) Hệ toạ độ trụ: hị = 1, h, = p h ? = 1

k, = l , k , = —, k , = 1

p3) H ệ toạ độ cầu: h, = 1, h, = r, h , = r.sinô

2) Trong hệ toạ độ cấu: ( q : = r, q ; = 0, q ’ = <p)

D iv ( Ã ) = —^ -.[ — (rsinO A ,) + — (r.sinG.Ao) + (r.A ,)]

vectơ đơn vị và kiểm tra tính trực giao của hệ tọa độ cong.

Bùi m ẫu: T ín h h ệ s ố L a m e , th ỏ n s s ố vi p h à n h ạ n s n h ấ t, x á c đ ịn h c ác v e c tơ

đ ơ n vị v à k iể m tra tín h trự c a ia o c ù a h ệ tọ a đ ộ trụ

G iúi: X é t phép biến đổi tọa độ: X = psincp: y = pcosọ; z = z cho ta các hệ thức

lièn h ệ g iữ a c á c to ạ đ ộ D e s c a rte s v à to ạ đ ộ trụ

Các vectơ đơn vị lại điếm M được biểu

điên trên hình vẽ Các vcctơ này thay đổi tuỳ

theo vị trí của điếm đang xét

1 2 6 1> V iế t b iế u th ứ c c ủ a d iv e( A -CÌ tr o a e h ệ tọ a đ ộ c ầu h ệ tọ a đ ộ trự.

2 V iế t b iể u th ứ c c ủ a A A tr o n a h ệ to a đ ộ c ầu h ệ tọ a đ ộ trụ h ệ to ạ đ ộ c ự c

T ro n a đ ó A là hàrrì c ủ a c á c tọ a đ ộ

1 2 7 C h o h ệ to ạ đ ộ c o n s :

K h ả o sá t tín h tr ạ c c ia o c ủ a h ệ tọ a đ ộ c o n s n à y v à tín h c á c h ệ sỏ L am e h 1.2 8 C h o h ệ lo ạ đ ộ c c n a :

X" - Y “ - z ~ - z ~ ^ X" - V" - z ' — z - = a r c ĩ 2 —

w X

K h a o sá t :ic h rrực s ia o c ù a h ệ rọ a đ ộ c o n e n à y v à tú ih c ác h ệ sô L a m e h 1.29 C h o h ệ to ạ đ ộ c ầ u t o n s q u á t:

X = a u s in c o c o s v V — b u s in c o s ir v z = C.U.COSCÍ.

v ớ i 0 < u < —=c J' < V < z~ . c < o < T

K h a o sá t tín h trự c a ia o c ủ a h ệ tọ a đ ộ c o a g n à v v à ric h c á c h ệ số L arn e £1

1 30 T ín h D i v r v à R o i r ư o n s c á c h ệ tọ a đ ộ trụ tọ a đ ộ c ầu

1.3 (X a).x + (y - b ).y + ( 2 - c ).z = 0 là p h ư ơ n g trìn h m ặ t cẩu

1.7 (ă A b).(a A h) + (a h )2 = (a.b.sm Q)2 + (a.h co s0 ): = (a.b )2

đ

1.8 — (u A V) = ÙA V + u A V = (cử a u) a V + u A (cã A v) = (ã A (ũ A V) dt

1.9 Tính G ra d (ã r) với ã là vectơ k hôna đổi

T rong bài này chúng ta khai triển đạo hàm thông thường, ta được

G ra d (ă r) = — ajX r + — a 2y.J + a-fZ.k = ã

2) R otlo .4 ) = (p.Rot ,4 I 4 Grad(fl|

^ T = \ A (cp.A) = \ A (tp.A) 4 V A (cp.Ả) = - Á A Vip + (p.v A Ẩ = VP

i t D i v |A B | = B R o t.Ã - A R o t ỏ ,

VT = v.< A •, B ) = V (Ã A B ì + v ( A A B ) = B.(V A Ả ) - Ả.( V A B ì = VP

k, = l , k , = 1 , k , = 1

p3) Hệ toạ độ cầu: h = 1, h , = r, h , = r.sinB

r CT V c r ý r C(P

T ro n g hệ toự độ cẩ u : A ự , 0 , <p)

