Chuyên đề hình học oxy ôn thi học sinh giỏi

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I... Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H q

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Oxy ÔN THI HỌC SINH GIỎI

Véctơ u  0

 

được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của véctơ u

song songhoặc trùng với 

Đường thẳng  đi qua M x y 0 ; 0

nhận véctơ n A B ; 

làmvéctơ pháp tuyến có phương trình : AxByAx0 By0 gọi làphương trình tổng quát của đường thẳng 

Đường thẳng  đi qua M x y 0 ; 0

x x

t

at R

phương trình tham số của đường thẳng 

Cho hai đường thẳng  1 : a 1xb y1 c1  0 và  2 :a2 b y2 c2  0 Tọa độ giao điểm của hai

đường thẳng  1 và  2 là nghiệm của hệ phương trình

Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất x y0 ; 0

thì hai đường thẳng cắt nhau tại A x y 0 ; 0.

Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau

Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau

Phương trình đường tròn.

Đường tròn  C

tâm I a ; b

bán kính R 0 có phươngtrình  2  2 2

Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt thì  cắt (C) tại hai điểm khác nhau

Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì  tiếp xúc với (C)

Nếu hệ (2) vô nghiệm thì  không cắt  C .

Từ đó, tìm được tọa độ điểm B(4;5)

Gọi C(3a-1; a), ta có:

Với a =1, ta có: C(2;1), A(12;1) Với a = 3, ta có: C(8;3), A (0; -3)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

tại các điểm

M  N     P     

    (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác

ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q   1; 1 

và điểm A

có hoành độ dương

Giải:

I K P

N

M

C B

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc A nhọn, điểm I ( )4;2

là trung điểm đoạn BC, điểm A nằm trên đường thẳng : 2d x y- - 1=0. Dựng bên ngoàitam giác ABC các tam giác ABD ACE , vuông cân tại A . Biết phương trình đường thẳng

ê =ê

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, phương trình

đường thẳng AB AC , lần lượt là 5x y- - 2=0,x- 5y+14=0.Gọi D là trung điểm của,

BC E là trung điểm của AD ,

A

loại do M nằm ngoài DABC.

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H(2;2), biết HE=3.Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC,biết đỉnh A thuộc đường thẳng

d: x y 12 0 và khoảng cách từ A đến đường thẳng EF nhỏ nhất.

Giải:

Dễ thấy H không thuộc#d.Tọa độ của A(t;-t-12) t∈R  HA=(t−2;−t−14)

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH ⊥ FE Xét tam giác vuông HAE ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t =-6 K/c từ A đến EF nhỏ nhất bằng

119 √ 2

16 khi A(-6;-6)

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD Biết điểm D    1; 1 

, đường thẳng IG có phương trình 6 x 3y 7 0 và

điểm E có hoành độ bằng 1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Giải:

F K

E

G H

I D

HK DI  IC

;

1

/ /2

AK  BK  GK AC GK AB

GB GI GC

   hay G là tâm đường tròn đi qua ba

điểm C, I, B CGI 2IBC 90o,

1

/ /2

ID IC DE IG

.Phương trình đường thẳng DE là: 2 x y     1 0 E  1;3 

và C  5;1 

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;0) và

trực tâm H Phương trình đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh HA , HB ,HC là

- Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

- Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh HA, HB, HC

+ CH  IE và CH / /ME Suy ra MEIE (1)

+ Tương tự, chứng minh được MF IF (2)

Từ (1) và (2) suy ra M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF

- Tương tự, N và P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF

Suy ra sáu điểm: M, N, P, I, E, F cùng nằm trên một đường tròn

Như vậy đường tròn qua I, E, F cũng qua ba trung điểm ba cạnh Do đó, xét phép vị tự tâm G

tỉ số k  2 biến đường tròn (IEF) thành đường tròn (ABC)

Ta có đường tròn (IEF) có tâm 1

5 1 ( ; )

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao

AH x y   và trung tuyến AM : 3xy 2 0 Biết ,H M thuộc đoạn BC, BAH MAC 

và BC 3 10 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC

Giải:

Gọi N là trung điểm cạnh AB Ta có: NH NA NAH NHA

Vì MN AC//  NMA MAC 

Mặt khác theo giả thiết MAC NAH  NHA NMA Suy ra A, M, H, N cùng thuộc một

đường tròn  ANM AHM 900 BAC900.

