53 59 toán chuyên đề đại số

Giải phương trình: Giải: Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x 0.. a Chứng minh rằng phương trình có bón nghiệm phân biệt.. b Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình.. Phươn

 

2

2

1

x

x



3

2 1

2

x

x

x









Ví dụ 45 Giải phương trình:

Giải:

Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x 0

 

2

Đặt x 2 y

x

  , ta có 2 4 2  2

Với y3,y5 thì:

 2  y 2 y 5  y 3 y 4 2y 3 y 5

y 42 0 y 4

     , thỏa mãn

Từ x 2 4

x

  , ta được 2

Đáp số: Hai nghiệm: 2 6

Ví dụ 46 Giải phương trình:

 2 2

2 4

Giải:

ĐKXĐ: x 0 và x 4

Đặt: 4 xy Ta có hệ phương trình:

2 2

4 4

x y

x y



Đặt xy a 0, ta có:

 2

2

2

a

4

8

a

a





 Với xy = 4 thì x, y là nghiệm của pương trình

2

X  X    X  

Đáp số: Ba nghiệm: 2; 2 2 3.

Ví dụ 47 Giải phương trình:

2

4 1

Giải:

ĐKXĐ: x 0 và x 1

 

 2 2

2

2

Đặt

1

1

5 4

2

y

y







 



Với 1

2

2

x

x







2

2

x x   x  x  , vô ngiệm

Đáp số: Hai nghiệm: 1 và -2.

BÀI TẬP Phương trình bậc ba

47 Giải các phương trình:

a) 3

39 70 0;

x  x 

b) x3 9x28 0;

c) x3 x 2 0;

d) x3 3x23x 7 0;

e) x36x212x 8 0;

48 Giải các phương trình:

x3 3abxa3b3 0 với a, b là các tham số, a b

Phương trình bậc bốn

49 Giải các phương trình:

a) x4 4x3 3x214x 6 0;

b) x1 2  x1 3  x1 6  x1 120;

c) x4 x314x2 3x 9 0;

d) x23x2 x29x18168 x2

50 Giải các phương trình:

a) x2 x144x4 5x x2 2 x1 ;2

b) x2x13x24 2;

d) x4x 2 x2 2x4 0.

51 Cho phuong trình 2x4 4x2  Không tìm ngiệm cụ thể, hãy:1 0 a) Chứng minh rằng phương trình có bón nghiệm phân biệt b) Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình

Phương trình dạng phân thức

52 Giải các phương trình:

a)

2

;



b)

2 2

2

9

16;

3

x x

x



c)

; 4

4

1

1

x

x x



 



53 Giải các phương trình:

a)

2

2

1

x

b)

 2  2

2

C huyên đề 5

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.

Ta gọi phương trình chứa căn thức bậc hai là phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai Đây là dạng toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi vì nó đòi hỏi sự thành thạo và sáng tạo của học sinh

Chuyên đề giới thiệu những phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa căn thức bậc hai như:

- Bình phương hai vế của phương trình

- Đưa phương trình về dạng   2 2

- Đưa phương trình về dạng     2 2 0

- Đặt nhân tử chung

- Dùng biểu thức liên hợp

- Dùng bất đẳng thức

Bài toán cổ

BÀI TOÁN CỦA BÁT-XCA-RA

Tìm các cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng số đo cạnh huyền và số đo diện tích biểu thị bởi cùng một số

Giải

Gọi x và y là độ dài các cạnh góc vuông thì độ dài cạnh huyền bằng x2y2 và diện tích bằng

2

xy

.ta cs phương trình:

2 2

xy

2

4

4

y

y



Bài toán có vô số đáp số là 22 ;

4

y y y

với y tùy ý lớn hơn 2

Chẳng hạn với y = 6, ta có: x 2 3

I BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Bình phương hai vế của phương trình giúp khử dấu căn bậc hai Phép bình phương hai vế của phương trình là tương đương nếu có thêm điều kiện hai vế cùng không âm (hoặc cùng không dương)

Ví dụ 48 Giải phương trình:

x2 x 2 2 16 x1  1

Giải

ĐKXĐ: 1

16

x  Thêm điều kiện x2 x 2 0 (2) thì:

1  x  x 2 4 16x1

 x4 2x3 3x2 60x0

 5  2 3 12 0

 x = 0 loại vì trái với (2)

 x = 5 thỏa mãn (1) và (2)

 x23x12 0 vô nghiệm

Đáp số: Phương trình có một nghiệm x = 5.

Lưu ý: Cách giải khác, xem ví dụ 53

Ví dụ 49 Giải phương trình:

Giải

ĐKXĐ: 4

3

x  Thêm điều kiện x25x  (2) thì:6 0

1  x 5x6 4 3x4

x 12x2 8x 20 0

 x = -1 thỏa mãn (1) và (2)

8 20 0

x  x  vô nghiệm

Đáp số: Một nghiệm x = -1.

Lưu ý: Các cách giải khác, xem các ví dụ 55, 65, 74.

II ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG 2 2

  ( tức là     )2 2 0

Ví dụ 50 Giải phương trình:

4x28x 2x6  1

Giải

ĐKXĐ: x 3 Cộng 2 61

4

x  vào hai vế thì

       

2

x   x  x  x

2

4

x

x





, thỏa mãn ĐKXĐ

2