- 4 - r? c A r N| 1 c (Ị_r2 CT V CT J r ; s i n 0 c 0 v,

X 2 2 - 2 _ -> c q " T c q T M r X t t

G ra d q = —^ — i ^ — j H— k = i -H y j ,

20

+ Dễ thấy răng G radq1 Gradq-1 it 0 với i ^ j nên hệ k hông trực giao

+ Đè tính các hè số Lam e ta cần đổi lai

TENXƠ V À GIẢI TÍCH TE N X Ơ

2.1 K hái n iệm c ơ b ả n v ề te n x d Đ ại s ô t e n x ơ

2.1.1 Các kiên thức c ơ bàn

a Quy ước Einstein (Quy ước lấy tông)

Trong một biểu thức dã cho, bất cứ khi nào có m ột chì số (trẽn hoặc dưới được lặp lại hai lần ờ m ột số hạng thì chúng ta phải lấy tổng theo chi số đó

b Cóng thức bién đổi giữa các vecta cơ sở hiêp biến và các vecta cơ sò trong hệ toạ độ Descartes

c Định nghĩa dai lương vô hường

Trong khóng gian N chiêu, vồ hướng là m ột đại lượng có m ột thành phần duvnhất và thành phần này bất biến đối với phép biến đổi toạ độ

d Định nghĩa đại lượng vectơ

Nếu có một đối tượng V sao cho các thành phẩn V' của nó trong hệ cơ sơ ékhi đổi sang hệ tọa độ mới ẽ ' dược biến đổi theo cõng thức:

thì V là bất biến đối với phép biến dổi toạ độ từ hệ é, sang hệ ẻ , tức là:

và V được gọi là một tenxơ hang một (hay m ột vectơ), còn V' gọi là các thành phán phản biên cùa nó trong hệ các vectơ cơ sờ hiệp biến

e Diat hay vectơ cập đôi — Tích tenxơ

Tích tenxơ cùa hai vectơ còn gọi là diat hay vectơ cặp đỏi

ổq-ờr

(2.2ỔXJ

V = V E;

A Ã B - \ B: C S e

Như v ậ y , cơ sờ c ủ a k h ò n g s ia n V&Y là ẽ: & e , đó là cơ sờ hiệp biến Thanh

■'hần A B là th à n h p h ẫ n p h ả n b iế n tro n 2 c ơ s ờ h iệ p b iè n T h à n h p h ẩ n n à y là tíc h :u a h a i th à n h p h ầ n p h ả n b iế n c ù a c á c v e c tơ tạ o th àn h

C h ú ý : T íc h te n x ơ c ó tín h c h ấ t p h à n b ố n h ư n s k h ò n s c ó tín h c h ấ t g ia o h o á n

ã & b * b ® ă

/ Tenxơ hạng hai và tenxơhạng cao

N ế u c ó m ộ t đ ố i tư ợ n g T sao c h o c á c th à n h p h ầ n T- (i.j = 1 2 , 3 N ) c ủ a n ótro n g h ệ tọ a đ ộ X v ớ i c ơ s ờ ẽj & ẽ ; c ủ a k h ò n s s ia n V ® V k h i đ ổ i s a n e h ệ tọ a độ

m ới X ■ v ớ i h ệ c ơ sớ ẽ ’j & e , đ ư ợ c b iế n đ ò i th e o c ò n a thức:

và T đ ư ợ c g ọ i là m ộ t te n x ơ h a n 2 h a i c ò n T J g ọ i là c á c th à n h p h ầ n p h à n b iế n c ủ a T :rèn n ẻ n c á c c ơ sớ ẽ j ® ẽ j h iệ p b iến

T a c ó th ể m ờ rò n 2 đ in h n g h ĩa trẽ n c h o te n x ơ c ó h ạ n a b ấ t kì

* Y e c tơ c ơ s ở p h ả n biến:

G iá s ừ ta c ó m ộ t te n x ơ h ạ n g h a i a T r o n s h ệ to ạ đ ộ x ; (i = 1 2 3 N ) n óđirợc b iể u d iễ n th e o c á c th à n h p h á n p h ả n b iế n a ’ n h ư sau :

(2.141(2.131

có cùng số chiéu như nhau)

Tổng của hai tenxơ A và B là m ột ten x ơ c cùng loại m à các thành phần là:

* Phép nhãn:

+ Nhân với m ột vô hướng:

N hân m ột vô hướng X với m ột ten x ơ A ta được m ộ t ten x ơ có thành phần bằng tích của X với thành phần tương ứng của A