Vậy tam giác ABC vuông tại#A.Từ đó ta có

, đường thẳng BC đi qua điểm P4; 2

, đường thẳng AC đi qua điểm

P I

E K

M N

H

C B

Do , kết hợp với AN vuông góc BC suy ra BC song song với MN hay đường thẳng MN có vtcp là Do đó, phương trình đường thẳng

Vì B thuộc đường thẳng BC nên B t ;6 t

Kết hợp với E là trung điểm của BC suy ra

(A là giao của đường thẳng AH và AC).

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trung điểm của cạnhBC là

điểm M3; 1 

, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh Bđi qua điểm E   1; 3

và đườngthẳng chứa cạnh ACđi qua điểm F1;3

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng

điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D4; 2 

Giải:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta chứng minh được BDCH là hình bình hành nên M là

trung điểm của HD suy ra H2;0

Đường thẳng BH có vectơ chỉ phương là

M

O H

Do M là trung điểm của BC nên B1; 1 

Vì AH vuông góc với BC nên AH có vtpt là

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp

nên FDA FCA ABE   ADE  H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của tam giác DEF Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.

Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là

d x y  Mặt khác H là giao của d và d’ nên H2;3

Ta có AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm

5 7' ;

F K

E

G H

I D

HK DI  IC

;

1

/ /2

, đường thẳng BC đi qua điểm P4;2

, đường thẳng AC đi qua điểm

M N

H

C B

Vì B thuộc đường thẳng BC nên B t ;6 t

Kết hợp với E là trung điểm của BC suy ra

(A là giao của đường thẳng AH và AC).

Ví dụ 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại C, AB = 10 Biết đường thẳng BC có phương trình

1

d : 7x y 31 0   và trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d : x y 2 02    .Tìm tọa độ A,

B, C biết I có tung độ âm

Giải:

2 50

thuộc đường thẳng AC,diện tích AEIF bằng 5 và tung độ

điểm C âm Tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,

Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại#A Điểm D là chân đường phân giác trong góc A, các điểm M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và

AC Đường tròn ( )C có phương trình: x2y24x 2y 4 0 ngoại tiếp tam giác DMN Gọi H

là giao điểm BN và CM, đường thẳng AH có phương trình :3 x− y+10=0 Tìm tọa độ cácđiểm A, B và C biết hoành độ của điểm A là số nguyên.

C B

M

N

Vì AMDN là hình vuông nên A ∈(C )

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

AB ⇒ Δ ANF và Δ BAN đồng dạng ⇒ ∠ ABN =∠ NAF ⇒ BN ⊥ AF

Tương tự CN ⊥ AE ⇒ H là trực tâm Δ AEF ⇒ AH ⊥EF ⇒ AH ⊥ BC

Đưởng tròn (C) có tâm I(−2;1)

AMDN là hình vuông nên I là trung điểm của AD A (−2 ;4 ), I (−2;1 )⇒ D(−2 ; −2)

Đường thẳng BC ⊥ AH nên BC có PT: x+ 2+ 3( y +2)=0⇔ x+3 y +8=0

Phương trình AD là: x=−2 ; MN ⊥ AD tại I nên phương trình MN là: y = 1

Tọa độ điểm M và N là nghiệm của hệ: { x 2 + y 2 + 4 x−2 y−4=0 ¿ ¿¿¿

⇒M (1; 1) và N(−5 ; 1) hoặc M(−5; 1) và N (1 ; 1)

Với M (1; 1) và N (−5 ; 1) AM có PT là: x+ y−2=0 ; AN có PT là: x− y+6=0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: { x+3 y+8=0 ¿ ¿ ¿ ¿

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: { x+3y+8=0 ¿ ¿¿¿

Với M (1; 1) và N (−5 ; 1) do vai trò của B và C như nhau nên

  là hình chiếu của B lên đường thẳng AK.

