035 đề hsg toán 9 nghệ an 21 22

Điểm Athuộc cung lớn BC sao cho tam giác ABCnhọn và AB AC .Đường tròn  I nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với các cạnh BC AB, lần lượt tại D E, .Đường thẳng ADcắt đường tròn  I tại điể

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: Toán – bảng A

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian chép đề)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nkhông chia hết cho 5 thì n 4 1chia hết cho 5

b) Tìm tất cả các số nguyên tố a b c d e, , , , thỏa mãn a4b4c4d4e4 abcde

c) Tìm các số nguyên dương a b, thỏa mãn a ab 1a2bvà b ab 1b2 a

Câu 2 (7,0 điểm)

a) Giải phương trình : x1 x 2 x6 x7x27x12

b) Giải hệ phương trình

2

1 4





 



Câu 3 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c   3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2

P

Câu 4 (8,0 điểm) Cho đường tròn  O và dây cung BCcố định (BC khác đường

kính) Điểm Athuộc cung lớn BC sao cho tam giác ABCnhọn và AB AC Đường

tròn  I nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với các cạnh BC AB, lần lượt tại D E, Đường thẳng ADcắt đường tròn  I tại điểm thứ hai là M BM, cắt đường tròn  I tại điểm

thứ hai là Q;BI cắt DEtại P

a) Chứng minh tứ giác IPQM nội tiếp

b) Chứng minh BMEDMP

c) Đường tròn đi qua C tiếp xúc với AI tại I cắt BC tại H và cắt (O) tại điểm

thứ hai là K Chứng minh khi A di động trên (O) thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (1,0 điểm) Trong một hoạt động ngoại khóa có 20 giáo viên và 80 học sinh đến từ nhiều nơi tham gia Biết rằng mỗi giáo viên quen với ít nhất 65 người và

mỗi học sinh quen với tối đa 12 người (Quan hệ quen được xem là có tính 2 chiều: Người A quen người B thì người B cũng quen người A) Ban tổ chức xếp họ thành

41 nhóm Hỏi ban tổ chức có thể xếp sao cho nhóm nào cũng có 2 người quen nhau không? Vì sao?

ĐÁP ÁN

Câu 1 (3,0 điểm)

d) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nkhông chia hết cho 5 thì n 4 1

chia hết cho 5

Ta có :

                 

n   n n n   n n n n  n n

Vì n 2;n1; ;n n1;n2là 5 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 5 Mà

n không chia hết cho 5 nên tồn tại 1 trong 4 số chia hết cho 5

Từ đây ta có n  4 1 5

e) Tìm tất cả các số nguyên tố a b c d e, , , , thỏa mãn a4b4c4d4e4 abcde

Theo câu a, với p là 1 số nguyên tố khác 5 thì p 4 1 mod 5 

Gọi X số các số bằng 5 trong các số a b c d e, , , , ta xét các trường hợp sau :

*Nếu X  0 VT 1    1 1 1 1 5 mod 5 ,    VPkhông chia hết cho 5 (mâu thuẫn) Nếu X  5 a b c d e    5( )tm

Nếu 1 X  4thì VP chia hết cho 5, VT  5 X†0(mod 5)

Ta có mâu thuẫn

Vậy bộ số nguyên tố duy nhất thỏa đề a b c d e , , , ,  5,5,5,5,5

f) Tìm các số nguyên dương a b, thỏa mãn a ab 1a2bvà b ab 1b2 a

Ta biến đổi giả thiết như sau :

a b a ab  a b b a b  a ab b  a

Tương tự b2  a b ab|   1 a b 2  a a2 b,do đó a2b b2 a

Ta xét hai trường hợp sau:





Kết luận, tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn là t t , 1với t là số nguyên dương bất kỳ

Câu 2 (7,0 điểm)

c) Giải phương trình : x1 x 2 x6 x7 x27x12

ĐKXĐ: x 2 Phương trình đã cho tương đương với :

 

2

4 0(*)

x tmdk

x









Vậy có nghiệm duy nhất x 2

d) Giải hệ phương trình

 

