079 đề hsg toán 9 hậu giang 2017 2018

5,5 điểm Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O;R a Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC b Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M  B;C.. Trên tia đối của tia MB lấ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH HẬU GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM 2017-2018

Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

Câu 1 (2,5 điểm)

Tính giá trị biểu thức    

A



   biết 2 2

x  16y  7xy  xy  x 4 

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 1 1 1

xy 2

b) Tìm các số tự nhiên n sao cho 2

A  n  2n 8  là số chính phương

Câu 3 (4,5 điểm)

a) Cho a, b, c  0 chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c

b) Giải hệ phương trình x y 2(1 xy)







Câu 4 (5,5 điểm)

Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O;R

a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC

b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M  B;C Trên tia đối của tia MB lấy MD = MC Chứng minh  MCD đều

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S  MA  MB  MC là lớn nhất Tính giá trị lớn nhất của S theo R

Câu 5 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 9b 16

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU GIANG 2017-2018

Câu 1.

ĐKXĐ: y  1;x  0;x  3

Ta có        

   

   

2

A

x(x 3)



Do đó A 7

4



Câu 2

a) Với x, y  0 ta có 1 1 1

xy2

 



Lập bảng xét các ước của 4 ta có các nghiệm

x;y  2;1 ; 1; 2 ; 3;6 ; 4;4 ; 6;3          



Câu 3.

a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a2 b 2a

Tương tự ta có: b2 c 2b ;c2 a 2c

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b) Từ phương trình xy x    y 2    0 1 xy   x y 3 

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

x   y 2(x  y 3)   x   y 2x 2y 6     0 x  3y 6 

Thay vào phương trình thứ hai ta được 2    

3y  8y 4    0 3y 2 y 2    0

Với y   2 x  0. Với y 2 x 4

3

Vậy hệ có nghiệm x;y 0;2 ; 4;2

3

Câu 4.

H

D

O A

M

a) Kẻ đường cao AH Ta có AH 3.AO 3R

3R

b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên   0

MCD

 cân có  0

CMD  60 nên CMD là tam giác đều c) Ta có  MCD đều nên MC = MD = CD

Xét  AMC và  BDC có AC=BC; MC=CD;   0 

MA BD.

  Do đó: S  MA  MB  MC

=MA  MB  MD  MA  BD  2MA lớn nhất

Vậy S lớn nhất khi MA là đường kính của đường tròn (O) hay M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

Câu 5.

Đặt

Ta có

Giá trị nhỏ nhất của S là 19 Đạt được khi và chỉ khi a 7;b 5;c 1