Một phương pháp số tích phân trực tiếp phương trình chuyển động trong bài toán động lực học kết cấu

Với mục đích như trên, phương pháp nghiên cứu để giải quyết vấn đề được mô tả như sau: thiết lập các công thức của phương pháp mới dựa vào ý tưởng ngoại suy trong hai bước thời gian; sa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Chuyên ngành : Thiết kế và Xây dựng dân dụng, công nghiệp,

nông nghiệp và các công trình khác

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục các ký hiệu iii

1.3 Tổng quan về các phương pháp tích phân trực tiếp 9

Chương 2- PHƯƠNG PHÁP GIA TỐC TỔ HỢP

2.1 Giới thiệu 23 2.2 Ý tưởng 23 2.3 Công thức 25 2.4 Điều kiện ban đầu suy rộng 30

3.2 Ý tưởng 54 3.3 Phương trình chuyển động - độ cứng cát tuyến 55

3.4 Phương pháp tích phân trực tiếp 57

3.8 Thuật toán giải bài toán phi tuyến 66

Chương 4- THÍ DỤ MINH HOẠ 70

4.1 Giới thiệu 70 4.2 Sự ổn định - hội tụ 70

4.3 Xác nhận kết quả theo phương pháp Newmark 74

BÀI BÁO ĐÃ CÔNG BỐ TRONG ĐỀ TÀI 111

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng Luận án tiến sĩ này là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Đỗ Kiến Quốc Phần xây dựng các công thức đều được biến đổi chính xác Kết quả tính toán số là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2007

Người cam đoan

Nguyễn Trọng Phước

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ sự cảm ơn chân thành người thầy hướng dẫn luận án này, PGS TS Đỗ Kiến Quốc Thầy đề nghị ý tưởng, hướng dẫn rất tận tâm, chu đáo, chuẩn mực và luôn động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án Hơn nữa, thầy đã phát hiện, bồi dưỡng, tin tưởng và hướng tôi trở thành thầy giáo đại học; tôi vô cùng biết ơn và luôn ghi nhớ sâu sắc sự dìu dắt này

Tôi cũng gửi lời cảm ơn Bộ môn Sức bền Kết cấu, Trường Đại học Bách khoa, cơ quan mà tôi đang công tác Các thầy cô của Bộ môn, đặc biệt là PGS TS Chu Quốc Thắng, PGS

TS Bùi Công Thành, PGS TS Nguyễn Thị Hiền Lương, đã hổ trợ tích cực tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân tiện đây, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ rất hiệu quả, kịp thời của Phòng đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Bách khoa; Ban đào tạo Sau đại học - Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Sự kính trọng của tôi cũng xin được gửi đến các ý kiến trong các tài liệu tham khảo, các bài viết này đã giúp tôi rất nhiều trong suốt quá trình nghiên cứu

Và cuối cùng, tôi muốn chia sẻ kết quả này với bố mẹ tôi, những người đã sinh ra và luôn cố gắng cho tôi một cuộc sống tốt nhất

Xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2007

Nguyễn Trọng Phước

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

t , tΔ thời gian, bước thời gian

τ biến thời gian trong phương trình gia tốc, vận tốc, chuyển vị trong

từng bước thời gian −Δt ≤τ ≤ Δt

i số nguyên, thể hiện giá trị của các đại lượng tại thời điểm t

f véc tơ lực đàn hồi, kích thước là N×1

m khối lượng của hệ một bậc tự do

k hệ số độ cứng cát tuyến giữa hai thời điểm i và i+1

u véc tơ chuyển vị, kích thước là N×1

u& véc tơ vận tốc, kích thước là N×1

u&& véc tơ gia tốc, kích thước là N×1

u véc tơ đạo hàm cấp năm của chuyển vị, kích thước là N×1

R sai số của nghiệm gần đúng

P véc tơ tải trọng hiệu dụng, kích thước là N ×1

u , u chuyển vị và vận tốc của hệ một bậc tự do &

u&& gia tốc của hệ một bậc tự do

p biên độ của lực điều hoà tác dụng lên hệ một bậc tự do

ω ,ω tần số vòng tự nhiên của hệ một bậc tự do, của tải trọng f

3 2

) ( ), ( ),

1 t q t q t

q ba tọa độ suy rộng, chuyển vị của 3 modes dao động

) ( ), ( ),

1 t q t q t

) ( ), ( ),

T thời gian tác dụng của tải xung, thời gian pha dương của tải trọng nổ

q bậc của độ chính xác của nghiệm gần đúng

Ω tỉ số của bước thời gian và chu kỳ dao động của hệ

Φ ma trận các modes dao động trực chuẩn

eff

P

Δ số gia của tải trọng hiệu dụng trong mỗi bước thời gian

{ }Ui véc tơ trạng thái diễn tả phản ứng của hệ tại thời điểm i

{ }εi đại lượng diễn tả sự thay đổi (nhiễu) của phản ứng tại thời điểm i

{Ui+1} véc tơ trạng thái diễn tả phản ứng của hệ tại thời điểm i+1

{ }εi+1 đại lượng diễn tả sự thay đổi (nhiễu) của phản ứng tại thời điểm i+1

[ ]A ma trận khuếch đại

[ ]L véc tơ các hệ số của tải trọng

4 3 2

A giá trị lớn nhất của chuyển vị theo nghiệm gần đúng và chính xác

θ trọng số tổ hợp của hàm cos hyperbolic và cos lượng giác

ρ hệ số trong công thức mới của độ cứng cát tuyến

DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ

Đồ thị 2.1 Sự biến thiên của gia tốc trong hai bước thời gian 25

Đồ thị 2.2 Giá trị bán kính phổ với bước thời khi θ = 0 41

Đồ thị 2.3 Giá trị bán kính phổ với bước thời khi θ = 0 26 41

Đồ thị 2.4 Giá trị bán kính phổ với bước thời khi θ = 1 41

Đồ thị 3.1 Độ cứng cát tuyến, tiếp tuyến 57

Đồ thị 3.2 Ứng xử của hệ mềm hoá, độ cứng giảm dần 59

Đồ thị 3.3 Ứng xử của hệ cứng hoá, độ cứng tăng dần 60

Đồ thị 3.4 Xấp xỉ cung tròn của quan hệ lực - chuyển vị 61

Đồ thị 4.1a Với

10 ,

99 0

05 1

75 0

%,

Đồ thị 4.1d Sai số tính sau 200 chu kỳ với

10 ,

5 1

05 1

6 0

%,

Đồ thị 4.2a Nghiệm chính xác và nghiệm theo Newmark với

10s1

t = ≈

Đồ thị 4.3b Sai số tuyệt đối nghiệm gần đúng 78

Đồ thị 4.3c Sai số tuyệt đối cực đại theo trọng số tổ hợp θ 78

Đồ thị 4.3d Sai số tuyệt đối với các trọng số tổ hợp θ 79

Đồ thị 4.3e, f Sai số tương đối đỉnh dương và đỉnh âm với bước thời gian 79

Đồ thị 4.3g Thời gian tính với số bước thời gian 79

Đồ thị 4.3h Sai số tương đối với thời gian tính 80

Đồ thị 4.4a Nghiệm với β = 0 975 ;ζ = 1 %

13 s 075

t = ≈ Δ

t = ≈

Đồ thị 4.5a Tải trọng nổ 83

Đồ thị 4.5c Nghiệm chuyển vị với

10 s 00015

Đồ thị 4.5e Thời gian tính với số bước thời gian 84

Đồ thị 4.5f Sai số tương đối với thời gian tính 84

Đồ thị 4.6a Gia tốc nền của trận động đất Petrolia Δt =0.02s 87

Đồ thị 4.6b Tải trọng bậc nhất 87

Đồ thị 4.6c Tải trọng bậc 2 tiến 87

Đồ thị 4.6e Chuyển vị của hệ theo thời gian 87

Đồ thị 4.7a Chuyển vị với

10s1

t = =

Đồ thị 4.8a Nghiệm chính xác của chuyển vị các tầng 92

Đồ thị 4.8b Chuyển vị tầng trên u1 với

20s02

Đồ thị 4.8c Sai số tuyệt đối u1 với bước thời gian 92

Đồ thị 4.8d và 4.8e Sai số tương đối đỉnh dương, đỉnh âm 93

Đồ thị 4.8f Sai số tuyệt đối của chuyển vị với các trọng số tổ hợp 93

Đồ thị 4.9a Gia tốc nền của trận động đất Yermo 95

Đồ thị 4.9b Chuyển vị các tầng từ 0 - 40 s phương pháp GTTH Cosh-Cos 95

Đồ thị 4.9c Chuyển vị tầng trên cùng theo 5 phương pháp khác nhau 95

Đồ thị 4.10a Nghiệm hội tụ từ 3 phương pháp khác nhau

1000s

0002

Đồ thị 4.11a Nghiệm đã hội tụ từ 3 phương pháp khác nhau 99

Đồ thị 4.11b và 4.11c Sai số tương đối đỉnh dương, đỉnh âm 100

Đồ thị 4.11d Sai số tuyệt đối của độ cứng với

5002

Đồ thị 4.11e Khảo sát độ nhạy hệ số ρ đến sai số tuyệt đối cực đại 100

Đồ thị 4.12a Nghiệm đã hội tụ từ 3 phương pháp khác nhau 101

Đồ thị 4.12b và 4.12c Sai số tương đối đỉnh dương và đỉnh âm 102

Đồ thị 4.12d Sai số tuyệt đối của độ cứng với

200005

Đồ thị 4.13a Nghiệm chính xác của chuyển vị các tầng 105

Đồ thị 4.13b Sai số tương đối của chuyển vị lớn nhất của tầng trên cùng 105

Đồ thị 4.13c Thời gian tính với số bước thời gian 106

Đồ thị 4.13d Sai số tương đối với thời gian tính 106

Đồ thị 4.13e Sai số tương đối với thời gian tính 106

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT,

HÌNH VẼ, BẢNG BIỂU

Chữ viết tắt

Động lực học kết cấu (ĐLHKC) Phương trình chuyển động (PTCĐ)

Tích phân trực tiếp (TPTT)

Gia tốc tổ hợp Cos hyperbolic và Cos lượng giác (GTTH Cosh-Cos)

Hình vẽ

Hình 2.1 Quá trình tìm nghiệm theo phương pháp GTTH Cosh-Cos 31

Hình 2.2 Sự ổn định nghiệm của phương pháp tích phân trực tiếp 34

Hình 2.3 Quá trình tìm nghiệm số của phương pháp GTTH Cosh-Cos 35

Hình 2.4 Minh họa độ lớn bước thời gian so với chu kỳ 49

Hình 4.1 Xung hình sin của tải trọng 74

Bảng 1.1 Một số trường hợp của phương pháp Newmark 12

Bảng 1.2 Các trường hợp riêng của phương pháp SSpj 17

Bảng 4.1 Kết quả của chương trình từ Luận án và Chopra 76

Bảng 4.2 Chuyển vị lớn nhất của hệ theo 5 lời giải 86

Bảng 4.3 Chuyển vị lớn nhất của tầng trên cùng theo 5 lời giải 94

MỞ ĐẦU

Trong bài toán tìm ứng xử của hệ kết cấu, quá trình phân tích tĩnh đôi khi không đủ để suy ra được phản ứng thực chất của hệ; lúc này sự phân tích động lực học là cần thiết Thực tế, ít có tải trọng nào tác dụng lên kết cấu là thật sự tĩnh Nếu thời gian tác dụng của tải trọng hay sự biến thiên của nó rất dài so với chu kỳ dao động tự nhiên của hệ kết cấu, thì sự phân tích động lực học không cần thiết, và phân tích tĩnh là đủ Tuy nhiên, khi thời gian tác dụng của tải trọng hoặc sự biến thiên của

nó là tương đối nhanh hoặc cùng bậc so với chu kỳ dao động của hệ, dẫn đến lực quán tính và lực cản hiện diện đáng kể, thì sự phân tích động lực học phải được thực hiện để thu được ứng xử của hệ chính xác hơn Tải trọng biến thiên như vậy

gọi là tải trọng động Thí dụ về bài toán động lực học kết cấu (ĐLHKC) là rất nhiều Tải trọng động thường được sinh ra bởi 4 nguyên nhân như sau: môi trường như tải trọng gió bão, động đất, sóng biển; sự hoạt động của máy móc; sự chuyển

động các phương tiện giao thông; áp suất bom nổ Một số bài toán ĐLHKC phổ

biến hiện nay đang thu hút được sự nghiên cứu như: kết cấu hạ tầng: nhà cửa, nhà

nhiều tầng, cầu dây văng chịu tác dụng của gió bão, động đất, đánh bom, phương

tiện giao thông; hệ thống cầu cạn của đường tàu điện chịu động đất, xe chạy; kết

cấu dàn khoan chịu tác dụng của sóng biển, động đất, …

Phân tích ĐLHKC là tìm ứng xử của kết cấu dưới các tác dụng động Trình

tự của quá trình giải quyết có thể được mô tả thành 4 bước như sau:

- Lựa chọn sơ đồ tính (Analytical Model) của hệ, mô hình hóa nguyên nhân

- Thiết lập phương trình chủ đạo

- Giải phương trình chủ đạo

- Cuối cùng, tìm phản ứng của hệ kết cấu để hoàn chỉnh bài toán

Ở đây bước thiết lập và giải phương trình chủ đạo chiếm khối lượng việc rất lớn

trong toàn bộ quá trình phân tích Cho đến nay, vấn đề thiết lập phương trình chủ

đạo, phương trình này là phương trình (hoặc hệ) vi phân cấp hai ứng với hệ kết cấu

có một (hoặc nhiều) bậc tự do, luận án này gọi là “phương trình chuyển động (PTCĐ)”, đã được nghiên cứu gần như hoàn chỉnh Giải PTCĐ là công việc tốn

nhiều công sức nhất do sự phức tạp của hệ, tải trọng và những hạn chế của các công

cụ tính toán Các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích chỉ thực

hiện được trên các PTCĐ tương đối đơn giản, ít bậc tự do

Từ đây, các phương pháp số thực sự là công cụ rất hiệu quả để giải PTCĐ,

đặc biệt khi có sự hỗ trợ tính toán nhanh của máy vi tính Tuy nhiên, công sức để giải phương trình chuyển động là khá lớn, nhiều bài toán thực tế máy tính phải mất hàng giờ, thậm chí hàng chục giờ để xử lý và tốn rất nhiều dung lượng để lưu trữ Hoàn thiện và phát triển phương pháp số vẫn đang là vấn đề thu hút được sự quan tâm rất nhiều nhà khoa học Có rất nhiều bài báo trong lĩnh vực này được công bố trong những năm gần đây và ngay hiện tại nó vẫn là một hướng đi có tính thời sự

trong lĩnh vực ĐLHKC Đây cũng chính là lý do để đề tài này chọn hướng nghiên cứu là “phương pháp số tích phân trực tiếp phương trình chuyển động trong

bài toán động lực học kết cấu”

Phương pháp số giải PTCĐ trong bài toán ĐLHKC được gọi là phương pháp

tích phân trực tiếp (TPTT) - (Direct Time Integration Method) PTCĐ được tích phân bằng quá trình từng bước (Step by Step Procedure) để tìm lời giải Thuật ngữ

“trực tiếp” có nghĩa là phép tích phân được thực hiện mà không có biến đổi biểu thức trong phương trình chuyển động Đặc tính quan trọng của phương pháp TPTT

đó là độ chính xác của nghiệm phụ thuộc vào độ dài bước thời gian Vì vậy, để độ chính xác của lời giải thoả mãn yêu cầu đặt ra thì bước thời gian thường phải đủ nhỏ, dẫn đến khối lượng tính toán khá lớn Ngược lại, lời giải kém chính xác hơn khi bước thời gian tăng lên, và tất nhiên khối lượng tính được giảm đi

Hiện nay, có khá nhiều phương pháp đã được xây dựng Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng, nhưng cũng có rất nhiều hạn chế về sự hiệu quả trong quá trình tính Xem xét những thuận lợi và khó khăn của các phương pháp TPTT đã

có trước đây và các nghiên cứu về phương pháp trong thời gian gần đây thể hiện

tính thời sự của vấn đề này và hơn nữa công sức để giải PTCĐ là rất lớn, mục đích

nghiên cứu của luận án này gồm hai phần được trình bày như sau:

1 Xây dựng một phương pháp số mới tích phân trực tiếp PTCĐ trong bài

toán ĐLHKC Phương pháp này dựa vào ý tưởng xấp xỉ gia tốc của hệ trong hai bước thời gian, sự biến thiên của gia tốc được giả thiết bởi sự tổ hợp theo trọng số

của hàm cos hyperbolic (hyperbolic cosine - cosh) và cos lượng giác (trigonometric cosine - cos) Giá trị của nghiệm tại thời điểm i+1 được suy từ các giá trị của nghiệm đã biết tại hai thời điểm trước là i và i−1 Phương pháp được xây dựng này

được gọi tên là “phương pháp gia tốc tổ hợp cos hyperbolic và cos lượng giác”

(Phương pháp GTTH Cosh-Cos)

2 Phần thứ hai của luận án là thiết lập mới công thức để xác định đặc trưng

độ cứng cát tuyến áp dụng trong các phương pháp TPTT giải PTCĐ của bài toán

ĐLHKC có ứng xử phi tuyến Đặc trưng độ cứng cát tuyến giữa hai thời điểm và

cũng được ngoại suy trong hai bước thời gian bởi các độ cứng tiếp tuyến đã biết tại hai thời điểm trước là i và

i theo cung tròn Công thức mới thiết lập phần

này kết hợp với phần thứ nhất hoàn chỉnh phương pháp TPTT mới trong bài toán ĐLHKC cả tuyến tính và phi tuyến

Với mục đích như trên, phương pháp nghiên cứu để giải quyết vấn đề được

mô tả như sau: thiết lập các công thức của phương pháp mới dựa vào ý tưởng ngoại suy trong hai bước thời gian; sau đó sử dụng các công cụ toán học như công thức Taylor, bán kính phổ để đánh giá một số đặc tính của phương pháp; và cuối cùng là kiểm chứng lại thiết lập lý thuyết bằng một số thí dụ số

Có thể đánh giá rằng việc xây dựng phương pháp mới để giải PTCĐ trong

bài toán ĐLHKC rất có ý nghĩa cả về lý thuyết và thực tiễn Để xác định nghiệm

chính xác hơn của PTCĐ và không làm khối lượng công việc thực hiện trong quá trình giải phương trình tăng lên đáng kể, nhu cầu về một phương pháp TPTT có hiệu quả hơn về độ chính xác để giảm bớt thời gian, khối lượng tính và dung lượng lưu trử trong bộ nhớ máy vi tính nhưng vẫn thoả mãn độ chính xác được yêu cầu rõ ràng là rất cần thiết trong việc phát triển lý thuyết tạo sự đa dạng trong lựa chọn phương pháp giải PTCĐ

Ngoài ra, đây cũng là yêu cầu của cả thực tiễn Có những bài toán ĐLHKC

số bậc tự do tương đối lớn, hơn nữa tải trọng phụ thuộc nhiều yếu tố như gia tốc nền động đất, sóng biển, gió bão, … dẫn đến rất nhiều mô hình biến thiên theo thời gian được mô phỏng Vì vậy khối lượng tính toán để giải PTCĐ trong các bài toán trên

là rất lớn đến mức các siêu máy vi tính hiện nay cũng thực hiện chưa triệt để do độ dài của bước thời gian phải nhỏ để đảm bảo độ chính xác cần thiết

Sau đây là sơ lược nội dung của luận án Tổng quan về tình hình nghiên cứu

liên quan cùng với những đánh giá các phương pháp TPTT đã có được nêu trong chương 1 Chương 2 xây dựng phương pháp gia tốc tổ hợp cos hyperbolic và cos lượng giác, một số tính chất của phương pháp cũng được khảo sát trong chương này Công thức mới để xác định độ cứng cát tuyến trong bài toán phi tuyến được trình bày trong chương 3 Chương 4 thực hiện các thí dụ bằng số dựa trên cơ sở lý thuyết được xây dựng trong chương 2 và 3 Cuối cùng là kết luận của luận án

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU

1.1 GIỚI THIỆU

Chương này trình bày tổng quan về các phương pháp số tích phân trực tiếp

(TPTT) phương trình chuyển động (PTCĐ) trong bài toán ĐLHKC của các tác giả

khác Để đề cập đến các phương pháp, PTCĐ của hệ được thể hiện lại và một số đặc

trưng chủ yếu của phương pháp TPTT như: sự ổn định, độ chính xác, tương thích,

hội tụ, tự khởi động, thời gian tính cũng được nhắc lại khái niệm Từng phương

pháp trình bày được tìm hiểu dựa vào một số tiêu chí như: ý tưởng, cách xây dựng,

hiệu quả khi tính toán, khối lượng tính, mức độ phổ biến, …

1.2 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG - ĐẶC TÍNH PHƯƠNG PHÁP

1.2.1 Phương trình chuyển động

Xét hệ kết cấu chịu tải trọng động Với sơ đồ tính của hệ được chọn, dựa vào

sự cân bằng của các lực tác dụng lên mỗi bậc tự do, phương trình cân bằng lực trên

mỗi bậc tự do tại thời điểm t được thiết lập là

)()()()(t D t S t t

Trong đó và lần lượt là các véc tơ lực quán tính, lực cản,

lực đàn hồi và tải trọng tại thời điểm

)(),(),(t D t S t

, đều có kích thước là N×1, với N là số bậc

tự do động lực học của hệ Gọi và lần lượt là các véc tơ gia tốc, vận tốc và

chuyển vị của hệ, kích thước cũng là

u

u &&& , u

,1

×

N và chúng cũng là những đại lượng phụ thuộc thời gian Các véc tơ lực trong (1.1) được biểu diễn như sau

)()(

)()(

u , u f f

u , u f f

u M u f f

D D

I I

t t t

Ở đây M là ma trận khối lượng của hệ, kích thước là N×N. Phương trình (1.1), sau

khi thay (1.2), được viết lại dưới dạng là

)()()

D u , u f u , u P f

u

Tùy vào đặc tính và ứng xử của hệ kết cấu đã cho, phương trình (1.3) có thể là

tuyến tính hoặc phi tuyến Đây là phương trình vi phân thường cấp hai Khi hệ ứng

xử tuyến tính, phương trình (1.3) có dạng đơn giản hơn như sau

)()()

()(t C u t Ku t P t

u

Trong đó lần lượt là các ma trận độ cứng và cản của hệ, kích thước cũng là

Các phương trình (1.3) hoặc (1.4) gọi là phương trình chuyển động trong bài

toán ĐLHKC Với điều kiện ban đầu tại

C K,

biết, giải PTCĐ tìm được giá trị của nghiệm Đây là bài toán giá trị ban đầu (Initial

Value Problems) [52], [83] Thực ra, phương trình (1.3) hoặc (1.4) là một hệ gồm

N phương trình vi phân

Nghiệm số của phương trình được tìm dưới dạng giá trị rời rạc tại các thời

điểm 0 ,Δt ,2Δt, với t Δ là bước thời gian Để đơn giản, chỉ số i được định nghĩa

để thể hiện giá trị các đại lượng tại các thời điểm rời rạc theo thời gian, thí dụ:

1 1

2 2

1 1

)(

;)

(

;

)2(

;)

2(

;

)(

;)

(

)(

;)(

;)(

;)(

−

−

+ +

+ +

=Δ

−

=Δ

−

=Δ+

=Δ+

=Δ+

=Δ+

i i

i i

i i

i i

t t t

t

t t t

t

t t t

t

t t

t t

u u

u u

u u

u u

u u

u u

P P

u u u u

u u

u

1.2.2 Đặc tính của phương pháp tích phân trực tiếp

Một số đặc tính của phương pháp TPTT được quan tâm trong quá trình giải

PTCĐ như: ẩn và hiện, độ chính xác, khả năng áp dụng, sự ổn định, hội tụ, khối

lượng tính được trình bày sơ lược lại như sau:

a Phương pháp hiện, ẩn (Explicit, Implicit)

Quá trình tìm nghiệm của PTCĐ bằng phương pháp TPTT được thể hiện

dưới công thức tổng quát như sau

m

j j i j

m

j j i j i

Δ+

=

Δ+

= +−

= +−+

u

u u

βα

trong đó j =0, ,m; m≤i+1 là số tự nhiên; và αj,βj,γ j,ηj là những hệ số Tuỳ

vào giá trị của β0,γ0, các phương pháp được phân ra làm hai nhóm [27], [49], [83]:

- Nếu β0 =0,γ0 =0 thì phương pháp được gọi là phương pháp hiện, nghiệm

tại i+1 được tính trực tiếp từ nghiệm đã biết tại i,i − i1, −2,

- Nếu β0 ≠0 hoặc γ0 ≠0 thì phương pháp được gọi là phương pháp ẩn,

chuyển vị tại được biểu diễn theo chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại

và (hoặc) vận tốc, gia tốc tại

1+

i

,2,1,i − i−

PTCĐ tại i+1 để xác định nghiệm của hệ

Theo [53], các phương pháp hiện (Explicit) có khối lượng tính toán ít hơn

phương pháp ẩn (Implicit) nhưng độ chính xác kém hơn

b Độ chính xác (Accuracy)

Khái niệm độ chính xác của phương pháp TPTT được đặc trưng bởi sự khác

biệt giữa nghiệm gần đúng theo phương pháp TPTT và nghiệm chính xác Độ chính

xác tuỳ thuộc vào độ lớn bước thời gian Để đạt được độ chính xác yêu cầu thì bước

thời gian phải đủ nhỏ, điều này dẫn đến khối lượng tính toán lớn và ngược lại

Có thể thấy rằng đây là đặc tính quan trọng nhất của một phương pháp Để

xem xét được độ chính xác, sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác được

quan tâm Tất nhiên, sai số này cũng phụ thuộc vào bước thời gian và biểu diễn chi

tiết dưới dạng phụ thuộc vào bậc của bước thời gian là

(1.8) )

Một phương pháp được gọi là ổn định nếu một sự biến thiên (nhiễu) hữu hạn

của nghiệm tại thời điểm dẫn đến sự biến thiên (nhiễu) không tăng của nghiệm tại

thời điểm , và tất nhiên nhiễu tại các thời điểm sau đó

i

1+

[14], [49]

Đây là một đặc tính rất quan trọng của phương pháp, quyết định có dùng

được phương pháp hay không bởi vì trong quá trình tính toán luôn luôn có hiện

tượng nhiễu của nghiệm gần đúng

d Sự hội tụ (Convergence)

Sự hội tụ của nghiệm là trong quá trình tính toán khi giảm độ lớn của bước

thời gian xuống rất nhỏ thì nghiệm được tìm bằng phương pháp TPTT sẽ tiến về

nghiệm chính xác Đây là một đặc tính đảm bảo độ tin cậy của nghiệm

e Sự tự khởi động (Self Starting)

Một phương pháp mà khi tính chỉ cần điều kiện ban đầu tại thời điểm t =0

của bài toán thì đủ tìm nghiệm toàn quá trình mà không phải suy thêm điều kiện ban

đầu gọi là phương pháp tự khởi động Ngược lại tức là phương pháp không tự khởi

động và phải suy thêm điều kiện ban đầu để bắt đầu quá trình tính toán

f Sự tương thích (Consistency)

Một phương pháp được gọi là tương thích [49] là khi sai số của nghiệm theo

phương pháp đó phải được biểu diễn theo độ dài của bước thời gian có dạng như

(1.8) với q≥1

g Thời gian tính (CPU time)

Thời gian chạy của máy tính là số thời gian mà máy tính tiêu hao để giải

PTCĐ trong một bài toán Thường thì thời gian để máy tính chạy tương đối lớn, mất

hàng giờ, thậm chí hàng chục giờ với những bài toán thực tế Đây là một đặc trưng rất quan trọng của một phương pháp, liên quan đến hiệu quả kinh tế trong việc lựa chọn phương pháp giải PTCĐ

Trên đây là những đặc tính tương đối quan trọng của một phương pháp TPTT Tuy nhiên, còn một số đặc tính khác có thể phụ thuộc hoặc không phụ thuộc vào các đặc tính đã trình bày ở trên như số lượng các phép tính trong mỗi bước thời gian, khối lượng công việc thực hiện, độ phức tạp thuật toán, khả năng ứng dụng,… kém quan trọng hơn Các đặc tính vừa trình bày được xem như là các tiêu chí đánh giá mức độ hiệu quả của một phương pháp

1.3 TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TRỰC TIẾP

Việc tìm nghiệm PTCĐ trong bài toán ĐLHKC đã được nghiên cứu từ khá lâu, nhưng dùng phương pháp TPTT để giải thực sự phát triển trong khoảng vài chục năm nay khi có sự trợ giúp của máy tính Có khá nhiều phương pháp đã được nghiên cứu và áp dụng trong thực tiễn

Bắt đầu bằng việc sử dụng quan hệ hàm số và đạo hàm của nó trong từng bước theo ý tưởng Euler, một số phương pháp được xây dựng như là phương pháp Euler hiện và ẩn được trình bày trong [2], [3], [6], [23] Thuật toán của các phương pháp này khá đơn giản, dễ dàng áp dụng tuy nhiên độ chính xác của nó không cao

và hơn nữa phải hạ bậc của PTCĐ trong quá trình giải nên không tiện lợi lắm trong bài toán ĐLHKC Ý tưởng này là bước đầu để thiết lập nên các phương pháp TPTT Năm 1991, Hahn [51] có sử dụng ý tưởng này để thiết lập nên phương pháp Euler

hiệu chỉnh (Modified Euler Method) trong bài toán ĐLHKC có 1 bậc tự do và đã

nghiên cứu một số đặc tính như khả năng áp dụng, ổn định nghiệm của phương pháp này nhưng sự hiệu quả vẫn chưa cải thiện được đáng kể nên không thấy nhắc lại trong các nghiên cứu sau này Năm 1996, Sivakumar [79], Ramos [73] dựa vào quan hệ giữa hàm số và đạo hàm trong một bước thời gian thiết lập nên phương

pháp tích phân phi tuyến (Nonlinear Integration Formula), thay đạo hàm tại thời

điểm i bằng các biểu thức phi tuyến gồm đạo hàm tại thời điểm i và thời điểm i+1thông qua tham số θ Các đánh giá về sự ổn định và độ chính xác của phương pháp này cũng được thực hiện trên phương trình vi phân bậc nhất và tham số θ để đạt độ chính xác tốt nhất cũng đã được nghiên cứu Tuy nhiên, bản chất của phương pháp tích phân phi tuyến này chỉ là thay đổi đạo hàm tại thời điểm bởi các biểu thức khác của đạo hàm tại thời điểm và thời điểm

i

i i+1 để bao trùm các phương pháp trước đó và sự hiệu quả vẫn không cải thiện đáng kể

Phương pháp Runge Kutta bậc 4 được trình bày trong [2], [6], [7], [23], [36] khắc phục bớt những tồn tại của phương pháp Euler Đây là bước phát triển rất mạnh về sự hiệu quả Trong bài toán ĐLHKC thì phương pháp này cũng cho kết quả khá tốt khi giải PTCĐ, có thể hạ bậc [5] hoặc giải trực tiếp dạng bậc 2 của phương trình Quá trình giải không hạ bậc được nêu bởi Walker [83], trong mỗi bước thời gian, từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm suy ra nghiệm tại i i+1 Đây là một phương pháp hiện; tự khởi động; độ chính xác rất tốt; có thể thay đổi bước thời gian trong quá trình tính; trong trường hợp xấu nhất thì sai số của nó cũng không quá nghiêm trọng Tuy vậy, phương pháp này chỉ phù hợp khi hệ có 1 bậc tự

do, nên khả năng áp dụng trong bài toán kết cấu thật thì theo Walker [83] (2003) và [84] (2005) cũng còn rất hạn chế, do khối lượng tính quá nặng nề vì phải suy ra nhiều đại lượng trung gian để xác định được nghiệm của hệ tại cuối bước thời gian, phải thực hiện phép tính lặp 4 lần trong một bước thời gian, thực ra rất khó áp dụng trong hệ có bậc tự do lớn hơn 1 Một số đặc tính của phương pháp này vẫn chưa được nhận dạng rõ ràng mà chỉ trong các trường hợp riêng Gần đây, sự phát triển của phương pháp và nhận dạng các đặc tính của nó cũng thu hút rất nhiều: trong [10], [40] nghiên cứu sự ổn định của nghiệm sau khi đã hiệu chỉnh công thức; trong [21], [47], [82] xây dựng nên các phương pháp mới biến đổi thành phương pháp ẩn

và tổng quan một số ứng dụng, trong [23] ( 2003) trình bày sơ đồ để phát triển nâng bậc phương pháp Runge Kutta Trên các tạp chí toán trình bày rất nhiều về hướng phát triển của phương pháp này như [64], [65]