T íc h n g o à i c ủ a h a i te n x ơ (c ò n g ọ i là tíc h te n x ơ c ủ a h a i te n x ơ ) là m ộ t te n x ơ c ó

hạng bằng tổng hạng của hai tenxơ thành phần, có số lần phản biến bằng tổng số

lầ n p h ả n b iế n c ủ a h ai te n x ơ th à n h p h ầ n , c ó s ố lầ n h iệ p b iế n b ằ n g tổ n g số lầ n h iệ p

* P hép tinh đôi xíủig h oà và p h à n đôi xứng hoá

G iả s ừ c ó m ộ t te n x ơ h ạ n g hai T J T a c ó th ể v iết n h ư sau:

T j = — ,( T J + T ji) + - ,(T j - T JI) = T 0 + T „ (2 1 9 )

với: T 0 = — (T J + TJ1), T , = — (T iJ - Tji) T 0 là m ộ t te n x ơ đ ố i x ứ n g vớ i h ai c h ỉ s ố i

v à j, n g h ĩa là k h ô n g đ ổ i k h i đ ổ i c h ỗ h a i c h í s ố i v à j T , là m ộ t te n x ơ p h ả n đ ố i x ứ n g với h a i c h i s ố i v à j , n g h ĩa là đ ổ i d ấ u k h i đ ổ i c h ỗ h a i c h ỉ s ố i v à j

N h ư v ậy , với m ộ t te n x ơ h ạ n g h ai, ta lu ô n tá c h đư ợ c th à n h h ai te n x ơ c ù n g

Tích vô hướng của hai ten x ơ h ạng hai T và u

T u = T mkẽ m ® ẽ k U prẽ p ® ẽ r = T

( 2 . 22 )

Chú ý rằng: với các ten x ơ có hạng ló n hơn m ột, tích vô hướng không còn tính chất giao hoán: T u * U.T

+ T enxơ liên hợp của ten x ơ m etric gịj

Gọi g là định thức cùa gij, giả sừ g * 0 T en x ơ liên hợp của gij là:

gvới k ij là phần phụ đại số ứng với phần tử (i, j) củ a gtj: k 1J = (—l ) i+i Mjị

Mj| là định thức con của gjj sau k hi bỏ đi hàng thứ j và cột thứ i.

gu là m ột tenxơ hạng hai phản biến và đối xứng, nó liên hợp với gjj hay còn gọi là nghịch đảo của gjj

Nhờ cấc tenxơ m etric gy và ten x ơ liên hợp g ij ta có thể thực hiện được phép nâng hay hạ chỉ sô' của m ột tenxơ

* Tính vectơ của hai tenxơ

+ Tenxơ Levi - chivita s ijk có cấc th àn h phần được xác định như sau: eijk = 0 nếu có hai chì số trùng nhau

s ijk = 1 nêu i * j * k và có số lần hoán vị chẵn để về thứ tự 1, 2, 3.

(2.261

e ijk đ ư ợ c s ử d ụ n g sẽ g iú p c h ú n g ta th u ậ n lợ i ừ o n g tín h to á n tíc h v e c tơ n h ờ c ác

s ở n ê n c h ú n g ta c ầ n x e m lạ i k ĩ c h ư ơ n g 1 đ ể p h â n b iệ t rõ v e c tơ c ơ s ở v à v e c tơ đ ơ n

vị Đ ể dễ theo dõi, chúng tôi cũng xin bạn đọc lưu ý một số cóng thức về vectơ cơ

b M ột sô'bài tập m ẫu điển hình

* Dạng bùi 1: V iết l u ậ t b i ế n đ ổ i của c á c t h à n h p h ầ n c ủ a m ộ t t e n x ơ (h a y CÒI

Khi đổi từ hệ tọa độ x k sang hệ tọa độ q \ ẽ; đổi sang E Ị, TpJq đổi sang T"'

có công thức tính như sau

Bài mầu: Chứng tò rằng vận tốc của m ột điểm trên dòng chất lỏng là mội tenxơ phản biến hạng một

Giải: Các thành phần của vận tốc của m ột điểm trên dòng chất lỏng có công

Công thức này thỏa m an định n ghĩa vectơ => vận tốc củ a m ột điếm trên dòng chất lỏng là m ột tenxơ phản biến hạng m ột

* Dạng bài 3: Đ ổi m ột vectơ hay m ột ten x ơ từ hệ tọ a độ D escartes sang hệ tọa độ cong và ngược lại

Bùi mẫu: Đ ổi vectơ r = X.T + y j + z.k từ h ệ t ọ a độ D escartes sang hệ tọ a độtrụ

Giải: Pliép biến đổi tọa độ trong hệ tọa độ trụ