Biết rằng A nằm trên đường thẳng d y: 5x và điểm I(0;5) thuộc đường thẳng chứa cạnh AC.

Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Giải:

O A

B

C

E K

N M

Chứng minh AC vuông góc với EM

Từ đó AC : x = 0 nên A(0, 0) Và C(0; y) nên B6;3 3 y

thẳng chứa cạnh ACđi qua điểm F1;3

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng

điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D4; 2 

Giải:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta chứng minh được BDCH là hình bình hành nên M

là trung điểm của HD suy ra H2;0

M

O H

D

C

A

B

Do AC BH nên vectơ pháp tuyến của AC là nAC uBH 1;1  pt AC x y:   4 0

Do AC CD nên vectơ pháp tuyến của CDlà nDC uAC 1; 1   pt DC x y:   6 0

Do M là trung điểm của BC nên B1; 1 

Vì AH vuông góc với BC nên AH có vtpt là

Ví dụ 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có

phương trình ( x−1)2+( y−2)2=25 Các điểm K(-1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chân đường cao hạ

từ A, B của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh C có hoành độ

dương

Giải:

Do đó IC có vectơ pháp tuyến là  KH =(3;4) , IC có phương trình 3 x+4 y−11=0

Do C là giao của IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ

{ 3x+4y−11=0 ¿¿¿¿ ⇒ ¿ { x=5 ¿ ¿¿ Do x C 0

nên C(5;−1)

Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương là  CH=(−3;6) nên AC có phương trình2x+ y−9=0 .

Do A là giao của AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

{ 2x+y−9=0 ¿¿¿¿ ⇒ ¿ { x=1 ¿ ¿¿ (loại) Do đó A(1;7)

Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương là  CK=(−6;2) nên BC có phương trình

Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

{ x+3y−2=0 ¿¿¿¿ ⇒ ¿ { x=−4 ¿¿¿ (loại) Do đó B (−4 ;2 )

Vậy A(1;7) ; B (−4 ;2 ) ; C(5;−1)

Ví dụ 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; –1).

Tọa độ điểm E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B Đường thẳng AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có

x

Gọi H là trực tâm tam giác ABC suy ra BDCH là hình bình hành

Suy ra M là trung điểm của DH suy ra H(2; 0)

* Đường thẳng AC đi qua F(1; 3) và nhận

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là A(2; 2), B(1; 1), C(5; 1) 

Ví dụ 21: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

tại các điểm

1; 5 , 7 5; , 13 5;

M  N  P 

    (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác

ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q  1; 1

AC GK

phương trình đường thẳng AC: x-y+1=0

A(1;2) thỏa mãn

B thuộc đường thẳng AB nên B(b; 3-b)

C thuộc đường thẳng AC nên C(c; c+1)

Áp dụng tính chất tọa độ trọng tâm tìm được b=3, c=7

Vậy B(3; 0); C(7; 8)

Với 5a = 8b, chọn a = 8; b = 5, phương trình đường thẳng AB: 8x+5y-27=0

Phương trình đường thẳng AC: 5x-8y+2=0

Vậy phương trình chứa các cạnh của tam giác ABC:

Đường AB: x+y-3=0; đường AC: x-y+1=0; đường BC: 2x-y-6=0

Ví dụ 23: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J2;1

Biếtđường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình: 2xy 10 0  và D2; 4 

là giao điểm thứ hai của AJ với đường tron ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh tamgiác ABC, biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng x y 7 0

Giải:

Phương trình đường thẳng JD: x – 2 = 0 Ta có A  AJ  AH nên tọa độ A(2; 6).

Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta cóBD DC  và

 cân tại D DB DJ DC   hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BJC Suy ra B,

C thuộc đường tròn tâm D bán kính DJ Tọa độ B, C là nghiệm của hệ

C

H

J IE

D

B A

Do B có hoành độ âm nên B(-3; -4) Phương trình BC x:  2y 5 0

Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:

cạnh huyền AC, điểm B0; 3 

Tìm tọa độ điểm C biết điểm A thuộc đường thẳng

: 2 3 5 0

d x y  và điểm C có hoành độ dương.

