Chuyên đề hình học không gian lớp 11 ôn hsg

Gọi I là trung điểm của NP và G là giao điểm của SI với B A Qua N dựng đường thẳng song song với SG cắt BP tại H.. a Xác định các giao điểm E, F lần lượt của đường thẳng CD , AD với mặt

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

A – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ

I Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) có 3 vị trí tương đối

I



 a





Hệ quả: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng ( ) thì mặt phẳng ( )song song với mặt phẳng ( )

β

α O

b' a' b

( ) / / ( )/ / ', / / '

 Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong

mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia

2 Định lí 2 : (Định lí giao tuyến thứ tư) Cho hai mặt phẳng song song Nếu một

mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

b a







( ) / / ( )( ) ( ) / /( ) ( )

3 Định lí 3 : (Định lí Ta-lét trong không gian) Ba mặt phẳng đôi một song song

chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

d' d

C' C

B' B

A ' A

B

C' A

 Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau

 Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành

 Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trên 2 mặt phẳng songsong

 Tùy theo đáy của lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác … mà ta gọi lăng trụ là lăng

trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác…

 Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Hình chóp cụt:

C D

S

D' C' B'

E'

A '

A B P

 Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnhtương ứng bằng nhau

 Các mặt bên là những hình thang

 Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm

B – CÁC VÍ DỤ

I - QUAN HỆ SONG SONG

1 Các bài toán về quan hệ song song

Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có các cạnh bằng 1 Gọi I, K là trung điểm AC và SB Trên

AS, CK lấy P và Q sao cho PQ//BI Tính PQ

Giải:

PQ là giao tuyến của mặt phẳng chứa CK và //BI với mp chứa SA và //BI

Trong (SBI) kẻ KE //BI, CE cắt SA tại P

Qua A kẻ AF//BI (F thuộc BC), CK cắt SF tại Q, PQ//BI

I, E lần lượt là trung điểm của AC và SI,

1 1 3

.2

PQ AF  BI 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi N, P lần lượt là trung

điểm của SB và AD Gọi I là trung điểm của NP và G là giao điểm của SI với

B A

Qua N dựng đường thẳng song song với SG cắt BP tại H Suy ra G là trung điểm PH và

H là trung điểm BG Suy ra

A

C

D H

Gọi ( ) là mặt phẳng cố định qua AB và ( )

Khi đó: ( )// (HIJ)

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên cạnh

BD lấy điểm K sao cho BK2KD

a) Xác định các giao điểm E, F lần lượt của đường thẳng CD , AD với mặt phẳng IJK

b) Chứng minh FA2FD và FK/ /AB

Giải:

K F

J I

C

D

E

a) Đường thẳng JK cắt CD tại E (vì JK không song song với CD), EI cắt AD tại F

b) Vì EBC có EJ là trung tuyến và

Theo định lí giao tuyến của 3 mặt phẳng (CA B),(DA B),(IJ K) thì IJ/ / AB/ / FK.

2 Bài toán về thiết diện

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành với AB a AD ; 2 ;a SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD(M khác A và D) Mặt phẳng  qua M song song với SAB

cắt BC SC SD, , lần lượt tại N P Q, , Đặt xAM Tính diệntích của tứ giác MNPQ theo a và x

Thiết diện là hình thang vuông có:

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính theo a diện tích thiết diện đó.

M

D'

C' B'

D

C B

A' A

Gọi S là trung điểm của AB Khi đó MS BD//  MS//BDC'

Do MNS//BD B D// ' '

nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với B’D’ cắt D’C’ tại P’ Do P’ là trung điểm của C’D’ nên P’ trùng với P Do MNS// 'C D nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ tại R.

Do đó, thiết diện cắt bởi (MNP) và hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo một lục giác

đều MSNQPR cạnh

22

a

MR 

và có tâm là O Suy ra:

2 0

x x



Ví dụ 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a M và P là hai điểm di động trên các cạnh AD và

BC sao cho AM CP x (0x a ) Một mặt phẳng ( ) đi qua MP và song song với CD cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện.

