010 đề hsg toán 8 móng cái 2011 2012

4,0 điểmCho biểu thức.. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.. a Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam

Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

1

M

a) Rút gọn M

b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương

c) Tìm x để M 3

Bài 2 (6,0 điểm)

a) Cho ,x y là hai số dương và x2010  y2010 x2011 y2011 x2012  y2012.Tính giá

trị của biểu thức S x2020  y2020

b) Giải phương trình:

c) Tìm x và y thỏa mãn: y2 2x2 1 2y x 1

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Chứng minh

bc ac ab

a b c

a  b  c    với mọi số dương , , a b c

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x 4  4x3 7x2 12x20

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB  Vẽ đường cao AH H BC  

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng song

song với AH, cắt đường thẳng AC tại P

a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam

giác BPC.

AH BC

HB  IB 

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) 2x2  8 2x2 4 0;8 4 x2x2  x3 2 x x  24 0

và x 0

M xác định  x2;x0

2

2 2

2

2 2

2

M

x

x

x x

x x



b) Với x2;x0,Mcó giá trị nguyên dương

1 2

x M

x



có giá trị nguyên dương

2

x M



nguyên dương 1

;2

x

là ước của 1 x  (Thỏa mãn điều kiện)1 Thử lại: Với x  ta có: 1

1 2

x M

x





có giá trị bằng 1(Thỏa mãn) Với x  ta có: 1

1 2

x M

x





có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn) Vậy x 1

c)

1

2

x

x



Ta có:  hoặc  Giải được x  hoặc 0 7

Kết hợp với điều kiện ta có:

0 3

2

x M

x





  



1 7

x

Câu 2.

2a) Có x2012  y2012 x2011y2011 x y   x2010 y2010.xy

Do ,x y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012  y2012

Nên x2010  y2010 x2011 y2011x2012  y2012  m 0

1

x

y







Với x 1 y2010 y2011 y  (loại) hoặc 0 y 1

Với y  1 x2010 x2011 x 0(ktm) hoặc x 1

2b.

0

2010 2012 2011 2013

2010 2012 2011 2013

1 5

2010

x

0

2012 2011 2013

2

Câu 3.

3a Với mọi số dương , ,a b c ta có:

bc ac ab

bc ac ab a bc b ac c ab

bc ac ab a bc b ac c ab

ac ab2 bc ab2 ac bc2 0

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

3b.

2

Do x 22  0( x);x23 0x L8 x

Đẳng thức xảy ra  x 22  0 x  Vậy với 2 x  thì L có giá trị nhỏ nhất.2 Giá trị nhỏ nhất của L là 8

1

I

Q

P

K

H B

CK CA

CP CB

Suy ra AKC BPC c g c  (1)

b) AKHvuông cân tại H  K 145 0 Từ (1) K 1 P1450  BAPvuông

Chứng minh

BH AB BHA BAC

AB BC

2

2 2

BP BQ

BHQ



;

BH BQ

PBC

BP BC chung  BHQBPC c g c 

c) BAPvuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác  AI là

IC AC ABC

IB AB

(3)

AC AH ABC HBA

AB HB

Từ (2) và (3) ta có:

1 1

AH BC

dfcm

HB IB

