CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN - ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

1 Chuyên đề đạ i s ố 9 ôn thi HSG và ôn thi vào 10

Chương 1: CĂN THỨC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Căn thức bậc hai:

• Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2 = a

không âm x sao cho bình phương của nó bằng a

• Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn bậc hai ta cần lưu ý:

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

Trường hợp n là số chẵn: n=2k

Mọi số thực a>0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau Căn bậc chẵn dương ký hiệu là 2k a

(gọi là căn bậc 2k số học của a) Căn bậc chẵn âm ký hiệu là −2ka; 2ka x x 0 = ⇔ > và

=

2k

x a; −2ka x x 0 = ⇔ ≤ và x2k= a;

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU:

Dạng 1 : Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị của biểu thức:

Phương pháp:

mở giá trị tuyệt đối nếu có

Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc:

4 2 thì | 4x 1 1 | − − = − 4x 1 1 − + suy ra B=2 c) Để ý rằng 7 4 3 (2 − = − 3)2− 7 4 3 2 − = − 3

chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006)

c) Chứng minh rằng x= 3a+ a 1 8a 1+ − + 3a− a 1 8a 1+ −

8 là số tự nhiên d) Tính x+y biết (x + x2+ 2019 y)( + y2+ 2019)= 2019

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

b) Tìm các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện: x 1 −y2 +y 2 −z2 +z 3 −x2 = 3

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán – Trường chuyên ĐHSP Hà Nội, 2014)

c) Tìm các số thực x y, thỏa mãn điều kiện: 2(x y− + 4 y x− 4)=xy

d) Giả sử (x y; ) là các số thực thỏa mãn (x+ 3 +x2)(y+ 3 +y2)= 9 Tìm giá trị nhỏ nhất

P=x +xy+y e) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: P= 4 1 +x+ 4 1 − +x 4 1 −x2

2 1x −y2 + 2y 2 −z2 + 2 3z −x2 ≤x2 + − 1 y2 +y2 + − 2 z2 +z2 + − 3 x2 = 6 Suy ra VT≤VP Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a b

≤ + + ≤ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= = ⇔ =b 1 x 0

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

11

( )

2 2

+

= +

d) Cho x≥0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D= 1 − +x 1 + +x 2 x

(Tuyển sinh Hà Nội 2018)

e) Cho số thực x thỏa mãn : 0≤ ≤x 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của;

+ dẫn đền A≥ − = 2 1 1, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0

khi đó giá trị nhỏ nhất của A là 1

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

13

Từ đó suy ra C ≥ 24, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= 4,b= 16,c= 36.

Hay GTNN của C là 24 tại a= 4,b= 16,c= 36

d, Điều kiện 0 ≤ x≤ 1

Ta viết lại D= 1 − +x 1 + +x 2 x = 1 − +x x+ 1 + +x x, do x≥ 0 suy ra 1 + +x x ≥ 1

Ta có ( x+ 1 −x)2 = + − +x 1 x 2 x(1 −x)= + 1 2 x(1 −x)≥ 1 suy ra D≥ 2, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 0

Hay P2 = 75 +(5x−x2) (2 8( −x)(x+ 3)− 1 ) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

Ta viết lại: G= 5x−x2 + 5x−x2 + 18 2 − x Do 5x x− 2 ≥ 0 với mọi x thỏa mãn 0 ≤ x≤ 5

nên ta có G≥ 18 2 − x ≥ 18 2.10 − = 8.Dấu đẳng thức xảy ra tạix= 5. Vậy GTNN của G

bằng 2 2 khi x= 5.

Ví dụ 2

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

15

a, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 .

x A x

+

= +

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

x B

−

=

d, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:D= 9 − +x x.

e, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:E= −x2 + 4 9( −x)(1 3 + x)

f, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:F = 5x−x2 + 18 3 + x−x2

Vậy GTNN của A bằng 1 khi x=0

b, Điều kiện: x≥0 ta có: x− 2 x+ = 9 ( x− 1)2+ > 8 0 suy ra B≥0

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

17

C

= + với A B, là số nguyên, C nhận giá trị nguyên hoặc vô

tỉ thì P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi Clà số nguyên và Clà ước số của B

