Bài 9 hình chữ nhật

+ Hiểu được tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.. b Định lí: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.. ABCD là

BÀI 9 HÌNH CHỮ NHẬT Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa hình chữ nhật, các tính chất của hình chữ nhật

+ Nhớ được những dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật

+ Hiểu được tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông

 Kĩ năng

+ Vẽ được hình chữ nhật

+ Chứng minh được một tứ giác là hình chữ nhật

+ Nhận biết tam giác vuông theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông Hình chữ nhật cũng là một hình

bình hành

ABCD là hình chữ nhật  ABCD là tứ giác có ˆA B C D  ˆ ˆ ˆ

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là hình bình hành, cũng là hình thang cân

Tính chất

a) Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân

b) Định lí:

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Áp dụng vào tam giác

a) Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa

cạnh huyền

b) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy

thì tam giác đó là tam giác vuông

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Hình chữ

nhật

Hình vẽ

Khái niệm

Tính chất

Dấu hiệu

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông

ABCD là hình chữ nhật

là tứ giác có

Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

Hình bình hành có một góc vuông

là hình chữ nhật

Hình bình hành có đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải

Các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

1 Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

2 Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ

nhật

3 Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ

nhật

4 Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là

hình chữ nhật

Bước 1 Xác định yếu tố đầu tiên liên quan đến tứ

giác là cạnh/ góc để định hướng sử dụng dấu hiệu

nhận biết tương ứng

Bước 2 Nếu không sử dụng dấu hiệu “Tứ giác có

ba góc vuông là hình chữ nhật” thì ta chứng minh

qua 2 phần:

+ Phần 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành/

hình thang cân

+ Phần 2: Chỉ ra tính chất vuông góc/ hai đường

chéo bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I là

trung điểm của AC Lấy D là điểm đối xứng với H qua I Tứ giác AHCD là hình gì? Chứng minh?

Nhận xét:

Bài toán có giả thiết liên quan đến hai điểm đối xứng nhau qua tâm, do đó sẽ có quan hệ trung điểm của đoạn thẳng

Đường cao AH cho thông tin AH BC để tạo ra quan hệ vuông góc tương ứng

Do đó, có thể sử dụng dấu hiệu: “Hình bình hành

có một góc vuông là hình chữ nhật”

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết, D là điểm đối xứng với H qua I nên

I là trung điểm của đoạn DH

Do đó, tứ giác AHCD có hai đường chéo AC, DH cắt nhau qua I Đồng thời, I là trung điểm của AC

và HD

Suy ra, tứ giác AHCD là hình bình hành (1)

Mà AH BC (do AH là đường cao của tam giác ABC) hay AH HC (2)

Từ (1), (2) suy tứ giác AHCD là hình chữ nhật

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tứ giác ACBD có ABCD Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD, AD,

AC Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật

Hướng dẫn giải

Xét BCD có EF là đường trung bình, suy ra , 1

2

EF CD EF  CD (1)

GH là đường trung bình của ACD nên , 1

2

GH CD GH  CD (2)

Từ (1), (2), suy ra EF GH EF GH , 

Có FG là dường trung bình của DAB nên , 1

2

FG AB FG  AB

Do đó, ta có:

 

 4

GH CD

AB CD gt

 







Từ (3), (4), suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Hình chữ nhật là

A Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

B Hình thang có hai đường chéo bằng nhau

C Tứ giác có các góc đối diện bằng nhau.

D Hinh bình thành có một góc vuông.

Câu 2: Hình thang cân MNPQ với MN PQ cần thêm điều kiện gì dưới đây để trở thành hình chữ nhật?

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại C Trên các cạnh CA, CB lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho

AP CQ Từ điểm P, dựng PM song song với BC M AB Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác của các góc A, B,

C, D cắt nhau như trên hình vẽ bên Chứng minh rằng tứ giác EFGH là

hình chữ nhật

Lời giải chi tiết

Câu 3.

