Tìm giới hạn dạng xác định Bài 28: Tính các giới hạn sau: 1) 2) 3) 4) ; 5) 2Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số Bài 29: Tính các giới hạn sau 3Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai Bài 30: Tính các giới hạn sau 4Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao Bài 31: Tính các giới hạn sau 5Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng Bài 32: Tính các giới hạn sau
Trang 1-Tìm giới hạn dạng xác định
Bài 28: Tính các giới hạn sau:
1) lim(x→−1 x2+2x+1) 2)
1
3
lim 3 4
1
1 lim
x
x x
→
+
− ; 5)
2 5 1
1
→−
+ + +
x
x
2
1 1
1
x
2-Tìm giới hạn dạng 0
0của hàm phân thức đại số
Bài 29: Tính các giới hạn sau
( )
2
2
3
x 1
2
x 1
−
m
→
−
−
3-Tìm giới hạn dạng 0
0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai
Bài 30: Tính các giới hạn sau
4-Tìm giới hạn dạng 0
0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao
Bài 31: Tính các giới hạn sau
Trang 23 3 3 3
3
2
3
x 1
+
−
7 4
3
n 1 n
−
−
−
5-Tính giới hạn dạng 0
0 của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng
Bài 32: Tính các giới hạn sau
5 4
2
3
2
2 m
2 3
4
x
−
+ α + β −
→
−
3 1
11) lim
1
x
− −
3 2 2
2
x
→
−
1
13) lim
1
x
x
6-Tính giới hạn dạng ∞
∞ của hàm số
Bài 33: Tính các giới hạn sau
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ − +
−
2
;
1
x
x
2 x
22) lim
x 10
→−∞
+
7-Tính giới hạn dạng ∞ − ∞ của hàm số
Bài 34: Tính các giới hạn sau
Trang 3( ) ( ) ( )
x
x
→+∞
→+∞
n
n
2
x
x 13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ;
19) lim x 3
→+∞
8-Tính giới hạn dạng 0.∞ của hàm số
Bài 35: Tính các giới hạn sau
−
VIII Giới hạn một bên
Bài 36: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau
Bài 37: Tính các giới hạn sau
( )
( ) ( )
2 2
−
2 2
x 1
→
−
Bài 38: Gọi d là hàm dấu: ( ) =− =<
>
1víi x 0
d x 0 víi x 0
1 víi x 0
Tìm x 0lim d x , lim d x vµ lim d x→ − ( ) x 0→ + ( ) x 0→ ( ) (nếu có).
Bài 39: Cho hàm số ( ) = − ≥ −
3 2
x víi x<-1
f x
2x 3 víi x 1 Tìm x 1lim f x , lim f x vµ lim f x→ − ( ) x 1 → + ( ) x 1 → ( ) (nếu có).
Bài 40: Cho hàm số ( ) = − ≤
+ > −
2
2 x 1 víi x -2
f x
2x 1 víi x 2 Tìm ( ) ( )
xlim f x , lim f x vµ lim f x2 x 2 (nếu có).
Bài 41: Cho hàm số ( ) = −− + > ≤
2
x 2x 3 víi x 2
f x
4x 3 víi x 2 Tìm x 2lim f x , lim f x vµ lim f x→ − ( ) x 2 → + ( ) x 2 → ( )(nếu có).
Trang 4Bài 42: Cho hàm số ( )
2
2
9 x víi -3 x<3
Tìm x 3lim f x , lim f x vµ lim f x→ − ( ) x 3→ + ( ) x 3→ ( ) (nếu có).
Bài 43: Tìm giới hạn một bên của hàm số ( )
=
−
2
2
víi x 1 5
f x 6-5x víi 1<x<3
x-3
víi x 3
khi x→1 vµ x± →3 ±
Bài 44: Ta gọi phần nguyênn của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là [x] Chẳng hạn
[5]=5; [3,12]=3; [-2,587]=-3 Vẽ đồ thị hàm số y=[x] và tìm x 3lim x , lim x vµ lim x→ −[ ] x 3 → +[ ] x 3 → [ ] (nếu có)
IX Một vài qui tắc tìm giới hạn
Bài 45: Tìm các giới hạn sau
3
1
Bài 46: Tìm các giới hạn sau
x 0
2
2 x
−
Bài 47: Tìm các giới hạn sau
Bài 48: Tìm các giới hạn sau
4
−
X Hàm số liên tục tại một điểm
Bài 49: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
+
3 3
2
x 1 tại điểm x0∈¡
1
víi x 0
0 víi x=1
2
víi x 0 x
víi x=-1 1
2
( ) = − + ≠
−
2
víi x -2
4 víi x=-2
Bài 50: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1
Trang 5( )= +− ( ) = − + − − ≠
≠
2
víi x 1
x 1
Bài 51: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 ( )
− −
−
2
2 2
Bài 52: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
3
x víi x>-2
.
Bài 53: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0
Bài 54: Cho hàm số ( )
2
khi x 1
x 1
f x
=
.
a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1;
c)Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 55: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x0 đã cho hay không nếu:
a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x 0 b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x 0 Nêu ví dụ tương ứng.
XI Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 56: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)=x4− +x2 2 liên tục trên R. b)Hàm số f x( ) 1 2
1 x
=
− liên tục trên khoảng (-1; 1).
8 2x− liên tục trên nửa khoảng 1
[ ; )
2 +∞ .
Bài 57: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
Bài 58: Giải thích vì sao:
x sinx-2cos x+3 liên tục trênR. b)Hàm số
( ) = x3+xcosx+sinx
c)Hàm số h x( ) (= 2x 1 s inx-cosx+ ) liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k≠ π ∈
Bài 59: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
2 2
x 1
Bài 60: Hàm số ( ) = + + ≠
3
có liên tục trênRkhông?
Bài 61: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
Trang 6( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2
1 a x víi x>2
x víi 0 x 1 víi x<2
mx+m+1 víi x 2
Bài 62: Xét tính liên tục của hàm số
=
2
nÕu x > 1
x 1 f(x)
x
mx nÕu x 1 2
trên ¡ .
XII Ứng dụng hàm số liên tục
Bài 63: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1] Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho
f(c)=c.
Bài 64: Chứng minh rằng:
1)Phương trình x5+ − =x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).
2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm.
x 1000x 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm.
100 có ít nhất một nghiệm dương.
x 3x 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
6)Phương trình x3+ + =x 1 0có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
4x +2x − − =x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1).
8)Phương trình 2x+6 1 x3 − =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9).
9)Phương trình 2x3−6x 1 0+ = có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2).
10)Phương trình 3+ 2− =
11)Phương trình x3+ax2+bx c 0+ = luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình 2
atan x+btanx+c=0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng
4
π
π + π ∈
Bài 65: Cho hàm số ( ) = ≠
−
1 víi x 0
1 víi x=0
a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0 b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2).
c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không?
Bài 66: Cho a, b là hai số dương khác nhau Người ta lập hai dãy (un ) và (v n ) bằng cách đặt
2
+
Bài 67: Cho dãy (sn ) với
k n
n n 1
k 1
2 + = k
+
Bài 68: Tính các giới hạn
p 1
n! 1 2 n a)lim ; b)lim , p *
(2n 1)!! n +