6 điểm Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.. b Gọi H là giao điểm của AE và BC.. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
Trang 1UBND HUYỆN KỲ HỌC SINH GIỎI BA MÔN VĂN HÓA LỚP 8
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 PHÒNG GD&ĐT
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ THI MÔN:
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1.(4 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a1.3 (x x 2)(3x2 6x 2) 1 a2.a b c2 ( ) b c a2 ( ) c a b2 ( ) a 3 4x4 81
b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: ab bc ca 0
Rút gọn biểu thức: A=
ab c
c ac b
b bc a
a
2 2
2 2
2 2
2
Câu 2.(4 điểm)
a) Cho 1 11 0
z y
x Tính A xyz( 13 13 13)
b) Với mọi x, y, Cho : f x y( , ) 5 x2 2y2 4xy 2 2060x , chứng minh rằng:f (x, y) 2016
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng : A 1 2 3 4 2016 3 3 3 3 3 là số chính phương
b) Cho a a1 , , , 2 a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5
Chứng minh rằng: 3 3 3
1 2 2016
A a a a chia hết cho 5
Câu 4 (6 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF
a) Chứng minh rằng: AE BC
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
Câu 5 (2 điểm) Chứng minh rằng: P=
1
a 3 b 2 c 1 a 4 c Với mọi a,b,c
HẾT
ĐỀ CHÍNH
THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8
ần
m Câu
5đ a.1 3 (x x 2)(3x2 6x 2) 1 (3x2 6 )(3x x2 6x 2) 1
(3 6 ) 2(3 6 ) 1
x x x x = (3x2 6x 1) 2
0.5 0.5
a.2
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
a b c b c a c a b =a b c2 ( ) b a c2 ( ) c a b2 ( )
=a b c2 ( ) b2(a b ) ( b c )c a b2 ( )
= (a2 b b c2 )( ) ( c2 b2 )(a b ) = (a b a b b c )( ( ) ( b c b c a b )( )( )
= (a b b c )( ) ( a b b c )= (a b b c a c )( )( )
0.5
0.5 0.5 a.3 a3
4
4x 81 = (2 )x2 2 36x2 81 (6 ) x 2 = 2x2 9 2 (6 )x 2
=2x2 6x 9 2 x2 6x 9
0.5 0.5
b
Rút gọn biểu thức: A=
ab c
c ac b
b bc a
a
2 2
2 2
2 2
2
ab ac bc 0 ab ac bc; ac bc ab; ab bc ac
A=
a ab ac bc b bc ab ac c ac bc ab
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
1 ( )( )( )
a b a c b c
a b a c b c
0.5
0.5 0.5
Câu
2
A
2 đ Ta có: 1 1 1
0
x y z
x y z
3
3
Vậy: 1 11 0
z y
x x13 y13 z13 xyz3 .
do đó: A xyz( 13 13 13)
3 3 3
0.5
0.5
0.5
0.5 B
1 đ
2 2 ( , ) 5 2 4 2 2060
f x y x y xy x
( , ) 4 2 9 4 12 6 10 25 6 9 2017
f x y x y xy x y x x y y
( , ) 2 3 5 3 2017
f x y x y x y f x y( , ) 2016 với mọi x,y
0.5 0.5 Câu
3 a a) Chứng minh : A 1 2 3 4 2016 3 3 3 3 3 là số chính phương.Thật vậy:
Trang 32 2 2 2 2 2
.4.1 4.2 4 3 4 4 4 5 4.2016
A
2 0 3 1 4 2 5 3 2017 2015
A
1.2 0.1 2.3 1.2 3.4 2.3 2016.2017 2015.2016
A
2 2016.2017 2
A ; A1008.20172; Vậy A là số chính phương
0.5
0.5
0.5
0.5
b Dễ thấy: a5 a a a ( 4 1) a a( 2 1)(a2 4 5) a a( 2 1)(a2 4) 5 ( a a2 1)
2 ( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1)
a a a a a a a (a 2)(a 1) (a a 1)(a 2) là tích của 5
số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; còn 5 (a a2 1) là bội của 5 nên chia
hết cho 5
Vậy; 5
a a chia hết cho5
1 2 2016 1 2 2016 1 2 2016
1 1 2 2 2016 2016
Mà a a1 , , 2 a2013 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5
Do vậy A chia hết cho 5.
0.5 0.5
0.5
0.5
Câu
4
K
I O D
C
B
F E
H
0,5
a Ta có: CAB = FMB= 45 0 AC // MF (Vị trí đồng vị)
mà EB MC (T/c đường chéo hình vuông) EB AC
∆ACB có: BE AC; CM AB E là trực tâm của ∆ACB AE BC;
0,5 0,5 0,5
b Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
∆DHM vuông tại H
Chứng minh tương tự ta có: MHF = 90 0
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4Ta có: DMF = 90 0 MF DM mà IO DM IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
Kẻ IK AB (KAB)
IK là đường trung bình của hình thang ABFD
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5 0,5 0,5
Câu
5
Chứng minh rằng: P=
1
a b 3 b c 2 c a 1 a b c 1
Với mọi a,b,c
Thật vậy, với mọi a,b,c ta có:
a b 3 a b c 4;
b c 2 a b c 4
c a 1 a b c 4; 2 24 2 2 24 2
a b c 1 a b c 4 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
P
1
Điều phải chứng minh
0,5
0,5
0,5 0,5