Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết phần 1

Bổ qua m a sát tại các ròng roc và trong lương của dây, hãy xác định khoảng cách X từ điểm E đến đường ngang AB tai vị trí cân bằng.. Hãy xác định sức căng của dây: Tc tại điểm giữ a, T

3.1 Q uý đạo và phư ơng trình chuyển động của điểm 17

C hương 4 Các chuyển động đơn giản nhất của cố thể 19

4.2 B iến đổi các chuyển động đơn giản của cố thể 20

C hương 5 P h ân và hợp các chuyển động của điểm 21

6 1 P h ư ơ n g trình chuyển động của hình phẳng và các điểm của nó 26

6 2 V ận tốc các điểm của cố th ể trong chuyển động phẳng T â m

C hương 7 c ố th ể quay quanh m ột điểm cố định 33

7.2 Hợp các chuyển động quay của cố thể quay quanh các trục cắt

8.2 Ba định lý cơ bản: B iến th iên động lư ợng, biến th iên m ô m en

C hương 9 Đ ộng lực học hệ chất điểm và v ậ t rắn 45

9.2 Đ ịnh lý biến thiên động lượng và chuyển động của khối tâ m 48 9.3 Đ ịnh lý biến thiên m ô men động lư ợng 49

D Á P SỐ v à H Ư Ớ N G D Ẫ N

l l ề Các lực tác dụng theo m ột đường thẳng hoặc song song 91

l ế2 Các lực có đư ờng tác dụng giao nhau tại m ột điểm 91

3.1 Q uỹ đạo v à phương trình chuyển động của điểm 109

C hương 4 Các chuyển động đơn giản nhất của cố th ể 112

4.2 B iến đổi các chuyển động đơn giản của cố thể 112

C hương 5 P h ân và hợp các chuyển động của điểm 113

6.1 P h ư ơ n g trình chuyển động của hình phẳng và các điểm của nó 116 6.2 V ận tốc các điểm của cố th ể trong chuyển động phầng T â m

C hương 7 c ố th ể quay quanh m ột điểm cố định 121

7 1 Ế Cố th ể quay quanh m ôt điểm cố đinh 121

7.2 Hợp các chuyển động quay của cố th ể quay quanh các trục cắt

8.2 B a định lý cơ bản: B iến th iên động lư ợng, biến th iên m ô m en

C hương 9 Đ ộng lực học hệ chất điểm và v ậ t rắn 134

9.2 Đ ịnh lý biến th iên động lư ợng và chuyển động của khối tâ m 136

C hương 12 P h ư ơ n g trình R auss, phương trình chính tắc H am ilton , định lý

L Ờ I N Ó I D Ầ U

Cơ học lý th u y ết là khoa học về các quy luật chuyển động, cân bằng v à sự

tư ơ n g tác giữ a các v ậ t thể trong không gian, theo thời gian, là m ột trong nhữ ng

m ôn học trong điềm cho sinh viên ngành Cơ học ờ các trư ờng Đ ại học Quốc gia

và Đ ại học Kỹ th uật.

Việc vận dụng các kiến thứ c đã học vào giải các bài tập cơ học lý th u y ết là yêu cầu hàng đầu đối vớ i sinh viên, qua đó giúp họ hiểu sâu th êm về lý th u y ết đồng th ời nâng cao tư duy và kỹ năng trong học tập.

Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết được soạn thảo theo chư ơng trình giảng dạy cơ học lý th u y ết cho sinh viên ngành Cơ học của Khoa Toán - C ơ - T in học, Trường Đ ai hoc K hoa học T ư nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà N ội N ội dung gồm bốn phần chính (15 chương) và phần V là m ột số đề thi O lym pic C ơ học Các bài tập được chọn lọc gồm đủ các th ể loại phù hợp với các phần của lý th u y ế t, được phân loại th ành các chủ đề chi tiết Cuối phần bài tập có đáp số hoặc hư ớng dẫn

để ngư ời đọc th a m khảo và tự kiểm tra lời giải của m ình.

T h am gia biên soạn giáo trinh bài tập gồm có N gu yễn X uân Bội (P h ần I:

T ĩnh h ọc), P h ạm Chí V ĩnh (Phần II: Đ ộng học), P h ạm T hị O anh (P h ần III: Đ ộn g lực học), Đ ào V an D ũng (Phần IV: Đ ộng lực học giải tích trong tọ a độ suy rộng, dao động, va chạm ); Đ ào Văn D ũng chủ biên.

G iáo trìrih được hoàn thành nhờ sự quan tâ m v à tạo điều kiện của lãnh đạo Khoa Toán - C ơ - T in học, lãnh đạo Trường Đ ại học Khoa học T ự nhiên Các tác giả bày tỏ lời cảm ơn chân thành.

Các tác giả chân th ành cảm ơn G S-T S K H Đ ào Huy B ích, G S-T S N gu yễn

T húc An đã đóng góp nhữ ng ý kiến quý báu nhằm hoàn th iện nội dung cuốn sách.

N hân dịp này các tác giả cảm ơn N hà X uất bản Đ ại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tìn h giúp đỡ trong việc xuất bản giáo trình này.

Vì nội dung giáo trình đa dạng, thời gian hạn chế cho nên các v ấ n đề được trình bày chắc chắn còn có nh ữ ng th iếu sót C húng tôi m ong nhận được ý kiến của bạn đọc để bổ sung cho giáo trình ngày càng được hoàn th iện hơn Các nhận

x ét, góp ý xin gử i về K hoa Toán - Cơ - T in học, Trường Đ ại học K hoa học T ự nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà Nội.

Hà nội, ngày 10 tháng 11 nă m 1999

Các tác giả

P h ầ n I ẳ T Ĩ N H H Ọ C

C h ư ơ n g 1 H Ệ LỰC P H Ẳ N G 1.1 C á c lư c tá c d u n g th e o m ô t d ư ò n g th ẳ n g h o ă c so n g s o n g

1 Các lực P \ = 1 0 kG, p 2 = 2 0 kG, p3 = 12 kG, p 4 = 18 kG cùng tác dụng vào

m ột điểm nào đấy

Hãy xác định lực cân bằng của chúng trong hai trư ờng hợp sau:

a) các lực đã cho tác dụng theo m ột đường thẳng và cùng chiều.

b) hai lực đầu cùng chiều, hai lực sau theo chiều ngư ợc lại.

2 Hai quả cân 1 0 kG v à 5k G treo trên m ột sợi dây tại nh ữ ng điểm khác n h au, trong đó quả cầu lớn treo thấp hơn quả cầu nhỏ.

Hỏi sức cấng của các đoạn dây bằng bao nhiêu ? / / / / / / / / /

4 M ột n gư ờ i nặng 64 kG đứng tại đáy giếng m ỏ ghì giữ m ột tải trọng 48 kG n h ờ

m ột sợi dây m ềm nhẹ, không dãn vắt qua ròng rọc cố định.

a) Hỏi n gư ờ i đó đã tác động lên đáy giếng m ột áp lực bằng bao nhiêu ? b) N gư ờ i đó có th ể ghì giữ m ột tải trọng lớn nh ất bằng bao nh iêu ?

5 M ột đoàn tàu gồm đầu máy, toa chở than trọng lư ợng 45 tấn , to a hành lý trọng lư ợ n g 20 tấ n và 5 to a chở khách m ỗi to a trọng lư ơng 48 tấn

Hỏi các m óc nối to a xe bị căng m ột lực bằng bao nhiêu v à lực kéo của đầu

m áy bằng bao nhiêu ? B iết rằng sức cản chuyển động của đoàn tà u có th ể x em bằng —— trọng lư ợng của nó và khi giải bài toán ta th ừ a nhận rằng sức căng này

200

phân tỷ lệ v ớ i trọng lượng của các th ành phần đoàn tàu và đoàn tàu đang chuyển

3 Tải trọng Q = 30 kG được giữ cân bằng nhờ đối trọng

côt vào đầu dây cáp ABC vắt qua ròng rọc Trọng lư ợng

của dây cáp bằng 5 k G Bò qua độ cứng của dây, m a sát và

bán kính của ròng rọcẵ Hãy xác định trọng lượng p , các

ứng lực Fa , F c căng dây tại các đầu A, c và ứng lực Fb

tại tiết diện giữ a B của dây trong các trường hợp sau:

a) khi các điểm A và c nằm trên cùng m ột độ cao.

b) khi điềm A nhận vị trí cao nhất.

c) khi điểm A nhận vị trí thấp nhất. Hình bài s

động đều.