Theo giả thiết, ABC vuông cân tại C nên CAB CBA 45o

Ta có PM BC  PMA CBA  45o (đồng vị)

Nên PMA có   45 o

PAM PMA Vậy PMA vuông cân tại P

Suy ra PM PA.

PM PA











Xét tứ giác CPMQ có CQ PM (cùng vuông góc với CA), CQ PM AP, suy ra CPMQ là hình bình hành

Mà PCQ BCA 90o do đó, tứ giác PCQM là hình chữ nhật

Câu 4.

Ta có AH là tia phân giác BAD nên  1

2

HAD BAD

DH là tia phân giác ADC nên  1

2

ADH  ADC

Xét ADH có:

HAD HDA  BAD ADC

Mà tứ giác ABCD là hình bình hành nên BAD ADC 180 o

Suy ra ta có   1   1.180 90

HAD HDA  BAD ADC  

Do đó AHD 90o hay EHG 90o (đối đỉnh với AHD ).

Chứng minh tương tự, ta có    90o

HGF GFE EHG   Vậy tứ giác HGFE là hình chữ nhật

Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải

Các tính chất cơ bản của hình chữ nhật:

 Có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau

 Có tất cả các góc cùng là góc vuông

 Hai đường chéo bằng nhau

 Giao của hai đường chéo cũng đồng thời là

trung điểm của mỗi đường

Bước 1 Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M

thuộc BC Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh A, I, M thẳng hàng

Từ giả thiết, ta có:   90 o

DAE BAC 

ADM 90 do MDo AB 

 90 do MEo AC 

Bước 2 Chỉ ra tính chất tương ứng với yêu cầu

của bài toán

Nên tứ giác ADME có ba góc vuông

Vậy ADME là hình chữ nhật

Tứ giác ADME là hình chữ nhật nên AM và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của AM

Do đó ba điểm A, I, M thẳng hàng

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O và điểm M trên đoạn OB Lấy E là điểm đối xứng với A qua

M Gọi H là hình chiếu vuông góc của E trên BC Dựng hình chữ nhật EHCF Chứng minh rằng ba điểm

M, H, F thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao của hai đường chéo trong hình chữ nhật EHCF Suy ra I là trung điểm của CE, HF

Ta có: DCF DCB BCF 90o90o 180o nên ba điểm D,C, F thẳng hàng

Từ giả thiết, ta có:

M là trung điểm của AE (tính chất đối xứng tâm), O là trung điểm của AC (do O là tâm của hình chữ nhật ABCD)

Nên OM là đường trung bình của ACE

2

OM CE OM  CE

Ta có ODC cân đỉnh O (do OC OD ) nên OCD ODC

ICF

 cân đỉnh I (do IC IF ) nên IFC ICF

Mà OM CE  ODC ICF  (đồng vị)

Suy ra OCD IFC

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên IF CO hay HF AC  1

Ta cũng có M, I là trung điểm của AE ,EC nên MI là đường trung bình của ACE

Từ (1), (2) suy ra ba điểm M, H, F thẳng hàng

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC  , đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D sao cho

HD HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

a) Chứng minh ABAE

b) Gọi M là trung điểm của BE Tính số đo góc AHM .

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CE M là điểm bất kì trên cạnh BC Gọi I, H, K theo thứ

tự là hình chiếu vuông góc của M trên CE, AB, AC

a) Chứng minh tứ giác MIEH là hình chữ nhật

b) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên đoạn BC thì tổng MH MK không đổi

Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE Gọi K, H theo thứ tự là chân đường vuông góc

kẻ từ B, C đến DE Chứng minh HE DK

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a)

Dựng EN AH N AH

Ta có ENH NHD HDE  90o nên tứ giác HNED là hình chữ nhật

NE HD HA

Ta có NE BC (cùng vuông góc với AH)

AEN ACB

  (đồng vị)

Mà ta có:   90 o

ACB ABC 

BAH ABH 

ACB ABC BAH ABH

Xét ABH và EAN có:

AHB ANE 

AH NE (chứng minh trên)

BAH AEN ACB

 

ABH EAN g c g

Suy ra ABAE

b) ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của ABE vuông 1

2

Tương tự, ta có 1

2

DM  BE

Ta chứng minh được AHM DHM c c c 

AHM DHM

  hay HM là phân giác của AHD.