1 Thiết diện trên là hình gì?

2 Tìm x để thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

P

Q N

E

( ) ( )

( ) ( ) / / ( )( ) / /

Ví dụ 9: Cho hình vuông cạnh a, tâm O Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD)

sao cho SB = SD Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x Mặt phẳng () qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a và x Tìm x để diện tích MNPQ lớn nhất

a Tứ giác MNPQ là hình gì?

M

N I P

Q

O

D

C B

A S

Ta có SB = SD nên  SBC =  SDC (c-c-c)

Gọi I là trung điểm SC, ta có  IBC =  IDC

Suy ra IB = ID Do đó,  IBD cân tại I Vì vậy IO  BD

2 2

a x

2 2

a a x

Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC.

a Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (ADM)

b Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng(BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’ Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất

Giải:

a Trong (ABC), gọi N = AM  BC Khi đó, thiết diện cần tìm là tam giác AND.

3NA Suy ra M là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC

3 Bài toán khác

Ví dụ 11: Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB CD BC , AD AC BD,  và một

điểm X thay đổi trong không gian Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng

Gọi G là trọng tâm của tứ diện, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,

BC, AD Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên AN BN Suy ra MN AB.Tương

tự, ta chứng minh được MN CD và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD Từ đó suy ra GA GB GC  GD

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trùng với điểm G Vậy XA XB XC  XD nhỏ nhất

khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Ví dụ 12: Cho tứ diện ABCD có bốn đường cao đồng quy tại điểm H Chứng minh

rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2

.

Giải:

Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một

Trong tam giác SA'C’, ta có:

SSA'C' = SSA'O'+SSC'O'

Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm

của SC Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D'

M D

B

C A

x y xy

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh

bên đều bằng a Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD = 3SM, điểm G là trọng tâm tam

giác BCD

1) Gọi () là mặt phẳng chứa MG và song với CD Xác định và tính diện tích

thiết diện của hình chóp với mp()

2) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với

Ta có

2

/ / 3

Thiết diện của hình chóp với mp() là tứ giác EFHM.

Ta có HM//EF vì cùng song song với CD Vì

Ta có: PQ//MN, MN // SC nên PQ // MN.

Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán

Ta có:

2 3

D

M

N P

qua BC và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 30 0 Tính theo a

diện tích thiết diện được tạo bởi mặt phẳng  

Từ giả thiết, ta suy ra hình thang ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường

kính AD Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy, vì SA SB SC  2a nên

OA OB OC   Do đó O là trung điểm của a AD và SO a 3

Xét tam giác vuông SOB , ta có SB SO2 OB2 2a

Theo giả thiết, ta có MA MD nên MAD vuông tại M Suy ra

12

OM  AD a

Như vậy, tam giác vuông SOB có

12

OM  SB

nên M là trung điểm của

12

SM SB

Ta có

0tan 30

2

a

JO OI  SO

nên J thuộc đoạn SO

Kẻ qua J đường thẳng song song với AD (hoặc BC ), đường thẳng này cắt SA SD, lần

lượt tại F và E Hình thang cân BCEF là thiết diện cần tìm.

Tính diện tích hình thang cân BCEF

Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC = 2a,

AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và

BD Biết SD vuông góc với AC

P

K

Q

J

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a

Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy ra CT = AD = a và DT vuông góc SD

Ta có: DT = AC = a 3

Xét tam giác SCT có SC = 2a, CT = a, SCT 1200  ST a 7

Xét tam giác vuông SDT có DT = a 3, ST a 7 SD2a

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P

Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần lượt tại K, J, Q Thiết diện là ngũ giác NPQKJ

a) Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , đồng phẳng và MNPQ là hình chữ nhật.

b) Dựng thiết diện của hình hộp khi cắt bởi MNPQ

Tìm giá trị nhỏ nhất củachu vi của thiết diện và khi đó tính diện tích của thiết diện