Hãy xác định phàn lực của các th anh này lên bu lông

khớp c , nếu góc lập bỏ-i các thanh với tư ờ n g bằng OL = 30°,

(5 = 60°.

p

Hình bà 16

7 Chiếc đèn đư ạc treo tại điểm giữa B của sợi dây A B C , các đầu m ú t củ a dây

bị buộc chặt vào các móc ở A và c nằm trên m ôt đường nằm ngang.

Hãy xác định sức căng Tị và T 2 tai các phần A B , BC của dây B iết trong

lư ợng đèn 15 kG, toàn bộ dây ABC dài 20 m và điểm treo đèn cách đ ư ờ n g nằm

ngang m ột khoảng B D = 0,1 m Bò qua trọng lượng của dây.

8 M ột v ậ t nặng p — 2 kG treo lên trần nhà bằng sợi dây A B v à bị kéo v à o tư ờ n g

nhờ sợi dây BC.

Hãy xác định sức căng T a của dây AB và sức căng T c củ a dây B C , b iết góc

Oi — 60° v à góc ¡3 = 135° Bỏ qua trọng lượng của dây.

9 M ột quả cầu nặng p kG được treo bằng sợi dây A B hợp v ớ i p h ư ơ n g th ẳ n g

đứng góc a , đồng th ời quả cầu bị kéo ngang bằng sợi dây BC.

X

1 0 Trên m ặt phẳng nhẵn nghiêng m ột góc Q so với

m ặt phẳng ngan g, có m ột quả cầu nặng p kG buộc vào

đỉnh A bằng m ột sợi dây m ềm , không dãn nghiêng góc

¡3 so với phư ơng thẳng đứng.

Hãy tính sức căng của dây v à áp lực của quả cầu

lên m ặt nghiêng.

Hãy xác định sức căng của dây AB và BC.

1 1 Sợi dây C A E B D vắt qua hai ròng rọc nhỏ không đáng kể A và B nằm th eo

phương ngang v ớ i khoảng cách A B — í Tại các đầu dây c v à D có treo các quả cầu, m ỗi quả có trọng lượng p k G , còn tại điểm E treo quả cầu p kG Bổ qua m a sát tại các ròng roc và trong lương của dây, hãy xác định khoảng cách X từ điểm

E đến đường ngang AB tai vị trí cân bằng.

1 2 Tải trọng p và sợi dây BCD cùng buộc vào đầu B của sợi dây A B , đầu A

cột chặt và o tư ờ n g Sợi dây BCD vắ t qua ròng rọc nhỏ tại c , còn tại đầu D buộc

quả cầu có trọng lư ạn g Q = 10 kG.

Bỏ qua m a sát tai ròng roc, hãy xác đinh sức căng T của dây A B v à đô lớn của tải trọng p nếu tại vị trí cân bằng các góc giữ a dây v à đ ư ờn g th ẳn g đứng BE bằng a — 4 5 °, (3 = 60°.

1 3 Q uả cầu đồng chất trọng lượng p được đặt ở các vị trí sau:

a) p = 6 kG nằm trên hai m ặt nghiêng trơn A B v à BC vu ôn g góc v ớ i nhau

T ìm áp lực của quả cầu lên m ỗi m ặt nghiêng, biết rằng m ặt phẳng BC tạ o vớ i phương ngang góc 60°.

b) p = 20 kG được giữ trên m ặt phẳng nghiêng trơn nh ờ m ột sợi dây buộc vào cân lò so gắn chặt ở bên trên m ặt phẳng Cân lò so chỉ 10 kG Góc n gh iên g củ a

m ặt phẳng so vớ i phương nằm ngang bằng 30°, hãy xác định góc Oí giữ a ph ư ơ ng của sợi dây vớ i đư ờng th ẳng đứng và áp lực Q của quả cầu lên m ặt p h ẳng, khi

bỏ qua trọng lư ợng của cân lò so.

c) Q uả cầu p treo lên tư ờ n g tran th ẳn g đứng AB nh ờ sợi dây AC lập vớ i

tư ờ n g góc a Hãy xác định sức căng T của dây và áp lực Q của quả cầu lên

Hình bài 13

1 4 T hanh đồng chất AB gắn vào tư ờ n g thẳng đứng nhờ bản lề A và g iữ ngh iêng góc 60° so với đường th ẳng đứng nhờ sợi dây BC tạo vớ i thanh m ột góc 3 0 °.

Hãy xác định độ lớn và hướng phản lực R của bản lề, biết trọng lư ợ n g của

thanh bằng 2 k G

1 5 X à đồng chất AB dài 2 m nặng 5 k G tự a đầu trên A vào tư ờ n g trơ n th ẳn g đứng Sai dây BC buôc vào đầu dưới B của xà.

Hãy tìm xem cần phải côt dây vào tư ờ n g ở khoảng cách AC bằng bao nhiêu,

để xà vớ i tư ờ n g ta o thành góc B A D — 45° ờ trang th ái cân bằng, đồng th ờ i tìm sức căng T của dây và phản lưc R của tư ờng.

1 6 D ầm AB được giữ ờ vị tri nằm ngang nhờ th anh CD T ại A, c và D có gắn bản lề.

Hãy xác định phản lực Ở các chỗ tự a A và D, nếu cho tác dụng lực th ẳ n g đứng F = 5 tấn tại đầu B của dầm Các kích th ư ớc được cho th eo hình v ẽ, bỏ

qua trong lượng các thanh.

1 7 D ầm AB gắn bản lề tại gối đỡ A và đặt trên con lăn tai đầu B T ại trung

điểm của dầm có tác dụng lực p = 2 tấn nghiêng góc 45° so vớ i trục của' Aó Hãy xác định phản lực của các gối tự a trong trư ờng h ạp a và b Lấy kích th ư ớ c th eo hình vẽ v à bỏ qua trọng lượng của dầm

1 8 D ây điện A C B căng giữa hai cột sao cho nó tạo th àn h m ột đ ư ờ n g cong th o ả i,

độ võng của nó C D = / = 1 m K hoảng cách giữ a hai cột A B = í = 40 m Trọng

lư ơng của dây Q = 4 0 kG.

Hãy xác định sức căng của dây: Tc tại điểm giữ a, TA và T B tại các đầu m ú tử

Cho biết trọng lượng của m ỗi nửa dây đặt cách cột gần nhất m ột khoảng bằng

Hình bàt 17

¿/4.

Hình bài 18 Hình bài 19

1 9 Hai dây dẫn của xe điện treo vào các dây cáp ngang, m ỗi dây cáp lai cột chặt vào hai cột Các cột được bố trí dọc th eo đường cách nhau 40 m Đ ối vớ i m ôi dây cáp ngan g, các khoảng cách AK = KL = LB = 5 m , KC = LD = 0,5 m.

Bỏ qua trọng lượng của dây cáp, hãy tìm sức căng Ti , T 2 và Tz tại các phần

AC, CD và D B của nó, cho biết trọng lượng của m ột m ét dây dẫn bằng 0 ,7 5 kG.

2 0 Đ ể v ư ợ t sông n gư ời ta dùng quang chuyển tải L, quang này treo vào dây cáp

AB nhờ con lăn c D ây cáp AB cột chặt vào các đỉnh tháp A v à B Đ ể chuyển con lăn c về bờ trái, người ta dùng dây CAD v ắ t qua ròng rọc A và quấn vào

tờ i D; tư ơ n g tự cũng có m ột sợi dây để kéo quang lại bờ phải Các điểm A và B nằm trên m ột đư ờn g nằm ngang và cách nhau m ột khoảng A B = 100 m; độ dài của dây cáp A C B bằng 102 m; trọng lượng của quang chuyển tải bằng 5 tấn

Bỏ qua trọng lượng của các dây

hãy xác định sức cẳng của dây CAD

cách từ c đến th áp A là 20 m.

2 1 ắ Đ ể nén khối xi m ăng lập phương M theo 4 m ặt, người ta dùng cơ cấu khớp bản lề, trong đó các thanh A B , BC và CD trùng vớ i các cạnh của hình vu ôn g

A BCD; còn các th an h 1, 2, 3, 4 bằng nhau và hướng theo các đư ờn g chéo của

hình vuôn g này Hai lực trực đối p đặt tại các điểm A v à D.

Hãy xác định các ứng lực N i , N 2, N 3, N 4 nén khối lập phư ơng và các ứng

lực s1, S 2 , s 3 trong các thanh A B, BC và CD; biết rằng độ lớn của các lực đăt tại các điểm A và D bằng p = 5 tấn.

cũng như m a sát giữ a con lăn v à dây cáp,

và sức căng của dây cáp A C B khi khoảng

2 2 Đ a giác thanh khớp gồm 4 thanh bằng nhau, các đầu m út A v à E gắn khớp bản lề, các m út B, c và D chịu tải trọng th ẳn g đứng Q như nhau T ại vị trí cân

bằng góc nghiêng của các thanh bên so với phương nằm ngang a — 60°.