C

= + với A B, là số hữu tỉ, C nhận giá trị thực Ta thường tìm cách đánh giá P, tức là chặn Ptheo kiểu M≤P≤Ntừ đó suy ra các giá trị có thể có của P.Hoặc tìm điều kiện của Pđể tồn tại biến x y, , thỏa mãn yêu cầu bài toán từ đó suy ra các giá trị nguyên có thể có của P

+ Đối với các bài toán tổng hợp học sinh cần chú ý điều kiện ban đầu để loại các giá trị không thỏa mãn

Ví dụ 1

a, Tìm các giá trị nguyên của x để 2 5

1

x P x

Vậy không tồn tại x để P là số nguyên

2

x x

nên ( ) ∗∗ không thể xảy ra Tóm lại P không thể nhận giá trị nguyên

III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

2

x

x x

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

1 366.

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

Vậy P 4 ≤ khi và chỉ khi 0 ≤ x< 4 hoặc x> 9.

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

b, Tính giá trị của P khi x= 4

c, Tìm các giá trị của x để P là số tự nhiên

Do x≥ 0 nên 0 5 5

1

x

< ≤ + suy ra 2< P≤ 7 Vì P là số nguyên nên

{3; 4;5;6;7} 5 {3; 4;5;6;7} 1 5; ; ; ;15 5 5

2 3 4 1

b, Tính giá trị của biểu thức P khi a=3- 5 và b = 0,5

c,Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a2 +4b2 =8

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

Bài 11: Cho biểu thức P = 2 : 1 2

a, Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P

Chuyên đề đạ i s ố 9 ôn thi HSG và ôn thi vào 10

thỏa mãn (*) Vậy GTNN của P là 20 khi x=100

1 1

B x

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

x x

Bài 14 Cho biểu thức: 2 1 . 1

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

−

c, Tìm x thỏa mãn điều kiệnx x.(P-2)+x+4=3 x3 + 4x

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

31

thuận giữa y và x

2 Tính chất:

a Hàm bậc nhất, xác định với mọi giá trị x∈ ℝ

b Trên tập số thực, hàm số y=ax+b đồng biến khi a> 0 và nghịch biến khi a< 0

3 Đồ thị hàm số: y=ax b a+ ( ≠ 0)

+ Đồ thị hàm số y=ax+b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt

a

− + a gọi là hệ số góc của đường thẳng y=ax+b

4 Cách vẽ đồ thị hàm sốy=ax+b

+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm

+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ

+ Chú ý: Đường thẳng đi qua M m( ;0) song song với trục tung có phương trình: x m− = 0

Đường thẳng đi qua N(0; )n song song với trục hoành có phương trình: y− =n 0

6 Điều kiện để hai đường thẳng song song Hai đường thẳng vuông góc

2 ( ) :d y=a x+b, a, a ≠ 0.

Chú ý: Gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b và trục Ox, nếu a> 0 thì tan = a.ϕ

II MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT TỌA ĐỘ

Ví dụ 1

Chuyên đề đạ i s ố 9 ôn thi HSG và ôn thi vào 10

Cho đường thẳng ( ) :d1 y= +x 2 và đường thằng 2 2

2 ( ) :d y= (2m −m x) +m +m.

a Tìm m để ( ) // (d ).d1 2

b Gọi A là điểm thuộc đường thẳng ( )d1 có hoành độ x= 2 Viết phương trình đường thẳng ( )d3 đi qua A vuông góc với ( )d1

c Khi ( ) // (d ).d1 2 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ), ( ).d1 d2

d Tính khoảng cách từ gốc tọa O đến đường thẳng ( )d1 và tính S∆OMN với M N, lần lượt là giao điểm của ( )d1 với các trục tọa độ Ox Oy,

( ) vµ (d )d cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm A B,

lần lượt thuộc ( ) vµ (d )d1 2 sao cho AB⊥ ( );d1 AB⊥ ( ).d2

Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng ( )d3 và ( )d2

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d2 và ( )d3 là

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

33

Chú ý: Nếu tam giác OMNkhông vuông cân tại O Ta có thể tính OH theo cách:

Trong tam vuông OMNta có:

theo cách:

+ Tìm các giao điểm M N, của ( )d với các trục tọa độ

thức (*)) để tính đoạn OH

Bẳng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:

Cho điểm M x y( ; )0 0 và đường thẳng ax+by+ =c 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là:

b Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d là lớn nhất

c Tìm m để đường thẳng ( )d cắt các trục tọa độ Ox Oy, lần lượt tại A B, sao cho tam giác OAB cân

Đường thẳng ( )d được viết lại như sau: mx+ (2 3 ) − m y+m− = ⇔ 1 0 (2 3 ) − m y= −mx+ − 1 m.