Giải:

x x

x

a-x a/2 O

S

B'

B A

A'

C D

G

F

E N

của A’B đi qua A và O

Các tam giác AQM và AA’B vuông cân và QM, A’B đồng phẳng nên  

cũng là mặt phẳng trung trực của QM suy ra OM = OQ Do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.b) Thiết diện như hình vẽ, là lục giác MRNPSQ

Các tam giác vuông cân bằng nhau là GA’Q = MBF = ECN

(cạnh góc vuông = a - x)

Tính SQ = SP = RM = RN =  

2

2a

Ví dụ 19: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P)

là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD’)

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

c) Gọi C1 là trung điểm của CC’ Mặt phẳng (Q) đi qua AC1 cắt C’B, C’D lần lượt tại

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại

D'

M Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P

Thiết diện là lục giác MNPQRS.

b) Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện

MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’ Cho nên các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng Suy ra:

'

MN MB NB NM PC PQ QC QP  MJ=NK và PK=QI

Do đó, các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện

tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S)

k 

)

Vậy S lớn nhất khi và chỉ khi

12

k 

, tức M là trung điểm của AB.

c) Lấy G= AC 1B 1 D 1 và O = ACBD, ta có C’, O, G là các điểm chung của hai mặt phẳng (C’AC) và (C’BD) Suy ra C’, O, G thẳng hàng.

Vì G là trọng tâm của tam giác C’AC nên

C1C'

B A

Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC = 2a,

AB = AD = DC = a (a>0) Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và

BD Biết SD vuông góc với AC

a) Tính SD

b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với haiđường thẳng SD và AC Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặtphẳng ( ) Biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

P

K

Q

J

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a

Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD

Ta có: DT = AC = a 3

Xét tam giác SCT có SC = 2a, CT = a, SCT 1200  ST a 7

Xét tam giác vuông SDT có DT = a 3, ST a 7 SD2a

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P

Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần lượt tại K, J, Q Thiết diện là ngũ giác NPQKJ

AC MD x a

a OD

x a

II - QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1 Bài toán về sử dụng ve tơ trong không gian

Ví dụ 21: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh mặt phẳng A BD' 

songsong với mặt phẳng CB D' ' 

Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD’ sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (A’BD).

Giải:

N M

D'

C' B'

D

C B

A' A

Ta có tứ giác BCD’A’ là hình bình hành nên CD BA'// ' CD'//BDA'

(1)

Ta có tứ giác BDD’B’ là hình bình hành nên B D BD' '//  B B' '//(BDA') (2)

Từ (1) và (2), ta được A BD'  // CB D' '

.Đặt BM  x BD ,

cạnh bên AA' 2  a Gọi M là điểm thỏa mãn DM  k DA

và N là trung điểm của cạnh

Ví dụ 23: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên đoạn AB và đoạn CD

sao cho BM = DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN

2 khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi M ¿ B, N ¿ D hoặc M ¿ A, N ¿ C

Ví dụ 24: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ sao cho

BC Gọi H K, là hai điểm lần lượt thuộc các đường thẳng SB và DN sao cho

D

S

H K

Ta có: SB   a c

và

12

2 Bài toán về độ dài

Ví dụ 25: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2,

các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a ( a  ) Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều0

tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a

Giải:

I O

M S

Gọi I ACBD Do SA SB SC SD nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S Vì SI vuông góc với AC, BD nên SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dễ thấy mọi điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D

Trong tam giác SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O Suy ra

Ví dụ 26: Cho hình chóp S.ABC có độ dài tất cả các cạnh đều bằng 1 Gọi I, K là trung

điểm của các cạnh AC và SB Trên đường thẳng AS và CK lấy các điểm P,Q sao choPQ// BI Tính độ dài PQ

Ví dụ 27: Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a BC b ,  ,

SA SB SC SD c    K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC Tính độ dài đoạn

vuông góc chung của SA và BK.