Hãy xác định góc nghiêng của các thanh giữ a so với phư ơng nằm n gan g (góc

AC và bỏ qua m a sát; hãy tìm sự thay đổi của sức căng T của dây th eo góc tp

hợp b&i khung AB vớ i đường nằm ngang AH, tìm giá trị lớn n h ất, nhỏ n h ất của sưc căng này.

2 4 Hai quả cầu nhò A và B, quả th ứ nhất nặng 0,1 kG, quả th ứ hai nặng 0,2 kG , đều nẳm trên m ột trụ tròn nhăn có trục nằm ngang và bán kính OH = 0,1 m Các quả cầu nối với nhau bằng sợi dây AB dài 0,2 m.

Hãy xác định các góc <P 1 và <p2 lập b ở i bán kính OA v à O B vớ i đ ư ờ n g th ẳn g

đứng o c tại vị trí cân bằng và áp lực N i , 7V2 của các quả cầu lên trụ tạ i các điểm

A và B Bổ qua kích th ư ớc cùa các quả cầu.

2 5 V òng nhẵn A có th ể trư ợ t không m a sát theo m ột dây kim loại cố định bị uốn cong theo đư ờn g tròn nằm trong m ặt phẳng thẳng đứ ng Q uả cân p treo vào vòn g, đồng th ời buộc vào vòng m ột sợi dây ABC v ắ t qua ròng rọc cố định B nằm

tại điểm cao n hất của đường tròn; tại đầu c treo quả cân Q.

Hãy xác đinh góc ờ tâm ip của cung AB tai vi trí cân bằng v à chỉ ra điều

kiện cân bằng, bổ qua trọng lượng của vòng, kích thước của ròng rọc và m a sát tại đó.

2 6 Đ iểm M bị h ú t về ba tâm cố định M l ( z i , t/l), M 2 (x 2 , ĩ/ 2 ) và M s ( x 3 , 2 / 3 ) b ờ i các

lực tỷ lệ với khoảng cách: F\ = k\ T\ , F 2 = k, 2 ĩ 2 và F 3 — k^rs, Ở đây ri = M M 1 ,

r 2 = M M 2, r 3 = M M 3, còn k ị , /c2, ^3 là các hệ số tỷ lệ.

Hãy xác định các tọ a độ X , y của điểm M tại vị trí cân bằng.

2 7 M ạch đầu m út của m ột chiếc cầu xích đặt trong m óng đá

có dang hình hộp chữ nhật, tiết diện giữa của nó là A B C D

Các cạnh AB = AC = 5 m; trọng lượng riêng của m óng đá

bằng 2 ,5 G /c m 3, m ạch đặt theo đường chéo BC.

Hãy tìm độ dài cần th iết a của cạnh th ứ ba hình hộp,

cho biết sức căng của m ạch T — 100 tấn (cần dự tín h m óng

lật nhào quanh m ép D v à bỏ qua sức cản cùa đất).

2 8 T háp nước gồm m ột bể chứa hình trụ cao 6 m, đường

kính 4 m gắn trên bốn cột đặt đối xứ ng và nghiêng so với

phương nằm ngang, đáy bể nằm ờ đô cao 17 m trên m ức

các chỗ tựa; trọng lư ợng của tháp là 8 tấ n , áp lực gió được

tính trên diện tích hình chiếu của m ặt bể lên m ặt phẳng

vuông góc vớ i hư ớng gió, trong đó áp lực riêng của gió bằng

125 k G /m 2.

Hãy xác định khoảng cách cần th iết AB giữ a các chân

cột (dự tính th áp bị lật nhào do áp lực gió th eo hướng

2 9 T ấm th ép nặng 40 kG dịch chuyển thẳng đều trên m ặt phẳng nằm ngan g của một giá bằng gang không bôi trơn

Hãy xác định lực cần cho dịch chuyển này, biết rằng hệ số m a sát bằng 0,18

và lực hướng song song với dịch chuyển.

3 0 Chiếc hòm trọng lư ợng p đặt trên m ặt phẳng

nháp nằm ngang vớ i hệ số m a sát ụ,.

Hãy tìm xem cần phải đặt lực Q nghiêng m ột

góc ß bằng bao nhiêu v à giá trị nhổ nhất của Q

để có th ể xê dịch hòm

LU-1 3 C ác lư c so n g so n g v à n g ẫ u lư c

3 1 T hanh đồng chất AB dài 1 m, nặng 2 kG treo

nằm ngang trên hai sợi dây song song AC và BD

Tải trọng p = 12 kG treo vào thanh tại điểm E

với khoảng cách A E = - m.

4

Hãy xác định sức căng T c v h T p của các dây

3 2 M ôt dầm ngang nằm trên hai gối đỡ, khoảng cách giữ a chúng bằng 4 m; ta đặt trên nó hai tải trọng: Tải trọng c 2 0 0 kG, tải trọng D 100 kG, sao cho phản lực của gối đỡ A lớn gấp hai phản lực của gối đỡ B, khoảng cách giữ a các tải trọng CD = 1 m , bỏ qua trọng lượng của dầm Hãy tìm xem tải trọng c đặt cách gối đỡ A m ôt khoảng X bằng bao nhiêu?

im H-m - 7 'Á

thẳng lên trên nhờ tải trọng Q — 300 kG và sợi dây vắt qua ròng rọc Tải trọng

p = 800 kG treo vào dầm tai điểm cách đầu m út A là 3 m

Hãy xác định phản lực của các gối đỡ, bỏ qua m a sát tại ròng rọc.

3 4 M ột dầm ngang đồng chất dài 4 m , nặng 0,5 tấn đặt sâu vào tư ò n g có chiều dày 0,5 m sao cho dầm tự a tai các điểm A và B'

Hãy xác định phản lực tại những điểm này (A, B ) nếu ta treo tải trọn g p = 4

tấn vào đầu m út tư do c của dầm.

3 5 ề M ột dầm ngang ngàm chặt m ột đầu vào tư ờ n g , còn đầu kia đỡ lấy ổ trục Do trọng lư ợng của trục, của các puli và ổ trục, dầm chịu m ột tải trọng th ẳ n g đứng

Q = 120 kG.

Bỏ qua trọng lượng của dầm và coi tải trọng Q tác dụng tạ i điểm cách tư ờ n g

m ột khoảng a = 750 m m , hãy xác định phản lực ngàm (phàn lực và m ôm en phản

lực).

3 6 Dầm ngang đỡ bao lơn chịu tải trọng phân bố đều với cư ờn g độ p — 200

k G /m M ột tải trọng p — 200 kG truyền từ cột lên dầm tại đầu m út tự do.

K hoảng cách từ trục cột đến tư ờng t — 1 ,5 m Hãy xác định phản lực ngàm

Hãy xác định phản lực của các gối đỡ, cho trước p — 1 tấ n , Q = 2 tấ n , p — 2

tấ n /m é t, a = 0 , 8 m.

3 8 Cần truc đường sắ t tư a trên các đường ray, khoảng cách giữ a chúng bằng 1,5 m Trọng lượng của xe tời cần trục là 3 tấn , trọng tâm của nó tại điểm A trên giao tu yến KL cùa m ặt phẳng đối xứng của xe tời với m ặt phẳng hình vẽ.

T ời B nặng 1 tấn , trọng tâm của nó tại điểm c cách đư ờng th ẳ n g KL 0,1 m Trọng lượng của đối trọng D bằng 2 tấn , trọng tâm của nó tại điểm E, cách đư ờng thẳng KL 1 m c ầ n FG nặng 0,5 tấn, trọng tâm của nó tại điểm H cách đư ờng

Hãy xác định trọng lượng nhổ nhất Q và khoảng cách lớn nh ất X từ trọng tâm của đối trọng đến đường thẳng đứng qua ray trái B đe cho dàn cau không

bi lật với mọi vị trí của xe tời đã chịu tải cũng nhu' chưa chịu tải Bổ qua trọng lượng của xe tời.

4 0 Cầu AB đư ac nâng lên nhờ hai xà CD dài 8 m nặng 400 kG , bo trí m ô i bên cầu m ột chiếc Đ ộ dài của cầu AB = CE = 5m ; độ dài của dây xích AC = B E , trọng lượng của cầu bằng 3 tấn và có thể xem như đăt tại trung điem của A B Hãy tính đối trọng p làm cân bằng cầu.