đường thẳng ( )d cắt Ox Oy, tại các điểm A B, tạo thành tam giác cân OAB Do

AOB= 90 0  ∆OAB vuông tại O Suy ra hệ số góc của đường thẳng ( )d phải bằng 1 hoặc

-1 và đường thẳng ( )d không đi qua gốc O

1 1

giác OAB cân là

1 1

Cho hai đường thẳng ( ) :d1 mx+ (m− 1)y− 2m+ = 1 0, (d ) : (12 −m x) +my− 4m+ = 1 0

a Tìm các điểm cố định mà ( ), ( )d1 d2 luôn đi qua

b Tìm m để khoảng cách từ điểm P(0; 4) đến đường thẳng ( )d1 là lớn nhất

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

35

khi m thay đổi

d Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB với A B, lần lượt là các điểm cố định mà ( ),( )d1 d2 đi qua

Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi P≡H ⇔PH ⊥ ( ).d1 Gọi y = a + bx là phương trình

Do đó hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại 1 điểm

I

Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng

(d1), (d2) luôn vuông góc và cắt nhau tại điểm I

Mặt khác theo câu a) ta có (d1), (d2) lần lượt đi qua

hai điểm cố định A, B suy ra tam giác IAB vuông

tại A Nên I nằm trên đường tròn đường kính AB

giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB là 2 khi

và chỉ khi IH=IK Hay tam giác IAB vuông cân tại

I

Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Ta có các kết quả quan trọng sau:

+ Xét hàm số y= f x( ) =ax+bvới m≤x≤n khi đó GTLN, GTNN cuả hàm số sẽ đạt được

tại x=m hoặc x=n Nói cách khác: min ( ) min { ( ); ( )}

Như vậy, để tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f x( ) =ax+bvới m≤x≤n ta chỉ cần tính

các giá trị biên là f(m),f(n) và so sánh hai giá trị đó để tìm GTLN, GTNN

+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y= f x( ) =ax+bcó f m( ), ( ) 0f n ≥

thì f x( ) 0 ≥ với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện: m≤x≤n

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

37

+ f x( ) 2(2 = − −y z) 2( + y+z) −yz− = − 4 yz≤ 0 với y,z thỏa mãn: 0 ≤ y z, ≤ 2

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x,y,z)=(0;2;2) hoặc các hoán vị của bộ số trên

    Ta cần chứng minhf t( ) =(9a− 4)t+(2a− 1)2≥ 0 với mọi

Chuyên đề đạ i s ố 9 ôn thi HSG và ôn thi vào 10

Hàm số y=ax a2 ( ≠ 0) : hàm số xác định với mọi số thực x

Tính chất biến thiên:

+) Nếu a> 0 thì hàm số đồng biến khi x> 0, nghịch biến khi x< 0

+) Nếu a< 0 thì hàm số đồng biến khi x< 0, nghịch biến khi x> 0

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng Khi a> 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi a< 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới

Ví dụ 1:

a, Hãy xác định hàm số y= f x( ) =ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(2;4)

b, Vẽ đồ thị của hàm số đã cho

c, Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng 16

d, Tìm m sao cho B m m( ; 3 ) thuộc parabol

e, Tìm các điểm trên parabol khác gốc tọa độ cách đều hai trục tọa độ

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol ( )P :y=ax2 với a< 0 là hình biểu diễn cổng

mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a= − 1

b Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

(Trích đề tuyển sinh vào 10 – trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015 – 2016)

b Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng

2

Đường thẳng này cắt Parabol tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

I

a x

a Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB

c Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Lời giải

a Giả sử A a a( ; 2) và B b b( ; 2) là hai điểm thuộc ( )P Để A B, ≠O(0;0) và OA⊥OB ta cần điều kiện: ab≠ 0 và OA2 +OB2 =AB2 hay ab≠ 0 và 2 4 2 4 ( )2 ( 2 2)2

a +a +b +b = a b− + a −b Rút gọn hai vế ta được: ab= − 1 Gọi I x y( I; I) là trung điểm đoạn AB Khi đó:

Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình y= 2x2 + 1

(AB) :y= (a+b x) −ab= (a+b x) + 1. Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng

(AB) :y= (a+b x) + 1 luôn luôn đi qua điểm cố định (0;1).