Giải:

_S

_ O

_K _M

_N

Theo giả thiết, ta được: SOABCD  SAC  ABCD

Mà BKSAC

và BK AC nên BK SA

Gọi H là hình chiếu của K xuống SA , ta có HK SA và HK BK ( vì HK SAC

)Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BK .

2 2

a bBK

3 Bài toán chứng minh vuông góc

Ví dụ 28: Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng đường thẳng SB

vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng 2 2 2 2

BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) Suy ra BC vuông góc với SK.

Trong tam giác vuông SAK, ta có: 2 2 2

y ra B D hay

suy ra SB vuông góc với SC.

Ví dụ 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, SA SC SB SD ,  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, trọng tâm tam giác SAC và song song với AC Mặt phẳng (P) cắt các đường thẳng AD, CD lần lượt tại M, N Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và B là trung điểm của đoạn thẳng MN (với O là giao điểm của AC và BD).

Giải:

H

F E

A S

Tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm của AC suy ra SO vuông góc với AC.

Tam giác SBD cân tại S, O là trung điểm BD suy ra SO vuông góc với BD

Do đó SO vuông góc với (ABCD)

Mặt phẳng qua B, G (trọng tâm tam giác SAC) song song với AC cắt SA, SC, SD lần lượttại E, F, H Do AC // (EFH) suy ra AC // EF

M là giao của (EFH) với AD suy ra M là giao của EH và AD, N là giao của (EFH) với CDsuy ra N là giao của FH với CD

Do B, M, N là điểm chung của hai mặt phẳng (EFH) và (ABCD) nên B, M, N cùng thuộcgiao tuyến của hai mặt phẳng này suy ra B, M, N thẳng hàng

Từ (1) và (2) suy ra BM BN hay B là trung điểm của MN

Ví dụ 30: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC, ASB 600, BSC 900, ASC 1200 Gọi

H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và gọi L là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SK Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và HL vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Giải:

Theo định lí hàm số côsin trong các tam giác SAB, SAC, SBC, ta có:

AB a BC a  AC a  AC AB BC Suy ra tam giác ABC vuông tại B

H là trung điểm AC nên SH vuông góc với AC Hơn nữa

Vì H, K là trung điểm CA, CB nên HK // AB  HK BC (1)

Mặt khác, SH vuông góc (ABC) nên SH BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCSHK BCHL

Kết hợp với HLSK  HLSBC

L H

BC Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SD và AN

Giải:

N

A

B C

D

S

H K

AN  a b

5 2 5

2 2

a

SD AN

a a

Ví dụ 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với BAD=60 ,AB = a.o

Mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD), biết tam giác SAB đều Tìm sin của góc giữa

Suy ra H là trung điểm của IC

Kẻ

CE // HK(E IK) 

thì CE (SAD) 

Suy ra SECvuông tại E và SE là hình chiếu của SC trên (SAD)

Gọi là góc giữa SC và (SAD), thì   CSE.

K

Ví dụ 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với BAD=60 ,AB = a.o

Mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD), biết tam giác SAB đều Tìm sin của góc giữa

Gọi I là giao của HC với AD

Suy ra H là trung điểm của IC

Kẻ

Suy ra SECvuông tại E và SE là hình chiếu của SC trên (SAD)

Gọilà góc giữa SC và (SAD), ta có   CSE.

K

Ví dụ 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N là trung điểm của SA và BC Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính độ dài các đoạn thẳng SO , MN vàtính cosin của góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)

M , N là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE nên DM , EN cùng đi qua

trung điểm O của AB

Gọi I là trung điểm của OA ⇒ MI // SO ⇒MI ⊥( ABCD ) Do đó, góc giữa MN và (ABCD) là góc MNI  0

Ta có: { AC ⊥BD ¿¿¿¿ Gọi H, K là trung điểm của SO và OB, ta thấy

4 nên MHNK là hình bình hành Suy ra E là trung

điểm của MN ⇒ ME= 1

K

E D

O