Do đó  1 1.90 45

AHM  AHD 

Câu 2.

a) từ giả thiết, ta có CEAB (tính chất đường cao)  IEH 90 o

Có MI CE MIE90 o

 90o

MH AB MHE

Nên tứ giác MIEH có MIE MHE HEI  90 o

Vậy tứ giác MIEH là hình chữ nhật.

Do MIEH là hình chữ nhật nên ta có MH EI

b) Ta có: ABCACB (tính chất tam giác cân)

AB IM (do MIEH là hình chữ nhật)  ABC IMC (đồng vị)

Suy ra, ta có IMCACB hay IMC KCM

Ta chứng minh được MICCKM (cạnh huyền-góc nhọn) nên MK CI (hai cạnh tương ứng)

Do đó, ta có: MH MK IE IC CE 

Do ABC cố định nên đường cao CE cố định và độ dài CE không đổi

Vậy khi điểm M di động trên đoạn BC thì tổng MH MK không đổi

Câu 3

Từ giả thiết, ta có : BDAC CE, AB

Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE

Xét DBC có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ta có

2

BC

DM 

Tương tự, EBC vuông tại E có EM là trung tuyến nên

2

BC

EM 

Suy ra

2

BC

DM EM  Do đó MED cân đỉnh M

MI

 vừa là trung tuyến vừa là đường cao của MED

MI DE

Ta có: BH CK MI  (cùng vuông góc với HK)

Xét hình thang BCKH có MI BH CK  và M là trung điểm của BC

Suy ra MI là đường trung bình của hình thang Do đó, I là trung điểm của HK

IH IK IE EH ID DK

Mà ta có IE ID (I là trung điểm của DE) nên suy ra EH DK

Dạng 3 Sử dụng định lý thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

Phương pháp giải

Áp dụng định lý thuận và đảo đối với tam giác

vuông Tam giác ABC có M là trung điểm của BC

2

o

A  AM  BC

Sử dụng định lý để chứng minh các đối tượng hình

(tam giác, đoạn thẳng, góc) bằng nhau hoặc chứng

minh tam giác vuông

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại



A ABC  BC a Gọi M là trung điểm của

BC, d là đường thẳng qua M và vuông góc với BC

EM AB

Bước 1 Xác định yêu cầu của bài toán cùng với hệ

giả thiết để lựa chọn định lý thuận/ đảo về trung

tuyến trong tam giác vuông

Xây dựng hệ điều kiện đầy đủ cho định lý tương

ứng

Bước 2 Tập hợp hệ điều kiện đầy đủ và kết luận:

Chứng minh tam giác BCE là tam giác vuông

Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh tam giác

vuông, trong đó có các giả thiết liên quan đến độ dài, góc sẽ sử dụng đến định lý đảo về trung tuyến

Hướng dẫn giải

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam

2

BC

MA MB MC   a

Xét ABM có: MA MB ABC , 60o nên ABM

là tam giác đều

Suy ra AB MA MB a  

Từ giả thiết, ta có EM AB a nên

EM MB MC a  Xét tam giác BCE có EM là trung tuyến và

2

BC

EM  a Nên BCE vuông tại E

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có đường cao BM, CN cắt nhau tại H Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các

cạnh AH, BC

Chứng minh tam giác NIK là tam giác vuông Biết AH 10cm BC, 24cm Tính độ dài IK

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có H là trực tâm của ABC nên AH là đường cao

thứ ba của ABC

Gọi D là giao điểm của AH và BC, suy ra HDBC

Từ giả thiết, ta có CN AB

Suy ra AHNvuông tại N, trong đó NI là trung tuyến ứng với cạnh huyền.