4 1 ế D ầm đứt đoạn nằm ngang A EB có đầu A bị ngàm vào tư ờ n g , đầu B tự a trên

gối đỡ di đông, điểm E gắn khớp bản lề Dầm chiu tải của cần truc n ăng Q = 5 tấn, m ang th êm tải trọng p = 1 tấn, tầm vư ơn K L = 4 m; trọng tâ m củ a cần

trục nằm trên đường thẳng đứng EK Các kích thư ớc cho trên hình vẽ.

Bỏ qua trọng lượng của dầm, hãy xác định các phản lực tại các điểm A và B khi cần trục nằm trong m ột m ặt phẳng thẳng đứng cùng vớ i dầm A B

1.4 H ê lư c p h ẳ n g b ấ t kỳ

4 2 Q uả cầu đồng chất có trọng lượng p —

9 8 ,1 kG chịu nằm ở vị trí cân bằng nhờ hai dây

m ềm , không dãn, n h ẹ.A B và CD tạo với nhau

góc 150°, cùng nằm trong m ột m ặt phẳng thẳng

đứng (hình vẽ).

D ây AB tạo vớ i phương ngang góc 45° Hãy

xác định sức căng T b , T c của các dây. Hình bài ị 2 0

4 3 Q uả cầu đồng chất trọng lượng Q bán kính a và quả

cân trọng lượng p cùng treo vào điểm o trên các sại dây

m ềm , nhẹ, không dãn, khoảng cách O M = b Hãy xác định

xem khi cân bằng, đ ư òn g thẳng OM tạo với đư ờng thầng

íầ \p

4 4 ắ Dầm đồng chất AB trọng lượng p tự a trên hai đường thẳng nghiêng trơn

CD và DE trong m ặt phẳng thẳng đứng Góc nghiêng của đường th ẳn g th ứ nhất

so với phương nằm ngang bằng a , còn của đường th ứ hai bằng 90°-o;.

Hãy tìm góc nghiêng 0 của dầm so với phương nằm ngang tại vị trí cân bằng

và áp lực của nó lên các đường thẳng tựa.

4 5 T hanh đồng chất AB nặng 1 0 0 kG tự a m ột đầu trên sàn ngang trơn, còn đầu kia tự a trên m ặt phẳng trơn nghiêng một góc 30° so với phương nằm ngang

T hanh đươc giữ bằng sơi dây buôc vào đầu B vắt qua ròng rọc c và m ang tải trọng p , phần BC của dây nằm song song với m ặt phẳng nghiêng.

Bỏ qua m a sát tai ròng rọc, hãy xác đinh tải trọng p và các áp lực N a , N b

4 6 Chiếc than g đồng chất AB tư a vào tư ờ ng trơn và nghiêng m ôt góc 45° so với phương nằm ngang, thang nặng 2 0 kG M ột người nặng 60 kG đứng tại điểm D

Hãy tìm áp lực của thang lên chỗ tư a A và lên tư ờ n g.

4 7 T hang AB trọng lượng p dựa vào tư ờ n g trơn v à tự a

trên sàn ngang nháp Lực m a sát tại điểm B không lớn

hơn ụ, N, trong đó ụ, là hệ số m a sát tĩn h , còn N là phản

lưc pháp tuyến của sàn.

Cần phải đặt thang nghiêng m ột góc a đối với sàn

bằng bao nhiêu để m ột người có trọng lương p có thể trèo

lên đến tân đỉnh thang.

Hình bài ị 7

4 8 Hai quả cầu nhăn đồng chất C i và c 2 có bán

kính R1, R 2, trọng lượng Pi , p 2 cùng treo vào điểm

A bằng các dây AB và AD Biết A B = i \ \ A D — ¿ 2 ,

£] -f- R\ — ¿2 "H ỉ^2\ §óc A B D = Oi.

Hãy xác định góc d lập với dây AD với m ặt phẳng

nằm ngang A E, sức căng Tị , T2 của các dây và áp lực

của quả cầu này lên quả cầu kia.

Hình bài \ 8

p nằm

4 9 Hai trụ tròn đồng chất như nhau cùng bán kính r và cùng trong lượng \

trên m ột m ặt phẳng nằm ngang; đồng thời tâm của chúng đư ạc nối với nhau bang

sợi dây không dãn dài 2r M ột trụ đồng chất th ứ ba bán kính R, trọng lư(7n s Q

đăt nằm yên lên hai trụ trên.

Hãy xác định sức căng của dây, áp lực của các trụ lên m ặt phầng va aP ^ c

tư ơng hỗ giữ a các trụ Bỏ qua m a sát.

5 0 Hãy xác đinh lưc kéo p để vât lăn đều theo m ặt phẳng n g a n g trong các

trường hợp sau.

a) Con lăn hình tru đường kính 6 0 cm nặng 3 0 0 kG , hê số m a sát lăn / =

0, 5 cm và lực kéo p lập với m ặt phẳng nằm ngang góc Oi = 30°

b) Quả cầu bán kính R trọng lượng Q , hệ số m a sá t trư ợ t g iữ a quả cầu với

m ặt phẳng bằng ụ,, hệ số ma sát lăn bằng / (lực p coi nh ư tác dụ ng và o tâ m cầu).

5 3 Hãy xác đinh bằng đồ thị và th ử lai bằng phư ơng pháp giải tích các phản lực

tự a và ứng lực trong các thanh của m ôt dàn vì kèo chịu lực (các lực 3 tấ n , 2 tấn

và 1 tấn) như trên hình vẽ.

12

5 4 Hãy xác định phàn lực của các gối tự a và ứng lực trong các th anh của m ột dàn cầu chịu lực như trên hình vẽ (bằng phương pháp đồ thị v à giải tích ).

C h ư ơ n g 2 HỆ L ự c K H Ô N G G IA N

2 1 D ư a h ê lư c v ề d a n g dơn giàn

5 5 M ột cột góc gồm hai thanh AB và AC đồng nghiêng gắn bản lề tại đỉnh Góc

B A C — 30° Côt đỡ hai dây dẩn nằm ngang AD và AE hơp vớ i nhau th àn h m ôt

góc vuông Sức căng của dây dẫn là 100 kG Giả th iết rằng m ặt phẳng BA C chia đôi góc D A E và bổ qua trọng lượng của thanh; hãy xác định ứ ng lực trong các thanh.

5 6 Dây dẫn nằm ngang của tu yến điện thoại treo trên cột A B với cột chống

nghiêng AC Hai dây lập th ành góc D A E = 90°, sức căng của dây AD v à AE

tư ơng ứng bằng 12 kG và 16 kG T ại điểm A gắn bản lề.

Hãy xác định góc a giữ a hai m ặt phẳng BA C và B A E , sao cho cột không

chịù uốn ngang và xác định ứng lực s trong cột chống, nếu nó làm vớ i ph ư ơ ng nằm ngang m ột góc 60° Bỏ qua trọng lư ợng của cột và cột chống.

5 7 ề Hãy xác định ứ ng lực trong dây cáp AB và trong các th an h A C , A D dùng

để đỡ tải trọng Q = 1 8 0 kG, nếu cho trước A B — 1 7 0 cm , A C — A D — 1 0 0 cm ,

C D = 1 9 0 cm , CK = KD và m ặt phẳng CDA nằm ngang T ại các điểm A , c , D

thanh gắn bản lề.

5 8 Tại bốn đỉnh A, H, B và D của hình lập phương đặt 4 lực băng nhau:

P l = p 2 = p 3 = p 4 = p , trong đó lực Pị hướng theo AC, p 2 th eo H F , p 3 theo

BE và p 4 theo DG Hãy rút gọn hệ lực đó về dạng đơn giản.

5 9 Tại các đỉnh của hình lập phương có cạnh bằng 5 c m đặt 6 lực b ằn g nhau,

m ỗi lưc 2 kG (như hình vẽ) Hãy rút gọn hê lực này về dạng đơn giản.

6 0 Ta nâng nắp chử nhật A BCD của hòm nhờ thanh nhỏ D E Trọng lư ợ n g nắp

là 12 kG, AD = AE, góc D A E = 60° Hãy xác định phàn lực cùa điểm tự a A, B

và ứng lưc s trong thanh; bỏ qua trọng lương của thanh.

