46 52 toán chuyên đề đại số

Và kết quả thật khó tin: Tac-ta-li-a đã thắng với tỉ số 30 0 , tức là ông đã làm hết cả 30 bài toán mà đối phương đưa ra, còn đối phương thì không giải được một bài toán nào của ông.. S

30 đề toán giải phương trình bậc ba, làm trong hai giờ Và kết quả thật khó tin: Tac-ta-li-a đã thắng với tỉ

số 30 0 , tức là ông đã làm hết cả 30 bài toán mà đối phương đưa ra, còn đối phương thì không giải được một bài toán nào của ông

Sở dĩ Tac-ta-li-a đã giành chiến thắng tuyệt đối vì, rất may cho ông, chỉ 8 ngày trước khi diễn ra trận so tài, ông đã tìm ra cách giải phương trình bậc ba dạng x3ax b  với 0 a và b bất kì, trong khi các học

trò của Fe-rô chỉ mới biết giải phương trình x3ax b với a và b là các số dương.

Lưu ý Phương trình bậc ba nào cũng dễ dàng đưa về y3my2ny c  , sau đó bằng cách đặt0

3

m

y x  đưa về dạng x3ax b  0

Chẳng hạn, với phương trình y36y28y 315 0 , bằng cách đặt y x  2 ta đưa được phương trình x3 4x 315 0

Bạn đọc muốn tìm hiểu thêm về vấn đề này, xem cuốn Nâng cao và phát triển Toán 9 tập hai trong bài đọc thêm Phương trình đại số bậc cao

Để giải phương trình bậc ba một ẩn, ta thường phân tích đa thức bậc ba thành tích của một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai (nếu có thể)

Cần nhớ các cách phát hiện nghiệm của một đa thức:

1) Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì 1 là một nghiệm của đa thức

2) Nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì 1 là một nghiệm của đa thức

3) Nếu đa thức có các hệ số nguyên thì:

- Nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) là ước của hệ số tự do

- Nghiệm hữu tỉ của đa thức (nếu có) có dạng p

q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của

hệ số bậc cao nhất (chẳng hạn đa thức 3x3 x2  có nghiệm hữu tỉ là x 2 2

3

 )

Ví dụ 36 Giải các phương trình:

a) x312x16 0 b) x312x 9

Giải

a) x312x16 0  x3 8 12 x24 0 x 2 x22x412x 2 0

x 2 x2 2x 8 0 x 2 2 x 4 0

4

x x





  



b) x312x  9 0 x3 27 12 x36 0  x 3 x23x912x 3 0

   2 

2

3 0

x

 





3

3 21 2

x x







 



Ví dụ 37 Tìm các giá trị của a và b để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x a 3 x b 3b3 a3 (1)

Giải

 1  x3 3x a2 3ax2 a3 x33x b2  3xb2b3b3 a3

3b 3a x 2 3a2 3b x2 0

      x b a x b a       0

Nghiệm duy nhất của phương trình là x 0 với điều kiện a b và a b 0

Ví dụ 38 Giải phương trình với a, b là tham số a b x  3 4a3b3x3 12abx (1)

Hướng dẫn: Đặt a b m  , a b n 

Giải

Ta có 4aba b 2 a b 2m2 n2

   

2

a b  a b  a b ab m n   m   

   3  3 3 3

1  m x  4 a b  4x 12abx0

3 3 2 3 2 3 3 3 2 4 3 3 2 3 2 0

Ngoài cách giải đưa về phương trình trùng phương, cách phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích, cần chú ý đến các phương pháp sau:

Dạng 1a.

Với phương trình x a 4x b 4  đặt ẩn phụ c

2

a b

y x  

Dạng 1b.

Với phương trình x44x3ax2bx c  trong đó 0 b2a 8 đặt ẩn phụ y x 1

Dạng 1c.

Với phương trình x4 4x3ax2bx c  trong đó 0 b 8 2a đặt ẩn phụ y x 1

Giải

Đặt y x 1 thì x y 1 Ta có

 1  y144y133y12 2y1 12 0 

Rút gọn được

2

2

5

2

y

y

 



Đáp số: x  1 5

Dạng 2a.

