050 đề hsg toán 9 21 22

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BE BF,.. a Chứng minh ACD∽ AEF b Trực tâm Gcủa tam giác AMNcó là trung điểm của OBhay không c Tìm điều kiện đường kính ABvà CDcủa O R; để diện tíc

ĐỀ CHÍNH THỨC KHỐI LỚP 9 Môn : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 Giải các phương trình sau :

1)

2022 2021 2020 2019

2) x4  2x3 5x2 4x 12 0 

3) x3 1 2 23 x1

Bài 2.

1) Tìm xvà ynguyên thỏa mãn : x22y23xy x y   3 0

2) Cho a b30 30b c30 30a c30 30 3a b c20 20 20.Tính

1 a 1 b 1 c

A

        

Bài 3.

Cho đường tròn O R; , hai đường kính AB CD, Qua Bkẻ tiếp tuyến với

đường tròn  O cắt ADvà ACkéo dài lần lượt tại Evà F Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BE BF,

a) Chứng minh ACD∽ AEF

b) Trực tâm Gcủa tam giác AMNcó là trung điểm của OBhay không

c) Tìm điều kiện đường kính ABvà CDcủa O R; để diện tích tam giác AMN

nhỏ nhất

Bài 4.

Diện tích của toàn bộ trang sách là S Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu và dòng cuối đều phải lần lượt cách các mép trên và dưới trang sách là a Lề bên trái

và lề bên phải cũng phải lần lượt cách mép trái và mép phải là b Hãy xác định tỷ

số các kích thước của trang để sách cho diện tích phần in các chữ có giá trị lớn

nhất

ĐÁP ÁN Bài 1 Giải các phương trình sau :

4)

2022 2021 2020 2019 2022 2021 2020 2019

2022 2021 2020 2019

3

2 5 4 12 0

2 5 10 6 12 0

2

1

x

x







6)

 

2

2 3 3

2

2 3 3

1 2 2 1 1 2 2 2 1 2

1 2 2 1 1

4 1

4

VN

x

        



              

Bài 2.

3) Tìm xvà ynguyên thỏa mãn : x2 2y23xy x y   3 0

Ta có :

Ta được 4 hệ phương trình

Vậy ta có các bộ nghiệm 4; 3 , 6;5 , 6; 3 , 8;5        

4) Cho a b30 30b c30 30a c30 30  3a b c20 20 20.Tính  b10    c10    a10 

Đặt a10x b, 10 y c, 10 zthì x y z , , 0và x y3 3y z3 3z x3 3 3x y z2 2 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si :

3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi x y3 3y z3 3z x3 3  x y z

1 x 1 y 1 z 8

A

     

         

   

Bài 3.

Cho đường tròn O R; , hai đường kính AB CD, Qua Bkẻ tiếp tuyến với đường tròn  O cắt ADvà ACkéo dài lần lượt tại Evà F Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BE BF, .

G

K

D O

C

A

d) Chứng minh ACD∽ AEF

Ta có

2

chung  ACD∽ AEF

e) Trực tâm Gcủa tam giác AMNcó là trung điểm của OBhay không

Gọi G là trung điểm của OB , gọi K là giao điểm của MG AN,

ABC

 vuông tại A, đường cao

Lại có MGlà đường trung bình EBO MG EO/ /  MK AN, mặt khác :

ABMN

Vậy trung điểm G của OB là trực tâm AMN

f) Tìm điều kiện đường kính ABvà CDcủa O R; để diện tích tam giác

AMNnhỏ nhất

.

AMN

Đẳng thức xảy ra khi EB BF  AEFvuông cân tại A nên AB CD

Vậy Min S AMN 2R2  ABCD

Bài 4.

Diện tích của toàn bộ trang sách là S Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu

và dòng cuối đều phải lần lượt cách các mép trên và dưới trang sách là a Lề bên trái và lề bên phải cũng phải lần lượt cách mép trái và mép phải là b Hãy xác định tỷ số các kích thước của trang để sách cho diện tích phần in các chữ

có giá trị lớn nhất.

Diện tích trang sách là S xy

Diện tích in là S'x 2b y   2a  S 4ab 2ax by 

Vì ax by 2 abS  S' S 4ab 2 abS

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a b b a