Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC va fL là trọng tâm tam giác
Trang 1(Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên năm 2011 – 2012)
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4 điểm)
1 Giải phương trình x2 x 1 x2 x 1 2 x
2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x2 2m1x m 3m12 0 có hai nghiệm x 1,
x 2 thỏa mãn điều kiện x1x24 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1
3 3
1 2 x x2 3 1 3 2 8
Câu 2
Giải hệ phương trình:
4 2
1 ,
2 1 1
x y
Câu 3
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện:
x 1x2 y 1y2 2012 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y
Câu 4.
1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O
qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC va fL là trọng tâm tam giác
MNP Chứng minh rằng OA OB OC OH
và ba điểm O, H, L thẳng hàng
2 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho
cot
2 sin
AC BD
, trong đólà số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD
3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I
Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm
1; 5 , 7 5; , 13 15;
(M, N, P không trùng với các đỉnh của ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đườn thẳng AB đi qua điểm Q 1;1 và điểm A có hoành độ dương
Trang 2Đáp Án
Câu 1 1 Cách 1:
Ta có :
x x x x x x
nên phương trình xác định với mọi x Phương tình đã cho tương đương với
2
1 1 2
1 1
0 0
x
x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;
Cách 2: Ta có:
2
x x x x x x
u x v x u v u v
Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta có
uv x x x x x x x x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0
2 Phương trình đã cho có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1x2 4
2
1 2
2
4 0
3
m
m
m
Theo định lý Viet ta có x1x2 2m1 , x x1 2 m3m12
1 23 8 1 2 8 13 8 3 8 12 16 2 40
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m =2, P min 144 khi m = -2
Trang 3Câu 2 Ta có
2
1 1
Đặt
2
b xy
Hệ trở thành: 2 1 *
1
a ab b
2 0
2 0
Từ đó tìm ra a b ; 0;1 ; 1;0 ; 2; 3
+Với a b ; 0;1 ta có hệ
2
0
1 1
xy
+Với a b ; 1;0 ta có hệ
; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 0
x y xy
+Với a b ; 2; 3 ta có hệ
2
2
3 2
1; 3
y
Vậy hệ 5 nghiệm x y ; 1;1 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 ; 1;3
Câu 3: Đặt t x 1x2 thì dễ thấy t > 0 và
2
2
t
t
Từ giả thiết ta có 2 2012
1
t
Từ đây suy ra
2 2
2012
(2) 2.2012
t y
t
Từ (1) và (2) suy ra
2 1 20122 2 2011 2012
2 2.2012 2.2012
Do đó 2011 2 2012 2011 2 2012 2011
t
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 2012 Từ (1) và (2) suy ra 2011
2 2012
x y
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2011 ,
2012 khi
2011
2 2012
x y
Câu 4 1 Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của BC cũng là
trung điểm của HD, trong tam giác AHD có OK là đường trung
bình nên 2OK AH
Ta có:
2
và các đẳng thức tương tự ta được:
3OL2OH
suy ra O, H, L thẳng hàng
Trang 42 Trước hết ta có các kết quả sau:
1 sin ;cot
ABCD
MAB
S
Tương tự ta được:
cot
ABCD
3 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm
M, N, P nên ta lập được phương trình này là: x2y23x 29 0 suy ra tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là
3
;0
2
Do ABKP nên AB có vecto pháp tuyến:
5 2;1 2
AB
Suy ra phương trình
Do A, B là nghiệm của hệ phương trình
4, 5
Suy ra A (1;5), B (-4;-5) Do ACKN nên AC có vecto chỉ phương là
5 2;1 2
AC
n KN
Suy ra phương trình AC: 2x1 y 5 0 2x y 7 0 khi đó tọa độ A, C là nghiệm của hệ
phương trình: 22 2 7 0 2 2 7 1; 5
4, 1
Từ đây suy ra C (4;-1) Vậy A (1;5), B (-4;-5), C (4;-1)