Chuyên đề đạ i s ố 9 ôn thi HSG và ôn thi vào 10

c) Vì OA⊥OB nên ab= − 1. Độ dài đoạn ( )2 ( 2 2)2

a, Tính diện tích tam giác OAB.

b, Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của ( )P sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

b, Giả sử C c c( ; ) 2 thuộc cung nhỏ ( )P với − < < 1 c 3.

Diện tích tam giác: S ABC =S ABB A′ ′ −S ACC A′ ′ −S BCC B′ ′

Các tứ giác ABB A AA C C CBB C′ ′ , ′ ′ , ′ ′ đều là hình thang vuông

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C(1;1).

IV MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

43

1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Kiến thức cần nhớ

Đối với phương trình bậc hai ax2 +bx+ =c 0 (a≠ 0) có biệt thức ∆ =b2 − 4 ac

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

2

b x a

Công thức nghiệm thu gọn: Khi b= 2 ,b′ ta xét ∆ = ′ b′ 2 −ac. Khi đó:

+ Nếu ∆ < ′ 0 thì phương trình vô nghiệm

2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai

Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm Thông thường ta chứng minh:

f x =ax +bx c+ với a≠ 0 đều có thể phân tích thành dạng

a f α ≤ hoặc hai số thực α β , sao cho: f( ) ( )α f β ≤ 0”

Thật vậy ta có thể chứng minh điều này như sau:

 ∆ ≥ suy ra phương trình cso nghiệm

+ Xét (a f. ( )α ) (a f. ( )β )=a f2 ( ) ( )α f β ≤  0 trong hai số af ( )α và af ( )β có một số không dương, tức là af ( )α ≤ 0 hoặc af ( )β ≤  0 phương trình có nghiệm

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

Cho phương trình: ax2 +bcx+b3 +c3 − 4abc= 0 (1)

nghiệm và một phương trình có nghiệm: ax2 +bx+ =c 0 (2) và ax2 +cx+ =b 0 (3).

Ví dụ 4

a, Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a+ 2b+ 3c= 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm 4x2 − 4 2( a+ 1)x+ 4a2 + 192abc+ = 1 0 và

b, Cho các số a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c+ + = 6. Chứng minh rằng ít nhất một trong

ba phương trình sau có nghiệm: x2 +ax+ = 1 0; x2 +bx+ = 1 0; x2 +cx+ = 1 0

c, Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm:

ax + bx+ =c bx + cx+ =a và cx2 + 2ax+ =b 0 (3).

Chuyên đề đạ i s ố 9 ôn thi HSG và ôn thi vào 10

ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm

c, Nếu trong ba số a b c, , có một số bằng 0, chẳng hạn a=  0 (2) có nghiệm x= 0.

Ta xét a b c, , là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc

f x =x +bx c+ trong đó b c, là các số nguyên Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên k để được f k( )= f(2015 ) (f 2016 )

b, Cho tam thức bậc hai f x( )=x2 +bx c+ Giả sử phương trình f x( )=x có hai nghiệm phân biệt Chứng minh rằng phương trình f(f x( ) )=x có 4 nghiệm nếu:

(b+ 1)2 > 4(b+ +c 1 )

Lời giải:

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

47

Với mọi đa thức bậc hai dạng f x( )=x2 +px+q.

Ta luôn có f(f x( )+x)= f x( ) (.f x+ 1) với mọi x. Thật vậy, ta có:

Vì a+ + ≠b c 0 nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh ∆ ≥ ′ 0.

 trong bốn số  f ( )0 , f a( ), f b( ), f c( ) luôn tồn tại hai số có tích không dương Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm

Ví dụ 7:

Cho a b c, , thỏa mãn: 3a+ 4b+ 6c= 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có

nghiệm:f x( )=ax2 +bx c+ = 0.

Lời giải Cách 1:



Vậy ta có:

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ - ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN & HSG

số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm

Cách 4: Tại sao ta chỉ ra được 3 .

- Nếu a=  =  0 b 0 f x( ) là đa thức không, do đó f x( ) sẽ có nghiệm trong (0;1 )