Với phương trình ax2bx c ax   2bx d  m ta đặt y ax 2bx (hoặc 2

2

c d

y ax bx  )

Dạng 2b (trường hợp đặc biệt của dạng 2a)

Với phương trình x a x b x c x d           m trong đó a d b c   , ta tính x a x d     và

x b x c     rồi đưa về dạng 2a

Ví dụ 40 Giải phương trình: 2 8 x7 2 4x3 x1  7

Giải

Nhân hai vế của phương trình với 8 ta được 8x7 2 8x6 8  x8 56

Đặt 8x 7 y ta có y2y1 y1 56 y4 y2 56 0

2 2

8

2 2 7

y

y y

 



Do đó 7 2 2

8

x 

Dạng 3a.

Với phương trình đối xứng ax4bx3cx2bx a  ta chia hai vế cho 0 x rồi đặt 2 y x 1

x

 

Dạng 3b.

Với phương trình ax4 bx3cx2 bx a  ta chia hai vế cho 0 x rồi đặt 2 y x 1

x

 

Dạng 3c.

Với phương trình đối xứng x4ax3bx2akx k 2  ta chia hai vế cho 0 x rồi đặt 2 y x k

x

 

Dạng 3d.

Với phương trình ax2bx c ax   2dx c  mx2 ta chia hai vế cho x , từ đó xuất hiện cách đặt ẩn 2 phụ

Dạng 3e (trường hợp đặc biệt của dạng 3d)

Với phương trình x a x b x c x d           mx2, trong đó ad bc , ta tính x a x d     và

x b x c     rồi đưa về dạng 3d

Giải

Do x 0 nên (1) x2 x 6 2 42 0

x x

6 0

x x

      

Đặt x 2 y

x

  thì x2 42 y2 4

x

   Ta có

2

y

y





 Với y  ta có 1 2 1 2 2 0 1

2

x

x x





Với y  , ta có 2 x 2 2 x2 2x 2 0 x 1 3

x

Đáp số: Bốn nghiệm 1; 2; 1  3

Ví dụ 42 Giải phương trình 2x2 7x6 2  x2 x 2 9x12 (1)

Đặt x1y thì x y 1 Thay vào (1) rồi rút gọn được 2y2 3y1 2  y25y1 9y2 Chia hai vế cho y  được2 0

         

Đặt 2y 1 1 a

y

   ta có a 4 a4 9 a5

Với a 5 thì 2 1 1 5 2 2 4 1 0 2 2

2

y



Do đó 4 2

2

x 

Với a 5 thì 2y 1 1 5

y

2

2

x 

Đáp số: Phương trình có bốn nghiệm 4 2

2



; 1 7 2

 

4. Phương pháp 4 Thêm cùng một biểu thức vào hai vế để đưa phương trình về dạng A2 B2

Ví dụ 43 Giải phương trình x4 2x2 8x3

Giải

Cộng 2x  vào hai vế được 2 1 x42x2 1 4x2 8x 4 x212 2x 22

 

 

2 2







(1) Vô nghiệm; (2) có nghiệm 1  2

Đáp số: Hai nghiệm 1  2

III PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC

Một số cách thường dùng khi giải phương trình dạng phân thức:

- Nhân hai vế với mẫu thức chung rồi đưa về phương trình tích

- Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x rồi đặt ẩn phụ

- Đưa phương trình về dạng A2 B2

- Đặt hai ẩn phụ rồi giải hệ phương trình

Ví dụ 44 Giải phương trình

 

2

2 3 4 1

x

x

Giải

Cách 1 ĐKXĐ: x 1 Với điều kiện đó thì

 1  x2x1 2 3 4 x  4x36x2 2x 3 0

2x 2x 3 2x 3 0 2x 3 2x 1 0

2

2

2

x

x

















thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Ba nghiệm: 3

2

 ; 2

2

Cách 2  

 

2

2

1

x

x

