042 đề hsg toán 9 kiên giang 2017 2018

Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2.. Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD tại F... Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ g

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG

TỈNH THCS Năm học: 2017 - 2018

Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 13/3/2018

(Đề thi có 01 trang gồm 6 câu).

Câu 1. (3 điểm)

1) Cho biểu thức A n 2  4n 5 (n là số tự nhiên lẻ) Chứng minh rằng A

không chia hết cho 8

2) Cho số x x  ;x 0 thỏa mãn điều kiện: 2

2

1 7

x x

  Tính giá trị các biểu thức: 5

5

1

B x

x

 

Câu 2. (3 điểm)

Rút gọn biểu thức:

Câu 3. (4 điểm)

1) Giải phương trình: 3x 2 27x3   8 9x2  6

2) Tìm 2 số m, n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m  2n đạt giá trị nhỏ nhất sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung:x2 mx  2 0; x2  2nx  6 0

Câu 4. (3 điểm)

1) Cho phương trình: x2  2m 3x m  3 0  Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2

2) Cho x, y, z, t là các số thực dương Chứng minh rằng:

2

Câu 5. (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước

xấp xỉ 21cm  29,7cm) người ta thực hiện như

hình vẽ minh họa bên

Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh a 21cm

Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia

AD tại F

Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4 thông dụng hiện nay.

Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng AE, rồi xếp theo đường thẳng FM (M là trung điểm BE) khi mở tờ giấy ra An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM và AE vuông góc với nhau Em hãy chứng minh giúp bạn

An vẽ điều đó

Câu 6. (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, trên dây cung DC lấy điểm

E sao cho DC 3DE, nối AE cắt cung nhỏ CD tại M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC

tại F Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC

-HẾT -LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018

Câu 1. (3 điểm)

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1

1) Cho biểu thức A n 2  4n 5 (n là số tự nhiên lẻ) Chứng minh rằng A

không chia hết cho 8

2) Cho số x x  ;x 0 thỏa mãn điều kiện: 2

2

1 7

x x

  Tính giá trị các biểu thức: 5

5

1

B x

x

 

Lời giải

1) Ta có: n2  4n  5 n2   1 4n 6

n 1 n 1 2 2 n 3

Do n lẻ nên n 1 và n 1 là 2 số chẵn liên tiếp

n 1 n 1

   chia hết cho 8

Mà 2n 3 lẻ  2n 3 không chia hết cho 4

 2 2 n 3 không chia hết cho 8

n 1 n 1 2 2 n 3

     không chia hết cho 8

 đpcm

2) Ta có: 2

2

1 7

x x

 

2

       

3

1 27

x x

    

3 3

     

3 3

1 18

x x

18.7 126

       

5 5

126

    

5 5

1 123

x x

  

Câu 2. (3 điểm)

Rút gọn biểu thức:

Lời giải

 Tổng quát:

2

1

   

1

 Vậy:

1.2 2.3 3.4 2017.2018

        

2017 số 1

2 2 3 3 4 2016 2017 2017 2018

2018

2018 2018

Câu 3. (4 điểm)

1) Giải phương trình: 3x 2 27x3   8 9x2  6

2) Tìm 2 số m, n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m  2n đạt giá trị nhỏ nhất sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung:x2 mx  2 0; x2  2nx  6 0

Lời giải

1) 3x 2 27x3   8 9x2  6

3x 2 3x 2 9x 6x 4 9x 6

3

9x 6 2 3x 2 9x 6x 4 3x 0

9x 6x 4 2 3x 2 9x 6x 4 3x 2 0

 9x2 6x 4 3x 22 0

2

9x 6x 4 3x 2

2

9x 9x 2 0

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1

2 3 1 3

x

x







 

 



(thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 1;

3 3

x   

 

2) Do m, n cùng dấu nên:

- Nếu m 0; n 0 thì: m  2n  m 2n

- Nếu m 0; n 0 thì: m  2n m 2n m 2n

+ Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta được:

2

0 0 2

2 0

   





2

2x m 2n x 8 0

m 2n2 4.2.8 0

     

m 2n2 64



   



Vậy m 2n đạt GTNN là 8 khi:



  



+ TH1: m 2n 8, ta được: 2

0 0

2x  8x   8 0  x02 4x0  4 0  x0  2 Ta có:

2 2

3

5

m m

n n









(thỏa mãn)

+ TH2: m 2n 8, ta được: 2

0 0

2x  8x   8 0  2x0  22  0  x0  2 Ta có: 2

2

3

5

2 2 2 6 0

2

m m

n n









Vậy với m 3 và 5

2

n  thì hai phương trình có nghiệm chung x 0 2 Với m 3 và 5

2

n thì hai phương trình có nghiệm chung x 0 2

Câu 4. (3 điểm)

1) Cho phương trình: x2  2m 3x m  3 0  Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2

2) Cho x, y, z, t là các số thực dương Chứng minh rằng:

2

Lời giải

1) Xét phương trình: x2 2m 3x m  3 0 

Giả sử: x1   2 x2

Áp dụng Vi-et ta có:

1 2

1 2

 





  



Để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 thì:

2





 



2



 



2 5 12 0

3 11 0

m

 

11

3

m

  (do m2  5m 12 luôn lớn hơn 0)

Vậy với 11

3

m  thì phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2

2) Đặt:

A

M

N

4.

M N

Ta có:

N A

Chứng minh tương tự ta cũng có: A M  4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x   y z t 0

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1

Câu 5. (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ

21cm  29, 7cm) người ta thực hiện như hình vẽ

minh

họa bên

Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh a 21cm

Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia

AD tại F

Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF

Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4

thông dụng hiện nay

Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo

đường thẳng AE, rồi xếp theo đường thẳng FM (

M là trung điểm BE) khi mở tờ giấy ra An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng

FM và AE vuông góc với nhau Em hãy chứng minh giúp bạn An vẽ điều đó

Lời giải

Ta có: AC DB  AB2 BC2  21 2 (cm)

Mà ACAF (C, F thuộc đường tròn tâm A)

21 2

Xét ABE vuông tại B

Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có:

2 2 21 2 21 2 21 3

Xét FME vuông tại E có: 1 21 2

Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có:

2 2 2 21 2 21 6

21

21

AE

21 2

FM

Xét AEF và FME ta có:

  ∽  (c.g.c)

FEA FME

Câu 6. (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, trên dây cung DC lấy điểm

E sao cho DC 3DE, nối AE cắt cung nhỏ CD tại M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC

tại F Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC

Lời giải

Gọi I là giao điểm BM và CD:

EI AB



Kẻ OX vuông góc với DM  OXD∽ ADE (g.g)

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1

1 10



1

10

2

10

Xét DEM ∽ AEC ME DE MD

2 2

1

10

   (g.c.g)

1 2

 đpcm