Xuất phát từ hướng nghiên cứu khác, đó là xấp xỉ các biểu thức của chuyển

vị và vận tốc trong từng bước thời gian để xây dựng các phương pháp TPTT từng

bước trong bài toán ĐLHKC Hướng này tỏ ra rất phù hợp để giải PTCĐ Sự hiệu

quả trong ứng dụng của các phương pháp TPTT theo hướng xấp xỉ này là rất cao

Bắt đầu hình thành ý tưởng khoảng từ 1960, phát triển khá nhiều khoảng thập niên

1980, đến nay đã có rất nhiều phương pháp được nghiên cứu và triển khai ứng

dụng, đặc biệt trong những năm rất gần đây thì các nghiên cứu theo hướng này liên

tục được công bố trên các tạp chí trong lĩnh vực động lực học, cơ học kỹ thuật, tính

toán kết cấu,…

Năm 1959, Newmark [69] đã đề xuất họ phương pháp TPTT trong bài toán

ĐLHKC Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm

suy ra giá trị của nó tại bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia

tốc Đây là phương pháp rất nổi tiếng và cũng rất tổng quát Các công thức cơ bản

được trình bày như sau

i

1+

i

1 1 1

1

1 2 2

1

1 1

21

)1(

+ + +

+

+ +

+ +

=+

+

Δ+Δ

=

Δ+Δ

−+

=

i i i

i

i i

i i i

i i

i i

t t

t

t t

P Ku u

C u M

u u

u u u

u u

u u

γγ

(1.9)

Với γ,β là các thông số của phương pháp Newmark Sự thay thế 2 phương trình

đầu của (1.9) vào phương trình thứ 3 thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với

ẩn số là gia tốc tại thời điểm i+1 là u&&i+1 dưới dạng

eff 1 effu P

−Δ

−+

−

=

Δ+Δ+

=

t t

u u

u K u u

C P P

K C

M M

2 eff

2

1)

1

βγ

(1.11)

Tính lặp các phương trình (1.9), (1.10), và (1.11) trong từng bước thời gian, nghiệm của hệ tại các thời điểm rời rạc được tìm Thực ra thì Newmark chỉ đề xuất công thức tổng quát Các nghiên cứu của các tác giả khác Bathe [14] (1973) và Bathe [15] (1996), đã đánh giá độ chính xác và độ ổn định của nghiệm; Buchholdt [22] (1997), Chopra [27] (2001), Clough [29] (1993), Cook [32] (2003) cho rằng phương pháp này có độ chính xác rất tốt và các đặc tính của nó cũng được xem xét tương đối đầy đủ Đây là phương pháp ẩn hoặc hiện, giá trị của nghiệm đã biết tại suy ra giá trị nghiệm tại bằng các giả thiết của hàm gia tốc Một số trường hợp đặc biệt của Phương pháp Newmark được tổng hợp trong [41], [67], [95] qua thông

số

i

1+

i

β

γ, và các đánh giá đặc tính được trình bày trong bảng 1.1

Bảng 1.1 Một số trường hợp của phương pháp Newmark

Ngoài ra, trong [89], [96] đề cập thêm về một số giá trị khác của thông số β

γ, trong phương pháp là γ = 0 6 ,β = 0 3025 ;γ = 0 9 ,β = 0 45 ;γ = 0 9 ,β = 0 49 cũng tương đối hiệu quả và có thể áp dụng được Các phần mềm phân tích kết cấu và hệ thống phổ biến được biết như SAP, ANSYS, ETABS, SAMCEF, … cũng sử dụng thuật toán của Newmark trong mô đun phân tích ứng xử động lực học Phạm vi áp dụng thì ngày càng rộng như kết cấu chịu bom nổ [43], gia tốc nền của các trận động đất, tiếng ồn trắng với những mô hình kết cấu rất phức tạp cầu dây văng, hệ nhiều vật [17] và [26], truyền nhiệt [78], bài toán phi tuyến có đặc tính phức tạp [9],

[12] Hiện nay phương pháp này vẫn tiếp tục được nghiên cứu để nâng cao sự hiệu quả của lời giải thí dụ trong [11], [94], [97]

Dựa vào phương pháp gia tốc trung bình trong họ Newmark

4

1 , 2

gần đây Wu và Smolinski [92], [93] (2000) đề xuất phương pháp gia tốc trung bình

hiệu chỉnh (Modified Trapezoidal Rule Method) vẫn dùng các biểu thức xấp xỉ của

phương pháp Newmark và đạo hàm PTCĐ để xét đến tốc độ gia tăng của tải trọng nhưng độ chính xác chưa được cải thiện đáng kể

Năm 1997, Kim [61] đã phát triển một phương pháp tích phân trực tiếp bậc

cao 2, 4, 6, 8 (Higher Order Accurate and Unconditionally Stable Time Integration

Method) cũng được suy ra từ gia tốc trung bình của Newmark Sự thiết lập các bậc

cao này dựa vào sự nội suy trong một bước thời gian của hàm gia tốc theo đa thức bậc cao Lagrange, bao gồm các bậc 2, 4, 6, 8 Sự ổn định và hội tụ của phương pháp cũng được làm rõ Nhận xét rằng đây là một phương pháp dưới dạng ẩn, ổn định không điều kiện, có độ chính xác tốt hơn phương pháp Newmark, ý tưởng cũng lại tiếp tục dựa vào xấp xỉ sự biến thiên của chuyển vị, vận tốc và gia tốc theo dạng đa thức, muốn thiết lập bậc cao hơn cho đa thức thì dùng thêm những điểm trung gian bên trong bước thời gian Sự hiệu quả về thời gian tính với phương pháp Newmark chưa được so sánh, chỉ so sánh về độ chính xác, tất nhiên là chính xác hơn phương pháp Newmark, vì tính toán với bậc cao hơn Tuy nhiên khối lượng tính trong một bước thời gian thì rất lớn và phức tạp trong thuật toán Sự hiệu quả về thời gian tính chưa thấy đề cập đến

Một nhóm các phương pháp TPTT bằng cách hiệu chỉnh phương trình thứ 3 trong biểu thức (1.9) của phương pháp Newmark thêm những tham số như α trong [52], [53], phương pháp HHT (Hilber, Hughes, Taylor) và θ trong [52], [54]

phương pháp Collocation với mục đích làm cho sự tiêu tán (Dissipation) nhanh hơn

cho các dạng dao động cao Giá trị của tham số α và θ được nghiên cứu tỉ mỉ và

12)

1(2

≥

θ

θβθ

θ

HHT và Collocation đều là phương pháp ẩn, tự khởi động và ổn định có điều kiện

Từ cơ sở của phương pháp gia tốc tuyến tính Newmark, khoảng từ

1969-1973, Wilson [14], [87] đã đề xuất kéo dài thêm bước thời gian bằng cách nhân thêm hệ số θ để có được điều kiện ổn định tốt hơn, bước thời gian mới biến thành ,

Δ

θ gọi là phương pháp Wilson - θ Mọi công thức của phương pháp này được suy

ra từ phương pháp gia tốc tuyến tính của Newmark với bước thời gian được thay bằng θΔ .t Các đặc tính của phương pháp này tùy thuộc vào θ , ổn định không điều kiện nếu θ ≥1.37 Tuy nhiên những khảo sát của các tác giả gần đây như Bathe [15], Cannillo [24], Chopra [27], Clough [29], Krenk [62], Pegon [72], ngay cả của chính tác giả Wilson [14], thì phương pháp này có độ chính xác không tốt, hầu như sai số trong quá trình tính khá lớn, nên sự ứng dụng của phương pháp này không được phổ biến lắm Đây là một ý tưởng, nên các tài liệu về động lực học đều có trình bày lại phương pháp này nhưng ít ứng dụng vì độ chính xác

Wood, Bossak, Zienkiewicz -WBZ [89] và Adam, Wood [8] thêm tham số

B

α vào công thức của phương pháp Newmark (α Modification) để tạo ra một B

phương pháp TPTT với mục đích gia tăng độ ổn định của nghiệm nhưng cũng giống như phương pháp HHT độ chính xác không tăng thậm chí kém hơn trong một số trường hợp Đây là phương pháp ẩn, ổn định có điều kiện Kết quả sơ lược là nếu 0

=

B

α quay về với phương pháp Newmark, giá trị thường dùng αB =−0.1;αB =0.1,

độ chính xác từ các thí dụ số phương pháp α và phương pháp HHT cho kết quả là Bxấp xỉ nhau khi −0.1≤αB =αH ≤0 và phương pháp Bossak-α kém hơn nhiều khi B