6 1 Chỗ nằm A B C D trên toa xe lứa có thể quay quanh trục AB và g iữ ở v ị trí nằm ngang nhờ th anh ED , thanh này gắn vào tư ờ n g th ẳn g đứng B A E n h ờ khớp

E Trọng lượng của chỗ nằm cùng tải trọng p trên đó bằng 80 kG đặt tạ i giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật A B C D

6 2 M ột tấm nằm ngang đồng chất nặng p kG có dạng hình hộp thẳng gắn chặt xuống đất nhờ 6 thanh thẳng Hãy xác định ứng lực trong các thanh gây ra bởi trọng lượng của tấm , nếu các đầu thanh gắn vào tấm v à vào các cột biên cố định nhờ khớp cầu.

6 3 M ột trục truyền động nằm ngang có thể quay trong ổ trục A và B m ang 2 bánh đai truyền c và D Bán kính bánh đai rc = 2 0 cm , Td = 2 5 cm , khoảng cách

từ bánh đai đến ổ trục a = b = 50 cm , khoảng cách giữa hai bánh đai c = 100 cm

Sức căng của dây đai mắc vào bánh c hư óng nằm ngang và có giá trị T i , t ị , trong

đó T\ = 2t \ = 500 kG; sức căng của dây đai mắc vào bánh D tạo với phư ơng thẳng đứng m ột góc a = 30° và có giá trị r 2, í 25 trong đó r 2 = 212.

Hãy xác định sức căng T2, 12 khi hệ cân bằng và phản lực ổ trục gây ra bởi

sự căng của dây đai.

6 6 Cho hình vuông A B C D có cạnh bằng a, hãy tìm điểm E bên trong hình, sao cho nó là trọng tâm của hình vuông đã cắt đi tam giác cân A E B

6 7 Ể Hãy tính trọng tâm của vật có dạng chiếc ghế gồm m hử ng th an h cù n g chiều dài và cùng trọng lượng Chiều dài thanh bằng 44 cm.

6 8 N gười ta cho tứ diện cụt đồng chất A B C D E F với hai đáy song song v à diện

tích đáy A B C = a, diện tích đáy D E F = b và khoảng cách giữ a chúng bằng h Hãy tìm khoảng cách z từ trọng tâm tứ diện cụt này đến đáy A B C

6 9 T hân quả thủy lôi có dang hình trụ với hai đáy lồi hình cầu, bán kính vỏ trụ

r = 0 ,4 m; chiều cao vỏ trụ h = 2r, chiều cao chỏm cầu tư ơ n g ứ ng bằng /1 = 0, 5r

và /2 = 0 , 2r

Hãy tìm trọng tâm của vỏ thủy lôi.

7 0 Hãy tìm chiều cao giới han h của hình trụ, sao cho vật

th ể hình trụ và bán cầu cùng m ật độ, cùng bán kính r m ất

Ổn định tại vị trí cân bằng; khi v ậ t thể này tự a m ặt bán cầu

lên m ăt nhán nằm ngang.

Chỉ dẫn: Trọng tâm của toàn bộ vật th ể phải trùng với

tâm bán cầu Khoảng cách của trọng tâm bán cầu đồng chất

3 đến đáy của nó bằng - r ề

Hình bài 70

P h ầ n I I ế D Ộ N G H Ọ C

C h ư ơ n g 3 C H U Y Ê N d ộ n g c ủ a Đ IỂm

3 1 Q ũ y dao v à p h ư ơ n g tr ìn h ch u y ển dông củ a điểm

7 1 T heo các phương trình chuyển động điểm cho trư ớc, hãy tìm qũy đạo của điềm và chì ra quy luật chuyển động của điểm theo qũy đạo, trong đó khoảng cách tính từ điểm ban đầu:

X — a sin (/cí + Ct), y = 6sin(fcí +- /3)

7 3 Tay quay (m aniven) OA quay với vận

tốc góc không đổi u = 1 0 s- 1 Đ ộ dài O A —

A B = 80 cm Hãy tìm phư ơng trình chuyển

đông và quỹ đạo của điểm giữ a M của thanh

biên A B , phư ơng trình chuyển động của con

trượt B, biết rằng tại th ời điểm ban đầu con

trượt Ở vị trí cực phải, hệ trục tọa độ như

hình v ẽ

7 4 Hãy tìm phư ơng trình chuyển động v à qũy đạo của điểm trên vành bánh xe

bán kính R = 1 m của đầu m áy hơi nước, nếu đầu m áy này chuyển động th eo đường th ẳng v ớ i vận tốc không đổi 20 m /s Giả th iết rằng bánh xe lăn không

trư ợ t, vị trí ban đầu của điểm trên đường đó lấy làm gốc to a đô và chon truc O x

dọc theo đường.

3 2 V ậ n tố c điểm

7 5 Hãy xác định vận tốc điểm giữ a M của

thanh biên cơ cấu tay quay và vân tốc của rr , , >.

tixnh oài 75

con trư ợ t Cho trước r = Ề = a, <p = u t , u = const.

17

Hình bài 73

7 6 Bom ném từ máy bay chuyển động theo phương trình:

X = v 0t, y = h - - g t 2 ,

truc O x nằm ngang, truc Oy hướng lên trên Hãy xác định:

1) P hư ơng trình qũy đao.

2) Vân tốc của bom (giá trị và hướng) tai th ời điểm bom cắt trục Ox.

3) Đ ô bay xa.

4) P hư ơng trình tốc đồ của bom và vân tốc V\ của điểm vẽ nên tốc đồ.

7 7 Cho biết vận tốc của tàu hỏa Vo = 72 k m /h , bán kính của bánh tầu R = 1 m ,

bánh tầu lăn không trư ợt trên đường ray thẳng.

1) Hãy xác đinh giá trị và hướng vận tốc V

của điểm M hợp với hướng vận tốc Do m ột góc

7T

2 + ttế

2) X ây dựng tốc đồ điểm M và xác định vận

7 8 Hãy xác định phưang trình chuyển động và qũy đao điểm M củ a bánh xe toa

tầu bán kính i? = 0 ,5 m Đ iểm này cách trục m ột khoảng a — 0 , 6 m v à tạ i th ời

điểm ban đầu nằm thấp h on đường ray 0,1 m Cho biết toa tầu chuyển độn g th eo

đường thẳng vớ i vận tốc V — lO m /s Đ ồng th ời hãy xác định nh ữ ng th ờ i điểm ,

khi điểm M qua vi trí thấp nhất, cao nhất, và hình chiếu vận tốc của nó lên truc

Ox, O y tai những th ời điểm đó Truc Ox trùng vớ i đư ờng ray, truc O y đi qua vi

trí thấp nhất ban đầu.

7 9 Hãy tìm phương trình đường cong trong tọa độ cực (r, <£>) do con tà u vạch

nên, khi nó chuyển động vẫn giữ các góc phương vị Oí không đổi đối v ớ i điểm cố

định (góc giữ a hướng vận tốc và hướng đến điểm cố đ ịn h ), nếu nh ư cho trư ớc

a và r I =0 = r0 Con tàu xem như điểm chuyển động trên m ặt p h ẳn g, còn cực thì lấy m ột điểm cố định bất kỳ trên m ặt phẳng đó K hảo sát n h ử n g trư ờ n g hơp

8 1 Vận tốc hạ cánh của m áy bay là ìo o k m /h , hãy xác định giảm tốc của nó khi

hạ cánh trên đường băng £ = 100 m , cho biết giảm tốc đều.

8 2 Tầu hổa chuyển động chậm dần đều theo cung tròn bán kính R = 8 0 0 m đi được quãng đường s = 800 m với vận tốc ban đầu V o = 5 4 k m /h và vận tốc cuối

cùng V = 1 8 k m /h Hãy xác định gia tốc của tầu tại điểm đầu và cuối cung tròn

đó, cũng như th ời gian chuyển động trên cung đó.

8 3 Chất điểm chuyển động trên cung tròn bán kính R = 2 0 cm Q uy luật chuyển

động của nó trên qũy đạo: s = 2 0 s i n 7TÍ (t tính theo giây, s tính th eo cm ) Hãy

xác định độ lớn và hướng của vận tốc, gia tốc tiếp tu yến , pháp tu y ến và gia tốc

toàn phần của điểm tại thời điểm t — 5 giây Đ ồng thời xây dựng đồ thị vận tốc,

gia tốc tiếp tu yến và pháp tuyến.

8 4 Chuyển động của điểm cho bởi phương trình

(X, y tính theo cm , t tín h theo giây) Hãy xác định quỳ đạo điểm , độ lớn và hướng

của vân tốc và gia tốc.