 

2

1 4 2





 



 

 

2

2

1

2

















Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  1;1 , 2 7,3 7 ; 2  7;3 7

2

Câu 3 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c   3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2

P

Giả sử clà số nhỏ nhất trong 3 số a b c, , Khi đó 0 c min ;a b ta được bất đẳng

thức sau :

P

x a  y b   x y

và x y a b c    3bài toán trở thành :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 2  2  2

Q

2

2

x y

y x

y x



x y

t

y x

, kết hợp bất đẳng thức AM-GM ta có :

Min P  a b c  

 và các hoán vị

Câu 4 (8,0 điểm) Cho đường tròn  O và dây cung BCcố định (BC khác đường kính) Điểm Athuộc cung lớn BC sao cho tam giác ABCnhọn và

.

AB AC Đường tròn  I nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với các cạnh BC AB, lần lượt tại D E, Đường thẳng ADcắt đường tròn  I tại điểm thứ hai là M BM, cắt đường tròn  I tại điểm thứ hai là Q; BI cắt DEtại P

d) Chứng minh tứ giác IPQM nội tiếp

Vì BD là tiếp tuyến của (I) nên ta có BD2 BQ BM.  1

Theo hệ thức lượng xét IBDvuông tại D, đường cao DPta có BD2 BP BI.  2

Từ (1) và (2) ta suy ra BP BI. BQ BM. nên tứ giác IPQM nội tiếp (đpcm)

e) Chứng minh BMEDMP

Vì tứ giác IPQM nội tiếp nên

180

90

Vì MEQlà góc bù với góc chắn cung QMnên ta có

2

MIQ

Mà MQEMDEMDPvì cùng chắn cung ME,do đó MQE∽ MDP g g( ) Suy ra BMEDMP dfcm( )

f) Đường tròn đi qua C tiếp xúc với AI tại I cắt BC tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai là K Chứng minh khi A di động trên (O) thì đường thẳng

HK luôn đi qua một điểm cố định

Gọi T là giao điểm của AIvới (O) và gọi J là tâm ngoại tiếp CKI Ta có :

2

BAC ACB

Do đó TCIcân tại T nên TC TI cmtt TI TB , : 

Vì TIlà tiếp tuyến của (J) mà TI TC nên TC cũng là tiếp tuyến của  J

Gọi H'là giao của TK với BCta có : TH TK TC'  2 TI2vì TCH'∽ TKC g g( ) Nên H' J mà H'thuộc BC nên H H'

Vì B C, và (O) cố định nên T cố định, do đó HKluôn đi qua điểm cố định T (đpcm)

Câu 5 (1,0 điểm) Trong một hoạt động ngoại khóa có 20 giáo viên và 80 học sinh đến từ nhiều nơi tham gia Biết rằng mỗi giáo viên quen với ít nhất 65 người và mỗi học sinh quen với tối đa 12 người (Quan hệ quen được xem là có tính 2 chiều: Người A quen người B thì người B cũng quen người A) Ban tổ chức xếp họ thành 41 nhóm Hỏi ban tổ chức có thể xếp sao cho nhóm nào cũng có 2 người quen nhau không? Vì sao?

Giả sử BTC có thể xếp được thỏa mãn yêu cầu đề bài Do có 20 giáo viên, nên có

ít nhất 41 20 21   nhóm không có giáo viên Vì vậy, trong mỗi nhóm này phải có ít nhất 1 cặp học sinh quen nhau Do đó, số cặp học sinh quen nhau ít nhất là 21 cặp Theo giả thiết, mỗi học sinh quen tối đa 12 người, nên số lượt học sinh quen giáo viên không vượt quá 80.12 2.21 918   (lượt) (1)

Lại từ đề bài, vì mỗi giáo viên quen ít nhất 65 người, nên mỗi giáo viên quen ít nhất 65 19 46   học sinh Do đó, số lượt giáo viên quen học sinh không ít hơn :

46.20 920  (lượt ) (2)

Từ (1) và (2) ta có mâu thuẫn Vậy BTC không thể xếp được