.3.05

− αB αH

Các phương pháp Wilson, HHT, Collocation và phương pháp Felippa [39] thực ra được phát triển bởi nhóm nghiên cứu ở Đại học Berkeley gồm Hilber, Hughes, Taylor, Wilson, và Felippa vào khoảng thập niên 70 để đưa vào mô đun phân tích động lực học trong phần mềm SAP IV Nhận xét rằng thuật toán của các phương pháp này tương đối phức tạp hơn phương pháp Newmark một chút, độ chính xác cũng không tăng lên Tuy nhiên vì tính chất tiêu tán nên nó sử dụng tương đối tốt cho các modes dao động cao của hệ kết cấu có rất nhiều bậc tự do Vì sự hiệu quả này cũng không đáng kể lắm, nên SAP 2000 (version 9.0, năm 2005) cũng vẫn dùng thuật toán Newmark trong phân tích phản ứng động của kết cấu mà không

có hiệu chỉnh nào

Zienkiewicz, Wood, Taylor [88], [90], [98], [99] xây dựng nhóm các phương

pháp gọi là phương pháp trọng số dư (Weighted Residual Method) dựa vào xấp xỉ

sự biến thiên của chuyển vị và vận tốc trong các bước thời gian bởi các hàm dạng

đa thức đi qua các điểm nút tại các thời điểm Ý tưởng của nhóm phương pháp này giống dùng hàm dạng mô tả trường chuyển vị trong phần tử thông qua chuyển vị tại các nút của phương pháp phần tử hữu hạn Các hàm dạng là các đa thức bậc 1 - tuyến tính, bậc 2 - Lagrangian, bậc 3 - dạng Hermit theo thời gian tương ứng trong

1, 2, 3 bước thời gian từ i−2,i−1,i,i+1 để xấp xỉ hàm chuyển vị, vận tốc và gia tốc Sự khảo sát các đặc tính như sự ổn định, độ chính xác trong vài trường hợp số

cụ thể cũng thực hiện Tuy nhiên, có thể đánh giá rằng các công thức thiết lập trong từng trường hợp là quá phức tạp, chỉ có bậc nhất (xấp xỉ tuyến tính các đại lượng, bao trùm phương pháp Euler) của hàm dạng là tự khởi động được, các bậc khác không tự khởi động được, các phép tính khá rắc rối Sự áp dụng của phương pháp này là ít phổ biến Các nghiên cứu sau này của các tác giả khác cũng ít nhắc đến phương pháp trọng số dư này Thường chỉ đề cập đến như là một ý tưởng dùng hàm

đa thức nội suy qua các thời điểm

Cũng dùng hàm dạng theo thời gian qua các thời điểm giống như phương pháp trọng số dư, phương pháp ρ được đề xuất bởi Bazzi, Anderheggen [18] Đây

cũng là phương pháp ẩn, khối lượng tính bằng phương pháp Newmark Theo đánh giá của tác giả này thì phương pháp này có một số đặc tính tốt hơn phương pháp

Newmark như đặc tính tỉ số cản (Algorithmic Damping Ratio) nhưng cũng có đặc tính kém hơn như độ dãn dài chu kì (Elongation Period) Hướng hàm dạng này còn

có đề xuất khác bởi Gellert [48], ý tưởng của phương pháp này là dựa vào đa thức

bậc 3 Hermitian để xấp xỉ hàm chuyển vị và đa thức bậc 2 Lagrangian xấp xỉ tải từ thời điểm đến Các tác giả đã chứng minh ổn định; độ chính xác kết luận là khá tốt áp dụng được nhưng không có so sánh với các phương pháp khác Nhận xét rằng ý tưởng của nó là xấp xỉ chuyển vị, tải trọng theo hàm dạng đa thức

i i+1

Zienkiewicz, Wood, Hine, Taylor, Katona [60], [91], [100] cũng xây dựng

thêm họ các phương pháp hợp nhất một bước (Unified Set of Single Step) Phương

pháp này được trình bày trong 3 bài báo năm 1984, 1985 dựa vào khai triển chuỗi Taylor của các hàm số chuyển vị, vận tốc, và gia tốc Như vậy ý tưởng này là đơn bước và dựa vào khai triển Taylor để xấp xỉ hàm số Giá trị của phản ứng tại thời điểm i+1 được biểu diễn thông qua các giá trị tại thời điểm Đa thức bậc là i p,

bậc của phương trình vi phân là , nên phương pháp này gọi là (Single Step)

p SS42 phát triển mới, gọi là phương pháp βm

Các đặc tính của cũng được nghiên cứu như ổn định, phần sai số của biên độ

và chu kì được trình bày trong 3 bài báo của các tác giả này Công thức thiết lập là khá phức tạp, đưa vào rất nhiều hệ số để bao trùm các phương pháp trước đó như

SSpj

Newmark, Euler, … Đây cũng chính là mục đích của các tác giả khi thiết lập Phương pháp cũng rất ít ứng dụng trong bài toán cụ thể vì trong từng trường hợp thì nó cũng không đạt hiệu quả hơn các phương pháp trong trường hợp riêng

3 βH αH

Một hướng đơn bước khác được đề xuất bởi Hoff [55] (1988) dựa vào sáu

tham số θ1,θ2,θ3,β,γ,η để xấp xỉ chuyển vị và vận tốc trong một bước thời gian và một tham số cho xấp xỉ tải trọng θ Các công thức chi tiết xuất phát từ phương 0pháp Newmark đưa thêm vào các tham số Thuật toán và đặc tính cũng giống với Newmark Tác giả kiến nghị 5 tham số θ2,θ3,β,γ,η được lấy giá trị theo θ1 nên

tên gọi là Phương pháp θ Các tham số được dùng để xem xét đặc tính phương 1

4

1

;1

;2

1)1(,

1

1 2

1 3

2 1

−

=

θβθ

θη

θγθ

Bảng 1.3 Các trường hợp riêng của phương pháp θ1

Nhận xét đây cũng là một dạng phát triển từ phương pháp Newmark để bao trùm các phương pháp trước đó như bảng 1.3 và phát triển thêm cho trường hợp θ 1

Sự biến thiên cũng được xấp xỉ bởi các hàm đa thức và thêm nhiều hệ số để bao trùm các phương pháp đã có, sự hiệu quả cũng không được cải thiện đáng kể

Năm 1992, một nhóm phương pháp TPTT gọi là phương pháp α suy rộng

(Generalized α) được phát triển bằng cách dùng các tham số α để đưa thêm vào phương pháp gia tốc trung bình và phương pháp gia tốc tuyến tính của Newmark, tham số là αm,αf tương ứng với các biểu thức của xấp xỉ chuyển vị, vận tốc, và kể

cả tải trọng tại các thời điểm Phương trình chuyển động không thiết lập ngay tại thời điểm hay i i+1 mà thiết lập ở giữa thời điểm và i i+1 và tìm nghiệm giống như phương pháp Newmark và từ đó suy ra nghiệm tại các thời điểm Lần đầu tiên được đề nghị bởi Hulbert [56] (1992), sau đó gồm Chung [58] (1996), Jang [57] (1995), Mugan [66], [67] (2001, 2002), Daniel [33], [34] (1997, 2003), Tamma [81] (2003) phát triển thêm để phân tích các đặc tính của phương pháp, thêm phương pháp mới, kết hợp cả phương pháp ẩn / hiện và các ứng dụng của nó trong bài toán thực tế Các phương pháp này đã phát triển đầy đủ các đặc tính như chiến thuật để

tự động lựa chọn bước thời gian, sự ổn định và hội tụ đều được khảo sát, các hệ số

cũng được nghiên cứu tỉ mỉ Chuyển sang sử dụng trong miền tần số (Frequency

Domain) từ giá trị tải trọng đầu vào và giá trị của chuyển vị đầu ra dưới dạng hàm

truyền (Transfer Function), đánh giá bán kính phổ ổn định Gần đây, phát triển tiếp