8 5 Trên đư ờn g tròn bán kính 10 cm bằng dây

dẫn, ngư ời ta lồng vào bánh xe nhỏ M th anh OA

xuyên qua nó quay đều quanh điểm o cũng nằm

trên đường tròn đó Vận tốc góc của thanh có

giá trị sao cho th anh quay được m ột góc vuông

trong 5 phút Hãy xác định vận tốc V và gia tốc

8 7 Con lắc dao động trong m ặt phẳng th ẳng đứng xun g quanh trục nằm ngan g

cố định o T ừ vị trí cân bằng ở thời điểm ban đầu đến lúc nó đat đô lêch cưc đai

2 ) Ở vị trí nào con lắc có vận tốc góc cực đại và vận tốc góc đó bằng bao nhiêu.

8 8 Góc nghiêng giữ a bán kính và gia tốc toàn phần của điểm trên vàn h b ánh đà bằng 60° G ia tốc tiếp của nó tại th ời điểm đang x ét

Hãy xác định gia tốc pháp của điểm cách truc quay m ôt khoảng r — 0 ,5 m Bán

kính bánh đà R = 1 m.

8 9 N gười ta cuốn dây trên vành bánh xe có truc nằm ngan g, ờ đầu dây treo tải trọng p Tại th ời điềm nào đấy tải trọng bắt đầu r a i với gia tốc w o không đổi và khi đó bánh xe sẽ quay Hãy xác định gia tốc toàn phần của điểm trên v à n h bánh

xe phụ thuộc vào độ cao h , m à tải trọng hạ xuống đến đó B án kính bánh xe là

R Vận tốc ban đầu của tải trọng bằng không.

9 0 Q uả cầu nhỏ A treo trên m ột sợi dây có độ dài i — 398 cm dao động tron g

m ặt phẳng thẳng đứng xung quanh trục o nằm ngang cố định th eo p h ư ơ n g trình:

(ip tín h theo radian, t th eo giây) Hãy xác đinh:

1) T hời điểm gần nhất sau khi bắt đầu chuyển động, tạ i đó gia tốc pháp của cầu bằng không.

2 ) T hời điểm gần nhất, tại đó gia tốc tiếp bằng không.

3) G ia tốc toàn phần khi í = 1 /2 giây r ~

9 1 Hộp giảm tốc dùng để giảm chuyển động quay của

trục I và truyền chuyển động quay cho trục II gồm bốn

bánh ráng có số răng tư ơ n g ứng như sau

21 = 10, z 2 — 60, z 3 = 12, ¿4 = 70. Hình bài 91

Hãy xác định hệ số truyền của cơ cấu.

9 2 Cơ cấu xe tờ i nh ư trong hình vẽ làm cho tải trọng

p chuyển dịch thẳng đứng, khi quay tay quay a D o bộ

phận hãm bị hỏng, tải trọng bất thinh lình rơi xuống

P h ư ơ n g trình chuyển động của tải trọng là: X = 5 12 cm

Đ ư ờng kính của trống d — 200 mm s ố răng của cơ cấu tời như sau: Z\ = 13,

22 = 39 , 23 = 11, 24 = 77 Hãy xác định vận tốc v à gia tốc của đầu tay quay có

độ dài a = 400 m m sau khi chuyển động được 2 giây.

9 3 Hãy xác định quy luật chuyển động, vận tốc

và gia tốc của con chạy B thuộc cơ cấu tay quay

OAB Cho độ dài thanh biên và tay quay như nhau

A B — O A = r, tay quay OA quay đều quanh trục

O: u = u 0 Trục O x hướng theo hướng con chạy, gốc tọa độ tại tâ m o của cơ

cấu

9 4 Hãy xác định quy luật chuyển động của th anh, nếu cho

trước đường kính của bánh xe lệch tâm d = 2 r trục quay

o nằm cách trục c của bánh m ột khoảng o c = a, trục O x

hướng theo th an h , gốc tọa độ đặt tại o , - = À bàl gị

9 5 Hãy v iết phư ơng trình chuyển đông của

p ittôn g cơ cấu tay quay không chính tâm

K hoảng cách từ trục quay đến hướng đi cùa

con chạy bằng h, đô dài tay quay r, độ dài

thành biên í, trục X hướng theo hướng con

chạy Gốc tọ a độ đât tai vị trí cưc biên phải

của con chạy, l ị r — A, h / r = lc, <p = Uot.

Hình bài 95

C h ư ơ n g 5

P H Ầ N V À H Ợ P CÁC C H U Y Ể N D Ộ N G C Ủ A Đ I E M

9 6 B ăng của m áy dùng để ghi dao động,

chuyển động th eo hư ớng O x với vận tốc 2 m /s

Vật thể dao động dọc theo trục Oy vẽ lên

băng hình sin , tu n g độ lớn nhất của nó A B =

2 ,5 c m , độ dài 0 \ C = 8 cm Hãy tìm phương

trình dao động của vật thể, giả th iết rằng điểm

9 7 Hãy tìm ph ư ơng trình chuyển động và qũy đạo của v ậ t rơi tự do so v ớ i bản

thẳng đứng đang chuyển động đều theo phương nằm ngang với vận tốc u T ại

th ời điểm ban đầu v ậ t đang x ét ở gốc tọa độ và không có vận tốc.

9 8 M ũi gọt M chuyển động ngang tiến - lùi theo quy luật

X = a s ì n u t Hãy tìm phương trình qũy đạo của mũi gọt so

với đĩa đang quay đều với vân tốc góc Uì xung quanh trục

o , trục này cắt qũy đao tu yêt đối của mũi gọt.

9 9 Bộ phận gia tốc của m áy bào gồm hai trục song

song o và O i, tay quay OA và cánh gà O iB Đau

tay quay OA nối khớp với con chạy trư ợt dọc theo

đường rãnh của cánh gà o 1 B Hãy tìm phương trình

chuyển động tư ơ n g đối của con chạy trong đường

rãnh của cánh gà và phương trình chuyển động quay

của bản thân cánh gà, nếu cho biết tay quay O A — r,

quay với vận tốc góc không đổi cư, khoảng cách giữa

hai trục o o 1 = a.

1 0 0 M ột con sông có hai bờ song song với nhau.

M ột chiếc thuyền xu ất phát từ điểm A, giữ hướng

đi trực giao với bờ, thì sau 10 phút sang đến bờ đối

diên tai điểm c nằm dưới điểm A 120 m T ừ điểm

A muốn sang đến điểm B nằm trên đường th ẳng AB

trực giao với hai bờ, con thuyền phải bơi chếch với đường

thẳng AB m ôt góc nào đó và hướng ngược dòng N ếu khi

đó con th uyền vẫ n bơi với vân tốc tư ơ n g đối như cũ thì

sau 12,5 phút sẽ sang đến bờ đối diện.

Hãy xác định chiều rộng của con sông, vận tốc tư ơ n g

đối u của chiếc thuyền đối với nước và vận tốc chảy của

dòng sông.

Hình bài 99

Hình bàt 100

1 0 1 Trong cơ cấu thanh trư ợt tay quay, thanh trư ợ t BC chuyển động tịn h tiến ,

còn tay quay OA có độ dài í — 200 m m quay với vận tốc góc không đổi n = 90

v /p h Đ ầu A gắn bản lề với con chạy- trư ợ t trong rãnh của con tr ư ạ t C on chạy làm cho th anh trư ợ t BC chuyển động tịnh tiến thuận n gư ợc Hãy xác định vận tốc V của th anh trư ợ t, khi tay quay lập với trục th anh trư ợ t m ột góc x O A = 30°.

M

Hình bài 98

1 0 2 ề Trong tuốc bin thủy lực, nước từ bô phận dẫn rơi vào bánh xe có các

cánh quạt sắp đặt sao cho vận tốc tư ơ n g đối v r tiếp tu yến với chúng để tránh

sự va chạm khi nước rơi Hãy tìm vận tốc tư ơng đối của hạt nước ở vành ngoài bánh xe (tại thời điểm nước rơi vào) nếu vận tốc tu y ệt đối của nó khi rơi vào là

V — 1 5 m /s , góc giữ a vân tốc tu yêt đối và bán kính: a = 60°, bán kính bánh xe

R = 2 m, vận tốc góc của bánh xe: n = 3 0 v /p h

1 0 3 Khi tay quay o c trong cơ cấu thanh trượt quay chung quanh trục o trực giao với m ặt phẳng hình vẽ thì con chay A dịch chuyển dọc theo tay quay o c và

làm cho th anh AB chuyển động trong rãnh thẳng đứng K K hoảng cách O K = /

Hãy xác định vân tốc của con chạy A đối với tay quay o c dưới dạng hàm của vận tốc góc 00 và góc quay <p của tay quay.