Giải:

Ta có MB  0 2 2   3 12  20

Vì tam giác ABC vuông tại B và M là trung điểm AC nên: MA MB  20

Do A thuộc đường thẳng d: 2x3y 5 0 nên A1 3 ;1 2 t  t

Ví dụ 25: Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắtđường tròn ngoài tiếp tam giác ABC tại E(2;1) khác#A Viết phương trình đường thẳng BE biết

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có phương trình

Ví dụ 2 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại#A gọi H là hình chiếu

vuông góc của A lên BC, các điểm M( 2; -1), N lần lượt là trung điểm của HB và HC; điểm

+ Gọi I là trung điểm của AH ta có MI / / AB  MI  AC

+ Suy ra I là trực tâm của AMC  CI  AM

+ Mà NK  AM  NK / / CI nên K là trung điểm của IH.

, đường thẳng BC đi qua điểm P4;2

, đường thẳng AC đi qua điểm

Do ANM 900  AN MN , kết hợp với AN vuông góc BC suy ra BC song song với MN hay đường thẳng MN có vtcp là MN    1;1

B thuộc đường thẳng BC nên B t ;6 t

, kết hợp với E là trung điểm của BC suy ra C7 t t; 1

I

E K

M N

H

C B

A

Ví dụ 28: Trong mặt tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là I1;0 

Đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt các cạnh AB AC, lần lượt tại các điểm M N, sao cho

B NIC

Ví dụ 2 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm

của AB Đường thẳng CM y : 3 0  và

7( 3; )3

K 

là trọng tâm tam giác ACM Đường thẳng AB

đi qua điểm D(1;4) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm M có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng 2 x y 4 0.

Giải:

H G K E

N M

I

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C. Trước hết ta chứng minh MC^IK. Thật vậy,

gọi H N, lần lượt là trung điểm BC AC, ;G=AH CMÇ Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM nên KG HE|| Suy ra KG AB|| Mà IM ^AB nên

KG^IM .

Rõ ràng AH^MKnên G là trực tâm tam giác MIK Suy ra MC^IK.

Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình: x+ =3 0

ê =ëuuuuruuur

Ví dụ 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi

H, K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD Biết A4;6

, phương trình của: 3 4 4 0

HK x y  , điểm C thuộc đường thẳng d x y1:   2 0

, điểm B thuộc đường thẳng

d x y 

và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1 Tìm tọa độ các điểm B, C,D.

Giải:

+) Gọi E AC HK  Vì tứ giác AHKD nội tiếp nên  HAD HKC 

Tứ giác ABCD nội tiếp ABC ACD

Tam giác ABD vuông tại A  ABD HAD

Vậy HKC ACD hay tam giác ECK cân tại E

Vì tam giác ACK vuông tại K nên E là trung điểm của AC.

95

.Vì hoành độ điểm K nhỏ hơn 1 nên

Tam giác SHC vuông tại H nên

+) Lập được phương trình AD: x 2y 8 0

+) Lập được phương trình CD: x2y0

+) Tìm được D ( 4; 2)

Vậy B(6;2), C(4;-2), D(-4;2)

3 Hình thang

Ví dụ 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD(AB CD AB CD/ / ,  )có

AD DC ,D(3;3) Đường thẳng ACcó phương trình x y  2 0  , đường thẳng ABđi qua

( 1; 1)

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm học 2018 – 2019)

Giải:

Gọi H là hình chiếu của D trên AC và D' là giao

điểm của DH với AD VìDC AD nênADCcân tại

D DAC DCA mà CAB DCA  (so le trong)

M

I D' H

B A

làm vectơ chỉ phương nênBC: 9x13y106 0

Ví dụ 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy

, cho hình thang ABCD vuông tại A và D;

E I

B

C D

x+7y-31=0 x+y-8=0

x-2y+3=0

I

Gọi EBH AC, ta có

32

5 Hình vuông

Ví dụ 34: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD

11( ;3)2

F

là trung

điểm của AD Gọi E là trung điểm của AB, K thuộc cạnh CD sao cho KD=3KC Tìm tọa độ điểm

C biết hoành độ điểm E nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng EK là 19 x 8y 18 0.