để áp dụng trong các bài toán kết cấu - môi trường khác như chất lỏng, chất khí, phân hệ trở thành các miền con cho mỗi nhóm Song song với hướng áp dụng trong các bài toán khác nhau, các tác giả này còn tiếp tục để đề ra các phương pháp mới theo hướng này, đánh giá sai số trong từng bước thời gian bởi Chung [28] (2003), đánh giá sai số trong bài toán phi tuyến 2 bậc tự do bởi Balbo [13] (2006) Nhận xét rằng đây là một hướng phát triển mới cả lý thuyết và ứng dụng, thí dụ trong bài toán động đất [19], khá hiệu quả của phương pháp Newmark Các tác giả của nhóm phương pháp này đã có khá nhiều đóng góp về việc phát triển mới, triển khai và

hoàn thiện nhóm các thiết lập đã công bố khoảng vài chục bài báo trên các tạp chí Tuy nhiên, ý tưởng của nó thì cũng không vượt hẳn lên được phương pháp Newmark chỉ khác thông qua các biểu thức trung gian và sự hiệu quả chỉ thể hiện rõ cho bài toán tương tác của nhiều nhóm kết cấu vì khi đó tính được từng nhóm với bước thời gian tương ứng và có thể bước thời gian khác nhau (chiến thuật tự động chọn bước thời gian) các nhóm; còn trong hệ kết cấu thông thường thì nó không hiệu quả hơn phương pháp Newmark

Một hướng phát triển phương pháp Newmark rất gần đây được nêu bởi Fung [41], [42], [43], [44], [45], [46] với phương pháp bước thời gian phức Ý tưởng là trong một bước thời gian sử dụng phương pháp Newmark nhiều lần, số lần tương ứng với bậc của độ chính xác, mỗi lần tính với bước thời gian là βjΔt với βj là hệ

số được xác định thông qua khai triển chuỗi Taylor của ma trận khuếch đại, có thể

là số phức nên gọi là phương pháp bước thời gian phức (Complex Time Step

Method) Các đặc tính của phương pháp này được nghiên cứu rất đầy đủ bắt đầu từ

1997 cho đến nay vẫn tiếp tục công bố nội dung phương pháp này trên các tạp chí rất có uy tín, khoảng 30 bài báo Có thể thấy rằng phương pháp này đặt vấn đề về ý tưởng khá rõ ràng Cách thức thiết lập gần giống phương pháp Runge Kutta bậc cao nhưng các bước trung gian lấy theo phương pháp Newmark vì ông cho rằng mỗi lần tính lặp theo phương pháp Newmark là dễ thực hiện nhất Ứng dụng rất nhiều, hệ kết cấu tuyến tính, phi tuyến chịu tải trọng động, chịu bom nổ… Đánh giá độ chính xác thì tốt hơn phương pháp Newmark nhưng khối lượng tính tất nhiên là nhiều hơn trong một bước thời gian Ông đã đánh giá trong toàn bộ quá trình giải thì sự hiệu quả về thời gian tính hơn phương pháp Newmark, nhưng không quá nhiều Các nghiên cứu này rất có hệ thống và đầy đủ Tuy nhiên đến nay vẫn chưa phổ biến được như Newmark

Tiếp với hướng tính theo phương pháp Newmark nhiều lần trong một bước thời gian, phương pháp Time Marching được đề xuất Combescure A [30], [31],

[38], [50] và Smolinski P [80] Cách thức thiết lập gần giống như phương pháp bước thời gian phức của Fung nhưng quá trình suy ra nghiệm tại thời điểm i+1thông qua các hệ số βj có giá trị khác Ứng dụng hiệu quả trong bài toán phi tuyến Các nhận xét khác giống như phương pháp bước thời gian phức

Gần đây, sự phối hợp phương pháp Newmark và phương pháp Wilson θ tạo

ra phương pháp TPTT tổ hợp (Composite Implicit Time Integration Procedure) áp

dụng trong bài toán động lực học phi tuyến được phát triển bởi Bathe [16] (2005) Các đánh giá của ông cho rằng phương pháp tổ hợp này có độ chính xác tốt hơn và điều rất quan trọng là nó đã được sử dụng trong phần mềm ADINA thương mại rất nổi tiếng về phân tích động lực học, một số đặc tính chi tiết khác như sự ổn định, hiệu quả thời gian tính chưa thấy công bố trong bài báo này

Jiahao [59] (1995) và Weiping [86] (1995) trình bày phương pháp tích phân

trực tiếp chính xác (Precision Direct Integration Scheme) Phương pháp này không

dùng xấp xỉ của phương trình chuyển vị và vận tốc trong từng bước thời gian mà dùng sự biến đổi chính xác phương trình chuyển động xuống còn bậc 1 sau đó tích phân để tìm nghiệm, rồi biểu diễn nghiệm này theo thời gian dưới dạng chuỗi Taylor từng bước Đây cũng là ý tưởng phát triển bài bản, chỉ dùng xấp xỉ giai đoạn cuối quá trình giải Sau đó khá lâu, các đặc tính của phương pháp này được nghiên cứu và trình bày trong Wang [85] (2006, đang chờ đăng) Đặc tính ổn định và độ chính xác cho phương pháp này được khảo sát, rồi chia nhỏ bước thời gian để nâng cao độ chính xác Kết quả là ổn định có điều kiện, nhưng độ chính xác áp dụng trong hệ 1 và 3 bậc tự do tuyến tính là khá tốt so với phương pháp Newmark Đây là hướng nghiên cứu rất hay và khá mới trong việc thiết lập phương pháp số

Ngoài ra, cũng có những nghiên cứu không đề xuất phương pháp TPTT nhưng xem xét lại các đặc tính của các phương pháp đã có và khả năng áp dụng của

nó trong các dạng bài toán khác nhau Khả năng áp dụng, Chang [25] (2003) xem

xét độ chính xác các phương pháp dạng ẩn trong bài toán hệ kết cấu chịu tải trọng xung ngắn; Doolin [35] (2004) đánh giá sự hiệu quả phương pháp Newmark trong các bài toán vật rắn có biến dạng lớn Đặc tính của phương pháp, Romero [74] (2002), [75] (2004), [76] (2006) nghiên cứu lại sự ổn định của phương pháp cho rằng đây là vấn đề rất phức tạp và đề xuất thêm tiêu chuẩn năng lượng trong hệ để đánh giá sự ổn định, hội tụ, và sai số của nghiệm; Ruge [77] đánh giá sự ổn định của phương pháp tích phân ẩn; Noels [70] (2006) đánh giá các phương pháp ẩn, hiện và phối hợp cả ẩn / hiện dựa trên tiêu chí năng lượng trong hệ; Fung [45] (2002) cho rằng ổn định trong hệ tuyến tính thì chưa chắc ổn định trong hệ phi tuyến vì sự ổn định tùy vào sự biến đổi của nhiễu mà ứng với hệ phi tuyến thì đặc tính này không khảo sát hết được, và chỉ quan tâm đến độ chính xác và hội tụ của nghiệm khi áp dụng trong hệ phi tuyến

1.4 NHẬN XÉT TỔNG QUAN

Có thể thấy rằng nhóm các phương pháp TPTT là vấn đề rất thời sự trong lĩnh vực ĐLHKC, đặc biệt trong khoảng năm 2000 trở lại đây có rất nhiều công bố liên quan và cập nhật liên tục, và đã có được những kết quả rất cơ bản và quan trọng Một số phương pháp đã được triển khai ứng dụng nhưng hiệu quả chưa cao nên thúc đẩy quá trình tìm kiếm tiếp theo và một số mới công bố thì trong giai đoạn ban đầu, đang tiếp tục nghiên cứu rõ ràng hơn và cũng có một số tác giả xem xét lại đặc tính của các phương pháp đã được trình bày trước đây Các khuynh hướng nghiên cứu với các sự thiết lập khác nhau tạo ra sự phong phú và đa dạng về nội dung, nhưng cũng bộc lộ những hạn chế nhất định Phương pháp Runge Kutta được

sử dụng khá phổ biến nhưng khối lượng tính rất lớn và thuật toán phức tạp khi hệ có nhiều bậc tự do, vì vậy thường ít lựa chọn trong bài toán ĐLHKC có số bậc tự do tương đối lớn [83] Phương pháp Newmark được biết như là một phương pháp nổi tiếng nhất trong lĩnh vực này nhưng tính toán vẫn mất nhiều công sức [4] do yêu cầu của thực tiễn

Các phát triển trong thời gian gần đây hầu hết đều dựa vào hai phương pháp này Xem xét các đặc tính để nâng tầm phương pháp Runge Kutta như ổn định, biến thành dạng ẩn, thiết lập các bậc cao hơn, khả năng áp dụng rộng hơn… Xấp xỉ các đại lượng như chuyển vị, vận tốc, gia tốc bởi các biểu thức hiệu chỉnh trong phương pháp Newmark, hoặc tính nhiều lần trong mỗi bước thời gian, dùng hàm dạng nội suy theo ý tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn và một số hướng xây dựng phương pháp của các tác giả cũng đã được trình bày