1 0 4 Hãy tìm vận tốc tu yệt đối của điểm M bất kỳ trên th anh truyền AB nối các tay quay OA và O iB của các trục bánh xe tàu hỏa o và O i Bán kính các bánh

xe như nhau R = 1 m, bán kính tay quay O A — 0 \ B — 0 ,5 m V ận tốc tàu hỏa

v 0 = 20 m /s Hãy xác đinh vân tốc điểm M tại bốn thời điểm , khi các tay quay

OA và O iB hoặc cùng thẳng đứng hoặc cùng nằm ngang Các bánh xe lăn không trư ợt trên đường ray.

1 0 5 Một cơ cấu gồm hai trục van song song o và O i, tay quay OA v à cánh gà OxB Đầu A của tay quay OA trư ợt theo đường rãnh trong cánh gà O iB K hoảng cách giữa các trục V£,n o o 1 bằng a, độ dài tay quay OA bằng í , trong đó í > a Trục van o quay vớ i vận tốc góc không đổi u> Hãy tìm:

1) Vân tốc góc UI 1 của trục Ơ! và vận tốc tư ơ n g đối của điểm A đối vớ i cánh

gà O iB bằng cách biểu thị chúng qua biến 0 \ A — s

2) Giá trị lớn nhất và bé nhất của các đại lượng ấy.

3) Các vị trí của tay quay khi u — Uị

1 0 6 Ẽ Hãy xác định vận tốc góc của thanh trư ợ t trong cơ cấu tay quay - thanh

trư ợ t, tại bốn vị trí của tay quay: hai thẳng đứng và hai nằm ngang, nếu: a =

60 cm , t = 80 cm và vận tốc góc của tay quay n = 30 v ò n g /p h ú t (xem hìn h vẽ bài

105).

1 0 7 C ơ cấu th anh trư ợ t - tay quay của búa truyền động gồm th a n h tr ư ợ t th an g

có thể chuyển động tịn h tiến thuận ngược T hanh trư ợ t chuyen động n h ờ con

chay A gắn vào m ôt đầu của tay quay O A = r — 40 cm quay đều vớ i vậ n toc góc

n = 120 v ò n g /p h ú t Khi t = 0 thanh trư ợ t ở vị trí thấp nh ất H ãy tìm gia tốc

của th anh trư ợ t.

1 0 8 M ặt phẳng AB nghiêng m ột góc 45° so vớ i m ặt phẳng nằm n gan g chuyển

động thẳn g song song với truc O x vớ i gia tốc không đổi 1 d m / s 2 T h eo m ặ t phẳng

AB m ột v ậ t p chuyển động xuống với gia tốc tư ơ n g đối không đổi y / 2 d m / s 2 Vận

tốc ban đầu của m ặt phẳng nghiêng và của v ậ t bằng k h ông, vị trí ban đầu của vật có tọ a độ: X = 0, y = /iệ Hãy xác định quỹ đạo, vận tốc v à gia tốc củ a chuyển động tu y ệt đối của vật.

1 0 9 Hãy xác định gia tốc tu y ệt đối của điểm M bất kỳ trên th a n h tru y ền A B nối các tay quay của các truc bánh xe tàu hòa o và O i, nếu tàu h ỏa chuyển đ ôn g đều trên đoạn đư ờng thẳng với vận tốc V o = 36 k m /h Bán kính các bánh xe R = 1 m

bán kính các tay quay r = 0 ,7 5 m (xem hình vẽ bài 104).

1 1 0 v ấ u chuyen động tịn h tiến có dạng hình ta m giác, m ặt dẫn của nó n g h iên g

vớ i trục O x m ột góc a Hãy xác định gia tốc của th an h tự a trên vấu và tr ư ợ t tự

do trong các ổ bi, biết rằng vấu chuyển động vớ i gia tốc không đoi w 0 v à th a n h trực giao với trục Ox.

y

0

1 1 1Ế M ột động c a điện quay theo qui luật ip = u t {u = hằng số), ngư ời ta gắn thanh OA có độ dài i vuông góc với trục của nó Trong khi đó động cơ điện được

đặt tự do nên thự c hiện dao động điều hòa theo phương nằm ngang trên bệ m áy

theo quy luật X = asincưí Hãy xác định gia tốc tu y ệt đối của điểm A tạ i th ờ i điểm t — t t /2 u; giây.

1 1 2 Óng tròn bán kính R = 1 m quay quanh trục nằm ngang o theo chiều kim đồng hồ với vân tốc góc không đổi u = 1 s - 1 Q uanh điểm A trong ống quả cầu

M dao động th eo quy luật (p = s in7 TÍ Hãy xác định gia tốc tu y ệt đối của quả cầu:

th ành phần tiếp tu yến WT và thành phần pháp tu yến w n của gia tốc tại th ờ i điểm

1 ề

t = 2 ^ giây.

1 1 3 Đ ĩa tròn quay chung quanh trục trực giao với m ặt phẳng của nó, th eo chiều kim đồng hồ nh anh dần đều với gia tốc góc 1 s ~ 2, tại th ời điểm t = 0 vận tốc góc

bằng không Đ iểm M dao động dọc theo m ột đường kính của đĩa sao cho tọ a độ

của nó: f = s i n 7Tí (d m ), trong đó t tín h bằng giây Hãy xác dịnh các hình chiếu của gia tốc tu y ệt đối của điểm M trên các trục £, ĩ] gắn liền v ớ i đĩa tạ i th ời điểm

2 _

t = 1 - giây.

1 1 4 Trong khi đĩa tròn quay xung quanh trục O 1 O 2 vớ i vận tốc góc u — 2 í ( s - 1 ), điểm M chuyển động dọc bán kính của nó từ tâ m ra vàn h th eo quy luật: O M =

4 t 2 cm Bán kính O M tạo với trục O1 O 2 m ột góc 60 ° Hãy xác định giá trị của

gia tốc tu y ệt đối của điểm M tại th ời điểm t = 1 giây.

1 1 5 ễ Hãy tìm phương trình chuyển động, vận tốc và gia tốc củ a giá đ ã M củ a

m áy bào, m áy này hoạt động được nhờ cơ cấu thanh trư ợ t - tay quay v ớ i th an h

trư ợ t 0 \ B S ơ đồ chỉ ra trên hình vẽ T hanh trư ợt nối với giá đỡ M n h ờ con

chạy B trư ợ t th eo đường thẳng vuông góc với truc chuyển động củ a giá đỡ Cho

trước 0 1B = £, O A = r, O ị O = a, r < a, tay quay OA quay v ớ i vân tốc góc

không đổi cư, góc quay của tay quay tính từ trục thẳng đứng.

lăn trên bánh xe răng cố định Hãy viết phương trình chuyển động củ a b án h xe

răng động, lấy tâm A của nó làm cực B iết rằng khi t = 0 vận tốc góc của tay

quay UQ — 0 và góc quay ban đầu (po = 0

1 1 7 Trong khi quay đều chung quanh trục o cùa bánh xe răng cố định vớ i vận

tốc góc Uo, tay quay OA làm cho bánh xe răng bán kính r lăn bên tron g bán h xe răng cố định bán kính R Khi t = 0 góc (p0 = 0 Hãy v iết p h ư ơ n g trìn h chuyển

đông của bánh xe răng đông, lấy tâm A của nó làm cư c.

1 1 8 B ánh xe II bán kính Ĩ 2 — 12 cm lăn không trư ơ t ph ía bên trong bánh xe răng I bán kính r 1 = 20 cm Hãy v iết phư ơng trình chuyển đông củ a điểm M của bánh xe II đối với các trục O ị X và O xy đi qua tâ m của bánh xe cố định Đ iềm M

tại th ời điểm ban đầu khi tp = 0 nằm trên trục 0 \ y và là điểm tiếp xúc củ a các

bánh xe Trong khi làm cho bánh xe II chuyển động, th anh Ơ 1 Ơ 2 quay v ớ i vận

tốc góc n = 270 v ò n g / phút.

1 1 9 ẵ C ơ cấu nghịch đảo hoặc cơ cấu định hướng thẳng Paucelier - Lipkin là cơ

cấu bàn lề gồm hình thoi A B C D với các cạnh có độ dài a, trong đó các đinh c

và D chuyển đông trên cùng m ôt đường tròn nhờ các thanh o c v à OD có độ

dài í Đ ỉnh B chuyển động theo một đường tròn khác nh ờ than h 0 \ B có độ dài

r = 0 0 \ Hãy tìm quỹ đạo của đỉnh A.

tốc tức thời tai thời điểm khi góc O A B = 60°.

