32 38 toán chuyên đề đại số

Hệ phương trình bậc cao hai ẩn không được học chính thức trong chương trình đại số 9, nhưng về kiến thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc hai một ẩn ta có thể giải phư

C huyên đề 2

DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.

12 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax by c  , trong đó a, b, c là các số đã biết (

0

a  hoặc b 0), x và y là các ẩn.

Ví dụ 66 Cho đường thẳng:

a) Chứng minh rằng…

b) Tìm giá trị…

Giải: a)

Bài tập

198 Xét các đường thẳng…

199 (*) [dành cho bài đánh dấu *]

200 Cho đường thẳng…

a) Tìm điểm…

b)

201 A

Lưu ý : Các thầy cô copy địn dạng xuống là gõ Mình gõ font chuẩn là time new Roman trên cả mathype size 12 nhé

Thầy cô không cần phải vẽ hình Mình sẽ phân công người vẽ hình riêng để hình của mình được thống nhất từ đầu đến cuối

2 1

x y m





nghiệm x y duy nhất thỏa mãn tích ,  xynhỏ nhất.

Giải:

Rút từ  1 ta được y m  2x Thay vào  2 ta được

2 2

2

1



3

2

x m

y m

 





 



2

xy m m m  m m   

  9

min

4

xy  tại 1

2

m  (thỏa mãn 2

3

m  )

II Hệ phương trình bậc cao hai ẩn

Hệ phương trình bậc cao hai ẩn không được học chính thức trong chương trình đại số 9, nhưng về kiến thức hệ phương trình (bậc nhất hai ẩn) và phương trình bậc hai một ẩn ta có thể giải phương trình bậc cao hai ẩn

Các phương pháp thường dung để giải hệ phương trình bậc cao hai ẩn là phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dung bất đẳng thức

1 Phương pháp thế

Trong phương pháp thế, từ một phương trình ta biểu thị một ẩn theo ẩn kia (hoặc tìm giá trị của một ẩn) rồi thay thế vào phương trình còn lại

 

3 1 1

xy x y

x y x y x y







Giải:

 2  2 2   0

0

x y

x y





Loại x y 0vì không thỏa mãn  1

Thay vào  1 ta được x2 4x1 0  x 2 5.

Đáp số: Nghiệm của hệ là 2 5, 2 5 , 2   5, 2 5

Ví dụ 25 Giải hệ phương trình  

 

1 1

7 2

x y









Giải:

Thay x y 1vào ta được  2 x2y2 x y 7x y

2

0

3 0 3

x

x y xy

y xy





 Với x 0 thì y  1

Với x 0 thay ybởi 1 x vào  3 ta được 2

2

2

x

x







 



Đáp số: Nghiệm x y của hệ là ,  0,1 , 2, 1 ,   1 3,

2 2

2.Phương pháp cộng.

Trong phương pháp cộng, ta cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình để khử một ẩn hoặc để tìm một quan

hệ giữa hai ẩn

Ví dụ 26 Giải hệ phương trình  

 

3 3

1 2 1

1 2 2







Giải:

Lấy  1 trừ  2 ta đượcx3 y32y x  x y x   2xy y 220

x xy y  x    

Thay y x vào  1 ta đượcx31 2 x

1

2

x

x







 





Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, khi thay y bởi x thay x bởi y thì phương trình  1 trở thành phương trình  2 , phương trình  2 trở thành  1 Ta gọi đó là phương trình trên là hệ đối xứng loại II

Để giải hệ phương trình đối xứng loại II, ta trừ vế theo vế hai phương trình và nhận được phương trình tích

3.Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 27 Giải hệ phương trình  

 

2 1

20 2

x y xy







Giải:

Đặt x y a xy b  ,  ta có

 

 

 

 

2 20 2





4

a

a





Với a 6 thì b 8 Ta có x và y là nghiệm phương trình X2 6X   nên 8 0 X 2, 4 Khi đó

x y là ,  2, 4 , 4, 2   

Với a 4 thì b 2 Ta có x và y là nghiệm phương trình 2

x y là ,  2 6, 2 6 , 2   6, 2 6

Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, khi x thay bởi y , thay ybởi x thì mỗi hệ phương trình của hệ đều

không đổi Ta gọi hệ phương trình trên là hệ đối xứng loại I

Để giải hệ phương trình đối xứng loại I, ta thường đặt ẩn phụ và (giữa a và b có mối quan hệ b2 4a )

Ví dụ 28 Giải hệ phương trình

1 1





Giải:

Cách 1: Đặt x y a xy b  ,  ta có

 

 

1









Từ  1 suy ra 2 1

2

a

b  Thay vào  2 ta được

   2

a

a











 Với a 1 thì b 0 Ta có x và y là nghiệm phương trình X2 X  nên 0 X 0,1 Khi đó x y là, 

0,1 , 1,0   

Với a 2 thì 3

2

b  Ta có x và y là nghiệm phương trình 2 3

2

2

2

b  do a2 4b )

Đáp số: Nghiệm x y của hệ là ,  1,0 , 0,1   

Cách 2: Trừ vế theo vế hai phương trình, ta được

x  x y  y   x x y y 

Do x2y2 1 nên 2

1

x  suy ra x 1 Tương tự y  1 Suy ra x x 2 10và y y 2 10

Kết hợp với 3 suy ra x x2 1 y y2 1 0

Vậy x0,y1 hoặc x1,y0

Ví dụ 29 Giải hệ phương trình

12 1

y x











Giải:

 

5

12 12

x y xy

y x















.

Đặt a xy từ  1 ta có 5

12

x y  a Thay vào  2 ta được

2

5

2

12

12

a

a













25

x y  

2

x y   a     

Từ

7

5

1

5

x y

x y









ta được

4 5 3 5

x y









 



Từ

7 5 1

5

x y

x y









ta được

3 5 4 5

x y









 



Với a 12 thì x y 2  1 2a 1 240(loại).

Đáp số: Nghiệm x y của hệ là ,  4 3, , 3, 4

Ví dụ 30 Giải hệ phương trình  

 

3 1

x xy y







Giải:

Nhân hai vế  1 với  4 rồi trừ đi  2 vế theo vế ta được

4 x  xy y  2x  xy3y  0 2x  3xy y 0

y

 thì y x ta được 2

1

2

k

k







 



Với k 1 thay vào  1 ta được x2 x2x2  3 x 3

Khi đó x y;  là  3; 3 ;  3; 3 

2

k  thay vào  1 ta được x2 2x24x2  3 x1

Khi đó x y;  là 1;2 ; 1; 2    

Đáp số: Nghiệm x y;  là  3; 3 ,  3; 3 ; 1;2 ; 1; 2      

Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, mỗi phương trình đều có vế trái là các hạng tử bậc hai, vế phải là hằng

số Ta gọi hệ phương trình trê là hệ đẳng cấp bậc hai

Để giải hệ phương trình đẳng cấp bậc hai, thường khử hằng số rồi chia hai vế của phương trình cho

y2 và đặt ẩn phụ 0 x

k

y cũng có thể biến đổi  3 thành x y  2x y 0

4 Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Ví dụ 31 Giải hệ phương trình sau với x, y không âm    

 

2 2

3 1

x xy x y





 Giải:

cộng (1) với (2) được x2y2xy x y    x y  6xy0

2

Do x y, không âm nên x y 2 xy x,  1 2 x y,  1 2 y

Nên x y x   1 y1 x y x   1 y18 4xy  

Do (3) nên ở (4) phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là x y 1

Nghiệm x y là ;  1;1 

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN.

Ví dụ 32 Giải hệ phương trình

2 2 2

2 2