1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương này đã thiết lập PTCĐ trong bài toán ĐLHKC và phân tích một số đặc trưng cơ bản của phương pháp TPTT trong quá trình giải phương trình, phần chính của chương là trình bày tổng quan về phương pháp TPTT giải PTCĐ Khá nhiều phương pháp trong thời gian trước đây và rất gần đây kể cả còn đang tiếp tục nghiên cứu và đã triển khai ứng dụng trong tính toán thực tế, đều được đề cập đến

Qua phần xem xét tổng quan về tình hình nghiên cứu về phương pháp TPTT

có thể thấy rằng công việc giải PTCĐ là khá lớn, tốn nhiều thời gian, chi phí; phần lớn thuật toán của các phương pháp là khá phức tạp; hơn nữa chỉ có một số ít phương pháp được phổ biến ứng dụng còn lại nhiều phương pháp đang tiếp tục xem xét thêm đặc tính; và cũng nhiều bài báo xây dựng phương pháp mới để đạt hiệu quả hơn trong tính toán Đặc biệt quá trình xây dựng phương pháp mới đang là hướng đi có tính thời sự và thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu

PTCĐ được gọi là phương pháp gia tốc tổ hợp cos hyperbolic và cos lượng giác

(Phương pháp GTTH Cosh-Cos) được xây dựng và một số đặc tính cơ bản như sự

ổn định, hội tụ, và độ chính xác cũng được nghiên cứu Để đánh giá sự hiệu quả, sự

so sánh về độ chính xác và khối lượng tính toán của phương pháp này với phương pháp Newmark cũng được thực hiện

2.2 Ý TƯỞNG

Bằng cách mô tả sự biến thiên của các đại lượng chuyển vị, vận tốc, và gia tốc trong các bước thời gian bởi các hàm số chọn trước, các phương pháp TPTT được xây dựng Phương pháp Newmark dùng sự xấp xỉ gia tốc trong một bước thời gian bởi các hàm hằng số hay tuyến tính Thuật toán là không lặp trong một bước thời gian; số lần lặp khi giải PTCĐ bằng với số bước thời gian tính Phương pháp này được biết như là phương pháp TPTT tốt nhất hiện nay về sự hiệu quả bởi vì số lần lặp bằng số bước thời gian nên rất dễ lập trình, độ chính xác của nghiệm là khá

tốt, và mức độ phổ biến trong ứng dụng Các phương pháp TPTT khác như phương pháp Wilson, phương pháp Wood, phương pháp Hoff, … cũng dựa vào các biểu thức của phương pháp Newmark để phát triển bằng cách đưa thêm các hệ số như

γ

α

θ, , vào các biểu thức xấp xỉ này

Có thể thấy rằng sự biến thiên theo thời gian của các đại lượng chuyển vị, vận tốc, và gia tốc của kết cấu theo qui luật khá phức tạp Do đặc thù sự chuyển động của hệ kết cấu trong quá trình chịu tải trọng là dao động nên việc mô tả gia tốc bởi hàm hằng số hoặc tuyến tính dẫn đến chuyển vị và vận tốc biến thiên theo hàm

đa thức là chưa thật sự tốt nhất Hơn nữa, đây không phải là nghiệm của PTCĐ là phương trình vi phân cấp 2

Phương pháp TPTT mới được xây dựng trong luận án này giữ lại sự đơn giản

về thuật toán trong từng bước thời gian của phương pháp Newmark và dùng một ý tưởng khác là xấp xỉ gia tốc bởi các hàm siêu việt đã biết trước Sự đơn giản trong phương pháp này vẫn là không lặp trong một bước thời gian nên rất thuận lợi trong lập trình tính toán Bắt đầu bằng cách dùng hàm siêu việt là hàm cos lượng giác để xấp xỉ gia tốc trong hai bước thời gian, phương pháp gia tốc cos lượng giác được xây dựng Một hàm siêu việt khác đã được lựa chọn là hàm cos hyperbolic, phương pháp cos hyperbolic để giải PTCĐ cũng đã được xây dựng Kết quả số cho thấy rằng phương pháp gia tốc cos lượng giác và phương pháp gia tốc cos hyperbolic đều

có độ chính xác tốt hơn phương pháp Newmark Từ cơ sở này, luận án xây dựng phương pháp TPTT mới dùng sự tổ hợp trọng số của hàm cos hyperbolic và cos lượng giác để mô tả sự biến thiên gia tốc trong hai bước thời gian, giá trị của nghiệm tại thời điểm tương lai i+1 được suy từ các giá trị của nghiệm đã biết tại

hai thời điểm trước đó là hiện tại i và quá khứ i−1

Như vậy, có thể đánh giá rằng phương pháp gia tốc tổ hợp cos hyperbolic và cos lượng giác dựa vào ý tưởng mới là dùng hàm siêu việt để mô tả gia tốc và dùng

cả thông tin quá khứ và hiện tại để suy ra nghiệm ở tương lai nhưng vẫn giữ lại được sự đơn giản trong thuật toán của phương pháp Newmark là số lần lặp bằng với

số bước thời gian tính

2.3 CÔNG THỨC

Từ PTCĐ (1.4), thực hiện rời rạc hoá tại các thời điểm, phương trình (1.4) được viết lại như sau

i i i

u

Ở đây M , C và K lần lượt là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng, kích thước

là N× N Các véc tơ và lần lượt là véc tơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị,

và tải trọng tại thời điểm kích thước là

i i

−+

−

−+

−Δ

−+

+

=

+

− +

− +

− +

− +

− +

− +

t t

t t

t

i i

i i

i i i

i i

i i

i i

i i i

ττ

θ

πττ

θ

τ

cosh2)1cosh(

2

22

2)1cosh(

2

2)

1

(

2

cos2

22

2)

(

1 1 1

1 1

1

1 1 1

1 1 1

u u

u u

u u u

u u

u u

u u

u u u u

Trong (2.2), độ dài bước thời gian là Δ ; biến thời gian là τ ∈[− Δt , tΔ ]; giá trị gia tốc tại các thời điểm t−Δt, t, t+Δt tương ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là

được kí hiệu lần lượt là trọng số tổ hợp của hàm cos hyperbolic và cos lượng giác trong xấp xỉ là

1 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1

1 1 1

1 1 1

cosh1

)1cosh(

22

11)1cosh(

22

1)

1(

2)1(2

cos2

22

)

(

)1(2

22

)

(

cosh1

)1cosh(

22

11)1cosh(

22

1)

1(

2)1(2

cos2

22

)

(

+

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

−

− +

− +

− +

− +

− +

−

−+

−

−

ΔΔ

−

−++

−

−+

−

−

ΔΔ

−

−+

i i i

i i i

i i i

i i i i

i i i

i i i i

i i

i i i

i i i

i i i

i i i i

t t

t t t

t t

t

t t

t t t

t t

t

u u

u u u

u u u

u u u

u u u u u

u u u

u u u u

u

u u

u u u

u u u

u u u

u u u u u

πθ

τ

θθ

θ

θθ

πθ

(2.3)

Từ (2.3), có thể thấy rằng phương trình biểu diễn sự biến thiên của gia tốc (2.2) thoả mãn tại 3 thời điểm rời rạc đó là i−1, i, i+1 và mô tả tổ hợp hàm cos hyperbolic và cos lượng giác Giá trị trọng số tổ hợp θ của hàm cos hyperbolic và cos lượng giác được khảo sát như sau:

- Nếu θ = 0 lúc này trở thành phương pháp gia tốc cos hyperbolic

t t

t t

t t

t

i i

i i

i i i

i i

i i

i i

i i i

i i

i i

i i

i i i

Δ

−

−++

Δ

−+

−

−+

−+

−

−+

−Δ

−+

+

=

+

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

ττ

ττ

θ

πττ

θ

τ

cosh1

)1cosh(

22

12

1)1cosh(

22

1

cosh2)1cosh(

2

22

2)1cosh(

2

2)

1

(

2

cos2

22

2)

(

1 1 1

1 1

1

1 1 1

1 1

1

1 1 1

1 1 1

u u

u u

u u u

u u

u u

u u

u u u

u u

u u

u u

u u u u