1 2 2 Đ oạn th ẳn g AB chuyển động trong m ặt phẳng hình vẽ, đầu A luôn luôn ở trên nửa đư ờng tròn C A D , còn bản thân đoan thẳn g luôn luôn đi qua điểm cố định c của đư ờn g kính CD Hãy xác định vận tốc v c của điểm trên đoạn th ẳn g

trùng với điểm c, khi bán kính OA trực giao với C D , biết rằng vận tốc điểm A lúc đó bằng 4 m /s

1 2 3 B ánh xe bán kính R = 0 ,5 m lăn khôrig trư ợ t trên đoạn đư ờn g th ẳ n g , vận

tốc tâ m của nó không đổi và bằng u 0 = lO m /s Hãy tìm vận tốc các đầu M i,

M 2, M 3 và M 4 của các đư òng kính nằm ngang và th ẳn g đứng của bánh xe và xác

X

định vận tốc góc của bánh xe.

1 2 4 Tay quay O A quay với vận tốc góc U)Q — 2 , 5 s_1 xun g quanh trục o cu a bánh xe răng cố định, bán kính f 2 = 15 cm , và làm cho bánh xe răng bán kính

r\ = 5 c m gắn trên đầu A của nó chuyển động Hãy xác định giá trị và h ư ớ n g cua

vận tốc các điểm A, B, c, D và E của bánh xe răng động nếu C E - L B D

1 2 5 Đ ư ờ n g tròn bán kính r 2 = 9 c m lăn không trư ợ t th eo đư ờng tròn cố địn h bán

kính T\ — 18 cm Đ ư ờ ng tròn động gắn bản lề vớ i th anh A B , th a n h này chuyển động trong rãnh đặc biệt Hãy xác định vận tốc của th an h A B khi <p — 45° nếu tay quay 0 \ 0 2 quay n — 180 v ò n g /p h ú t.

1 2 6 Trong cơ cấu tay quay, độ dài của tay quay O A — 40 cm , độ dài của th an h truyền A B = 2 m , tay quay đều vớ i vận tốc góc bằng 180 v ò n g /p h ú t H ãy tìm vận tốc góc u của thanh truyền và vận tốc điềm giữ a M của nó tạ i bốn v ị trí của tay quay tư ơ n g ứng v ớ i góc A O B bằng 0 , —, 7 r, —

1 2 7 T hanh đồng chất trong khi rơi trong m ăt phẳng th ẳ n g đứ ng d ư ớ i tá c dụng

của trọng lực, quay vớ i vận tốc góc U) không đổi UI = 2, 75 s - 1 T ại th ời điểm ban

đầu vận tốc của trọng tâm bằng không và th an h ở vị trí th ẳn g đứng H ãy xác

định vận tốc của các điểm A và B khi th an h quay được m ột góc <p — — rad, cho

A B — 66 cm

Chú ý: Trọng tâm của th an h chuyển động theo đư ờng thẳng đứng vớ i gia tốc

g = 9 8 0 c m /6 2

1 2 8 C ơ cấu tay quay nối khớp tại điểm giữa

c của th anh biên với thanh CD, thanh CD nối

vớ i thanh D E , th an h này có thể quay xung quanh

điểm E Hãy xác định vận tốc góc của thanh D E ờ

vị trí như hình vẽ, cho biết các điểm B và E nằm

trên đường thẳn g đứng V ận tốc góc u của tay

quay OA bằng 8s _ 1 , O A = 25 cm , D E = 100 cm ,

1 2 9 Trong cơ cấu Oát tay đòn O iA quay xung quanh trục O i và nh ờ th anh biên AB truyền chuyển động cho tay quay OB đặt tự do trên trục o B ánh xe I cũng được đặt lên trục o , m ột đầu của th an h truyền A B gắn và o bánh xe II Hãy

xác định vận tốc góc của tay quay OB và bánh xe I khi a = 6 0 °, ß = 90° Cho

biết ri = r 2 = 3 0 \/3 c m , O ị A = 75 cm , A B = 15 0 cm và vận tốc góc của ta y đòn u>0 — 6 s “ 1.

của thanh truyền A B phụ thuộc vào góc quay tp của tay quay, đồng th ờ i xác định

giá trị lớn nh ất v à b é nhất của và giá trị góc <p k h i CƯ 1 = 0 (xem hình vẽ b à i

130).

6 3 X e n t r ô it cố dinh v à x e n tr ô it dông

1 3 2 B ang phư ơng pháp hình học, tìm xentrôit cố đinh v à xen trôit động của

thanh truyền A B có độ dài bằng độ dài của tay quay: O A = A B = r

Hình bài 132 Hình bàt 133

1 3 3 T hanh AB chuyển đông sao cho điểm A của nó vẽ nên đư ờng tròn bán kính

r vớ i tâm tai điểm o , còn th a n h AB thì luôn luôn đi qua điểm cho trư ớ c N cũng nằm trên đường tròn ấy Hây tìm các xentrôit của thanh.

1 3 4 M ôt đường tròn có bán kính bé hom hai lần lăn không trư ợ t th eo đư ờng tròn bán kính 20 cm Hãy tìm xentrôit động v à xentrôit cố định và xác định vận tốc của các đỉnh A, B, c của hình vuông nội tiếp trong đư ờng tròn bé khi đỉnh

A ờ trên đường tròn lớn, biết rằng tâm của dường tròn A B C D chuyển động đều

và vẽ thành đường tròn trong vòng một giây.

1 3 5 Hai thanh răng song song AB và DE chuyển động ngư ợc chiều nh au v ớ i vận tốc không đổi V\, V 2 ■ G iữa hai thanh có đĩa tròn bán kính a D o chuyển động của

thanh và m a sát nên đĩa tròn lăn không trư ợ t th eo th anh Hãy tìm :

1) P hư ơng trình xentrôit của đĩa.

2) Vận tốc V o của tâm đĩa 0 \

3) V ận tốc góc U! của đĩa.

Trục tọa độ nêu như trong hình vẽ.

1 3 6 Góc vuôn g A BC chuyển dịch sao cho điểm A trư ợ t th eo trục X , còn cạnh

BC đi qua điểm D cố định trên trục y Hãy tìm ph ư ơng trình của xen trôit cố định

và động, biết rằng A B = O D = a.

6 4 G ia tố c cá c điểm củ a cố th ể tr o n g ch u y ển d ôn g p h ẳ n g

T â m gia tố c tứ c th ờ i •

1 3 7 Toa tàu điện chuyền động theo đoạn th ẳng nằm

ngang với đô giảm tốc Wo — 2m / s 2, tại thời điểm đang

xét nó có vận tốc Vo — 1 m / s Bánh xe lăn không

trư ợt trên đường ray Hãy xác định gia tốc của các

điểm đầu m út của các đường kính rôtơ tạo vớ i đường

thẳng đứng m ột góc 45°, biết rằng bán kính bánh xe

R — 0 ,5 m, còn bán kính rôtơ r = 0, 25 m.

1 3 8 Bánh xe có bán kính R = 0 ,5 m lăn không trư ợ t theo đ ư òn g ray thẳng Tại

thời điểm đang xét tâm o có vận tốc v 0 = 0 ,5 m /s và gia tốc WQ = 0 , 5 m / s 2 Hãy

xác định:

1 ) Tâm gia tốc tức th ời của bánh xe.

2) Gia tốc w c của điểm thuộc bánh xe trùng với tâm quay tức th ời c

1) Gia tốc của điểm bánh xe tại thời điểm đang

xét trùng với tâm quay tứ c thời.

2) Gia tốc của điềm đối kính N

3) Vị trí của tâm gia tốc tứ c th ời K Hình bài 139

1 4 0 Hãy tìm gia tốc con chạy B v à tâm gia tốc tứ c th ờ i K của t h ỉn h biên AB thuộc cơ cấu ta y quay tư ơ n g ứng với hai vị trí nằm ngang v à m ột vị trí th ẳn g đứng của tay quay OA Tay quay quay quanh trục o vớ i vận tốc góc không đổi:

u >0 = 15 s - 1 , độ dài tay quay O A = 40 cm , độ dài th an h biên A B = 200 cm

6 5 H ợ p c h u y ể n dông p h ẳ n g củ a cố th ể

1 4 1 Tay quay III nối trục o 1 và 0 2 của hai bánh răng I và II, trong đó hai bánh

có th ể ăn khớp ngoài hoặc trong (xem hình v ẽ) B ánh I cố định, tay quay III quay

xung quanh trục o 1 với vận tốc góc CJ3 B iết bán kính của hai bánh là Tị r 2.

Hình, bài 137