2

IN IH IA AH

INH

  cân đỉnh I

INH IHN

  (hai góc ở đáy của tam giác cân) (1)

Tương tự NK là trung tuyến ứng với cạnh huyền của BCN vuông nên 1

2

KN KC KB  BC KNC

  cân đỉnh K

KNC KCN

  (hai góc ở đáy của tam giác cân) (2)

Cộng từng vế (1), (2), ta được: INH KNC IHN KCN  

Mà IHN CHD (đối đỉnh) nên INH KNC CHD KCN   90o (do CHD vuông tại D)

Suy ra INK 90o Vậy INK vuông tại N

NI    cm NK   cm

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong IKN, ta có IK2 NI2NK2 52122 169

Suy ra IK 13 cm

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1 Cho hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt là 12cm, 9cm Đường chéo của hình chữ nhật

có độ dài là

Câu 2 Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 48cm, 14cm Độ dài đường trung tuyến ứng

với cạnh huyền của tam giác đó là:

Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân

ADB DA DB

  và ACE EA EC   Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM với AB và

K là giao điểm của EM với AC Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật

c) Tam giác MED là tam giác vuông cân

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ

từ H đến AB, AC

a) Chứng minh rằng AH DE

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh HB, HC Chứng minh rằng DI EK

Lới giải chi tiết

Câu 3.

Từ giả thiết ta có

 90o

BAC  (tam giác ABC vuông tại A)

 45o

DAB  (ABD vuông cân tại D)

 45o

CAE  (ACE vuông cân tại E)

Nên ta có

    90o 45o 45o 180 o

DAE DAB BAC CAE      

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) Có EA EC (do AEC vuông cân tại E)

Suy ra đường thẳng ME là trung trực của đoạn AC

Nên ta có MEAC hay MK AC AKM 90 o

Tương tự, ta chứng minh được  90 o

MI AB AIM  Khi đó, tứ giác AIMK có AIM AKM IAK 90 o

Vậy, AIMK là hình chữ nhật

Theo câu b, EK là trung trực của đoạn AC nên EK cũng là phân giác của AEC suy ra

45 2

o

AEK  AEC

Khi đó MED có  90 ,o   45o

DME DEM AEK  nên MED là tam giác vuông cân

Câu 4.

a) Từ giả thuyết, ta suy ra tứ giác ADHE có

AEH ADH DAE 

Vậy ADHE là hình chữ nhật

Suy ra AH DE (tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật)

b) Ta có ID IB IH  (DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

của BDH vuông)

Tương tự, ta có: KE KH KC

Xét DIH cân đỉnh I có BID IDH IHD  2IHD

Xét KEH cân đỉnh K có EKH 180o  2KHE

Mà ta có  90o  180o  90o 

IHD KHE  IHD  KHE

Suy ra BID2IHD 2 90 o KHE  180o 2KHE

Vậy BID EKH mà hai góc ở vị trí đồng vị nên DI EK

Dạng 4 Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hình chữ

nhật để chỉ ra điều kiện phù hợp của bài toán

Bước 1 Xác định tứ giác (hình bình hành, hình

thang, hình thang cân) với các giả thiết ban đầu

Bước 2 Bổ sung thêm yếu tố để hình hiện tại trở

thành hình chữ nhật

1) Hình bình hành và có một góc vuông/ hai

đường chéo bằng nhau

2) Hình thang cân và có một góc vuông/ hai

đáy bằng nhau

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P ,Q lần lượt

là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Với điều kiện nào của tứ giác ABCD thì từ giác MNPQ là hình chữ nhật?

Từ giả thiết, ta có:

MN là đường trung bình của ABC nên

,

2

AC

MN AC MN  (1)

PQ là đường trung bình của ADC nên

2

AC

PQ AC PQ 

2

AC

PQ MN PQ MN  

Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành

Để MNPQ là hình chữ nhật thì QMN 90o hay

MQMN (2)

Ta có MQ là đường trung bình của ABD nên

MQ BD (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra ACBD Vậy để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD cần có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau

Ví dụ mẫu