Toan 9 thanh ba (21 22)

Một hình lăng trụ đứng tam giác đều có cạnh 6cm và đường cao của nó là 4cm thìdiện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng đó là A.. Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường ca

UBND HUYỆN THANH BA

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

(Đề thi gồm 03 trang)

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1 Cho a,b là các số thực thỏa mãn b<0<a và a+b = 1 Rút gọn biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 :

P



A b a.

ab



B

3 (a b)

ab



ab D (a b)2

ab



Câu 2 Cho a  5 17 4 9 4 5  Giá trị của biểu thức P a 4  3a2  3a 20 bằng

Câu 3 P là điểm di động trên đường thẳng y x 4. Độ dài đoạn thẳng OP đạt giá trị nhỏ

nhất bằng

Câu 4 Cho hai điểm A(0 ;-1) và B(-4 ;3) Thì phương trình đường trung trực của đoạn

thẳng AB là

A y x 3. B y x 1. C y x  1. D y x 3.

Câu 5 Khoảng cách từ điểm O0;0 đến đường thẳng ( ) :d y(2k1)x 4k3 đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu 6 Tích các nghiệm của phương trình x 1 x 2 x 3 x 4 24 bằng

Câu 7 Số nghiệm của phương trình

2

x

Câu 8 Phương trình 3 2 1

11

3

    có nghiệm là

A. 13

1 34



1 34

Câu 9 Tam giác ABC cân ở A, AB = 9cm; BC = 12cm Đường cao AH, I là hình

chiếu của H trên AC, K là hình chiếu của I trên AH Độ dài đoạn KI là

A 3cm B 6cm C 4,5cm D 10

3 cm

Câu 10 Cho hình bình hành ABCD điểm K thuộc cạnh BC, đường thẳng AK cắt BD và CD

theo thứ tự ở E và G Biết EK =4cm, EG =9cm Giá trị của AE là

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 11 Một hình lăng trụ đứng tam giác đều có cạnh 6cm và đường cao của nó là 4cm thì

diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng đó là

A 24cm . B 9 3cm2 C 72 9 3 cm2 D 72 18 3 cm2

Câu 12 Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD Khi đó

tan tanB C bằng

2

Câu 13 Cho tam giác ABC vuông tại A Các đường trung tuyến AD và BE vuông góc với

nhau tại G Biết AB = 6 cm Khi đó cạnh huyền BC bằng

A 3cm B 3 2cm C 6cm. D 2 6cm.

Câu 14 Cho tam giác ABC đều cạnh a Các điểm P, Q, K lần lượt chuyển động trên các

cạnh AB, BC, CA sao cho AP BQ CK  Thì tỉ số AP

AB sao cho bán kính đường tròn ngoại

tiếp tam giác APK là nhỏ nhất là

A 1

3

Câu 15 Cho ABC đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính bằng 18cm M là điểm di

động trên cung nhỏ AC Giá trị lớn nhất của MA MC là

Câu 16 Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2021 vừa kết thúc, anh Huy đỗ vào trường ĐH

Bách Khoa Hà Nội Kì I năm thứ nhất gần qua, kì II sắp đến Hoàn cảnh gia đình không tốt nên bố mẹ anh quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m của gia đình

để nộp học phí cho anh Huy và lo cho tương lai của anh Mảnh đất còn lại sau bán là một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu Biết rằng giá bán đất là 4.500.000đ/1m2 Số tiền lớn nhất mà gia đình anh Huy có thể nhận được là

A 338.062.500đ B 342.562.500đ C 347.062.500đ D 351.562.500đ

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Với những giá trị nào của a thì các số a  15 và 1 15

a  đều là các số nguyên? b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố  p q sao cho ,  p2 q2  1 là một số chính phương

c) Cho p là số nguyên tố và n là số nguyên dương khác 1 thỏa mãn p 1n và

n  p Chứng minh rằng 4p  là một số chính phương.3

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình: x 3  x 4  x 4  x 5  x 5  x 3  x

b) Giải hệ phương trình

2 2 2

2 2 2

2x y x 2x 2

+ 2xy







Câu 3 (4,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB=2R Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB có chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Gọi N là giao điểm của AD và BC; P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng OC và OD.

a) Chứng minh rằng MN CD R  2;

b) Chứng minh rằng AP song song với BQ;

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng BM và Ax Chứng minh rằng AD vuông góc với OK.

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãnx2 y2 z2  2xy 3(x y z  ). Tìm giá trị

2

P x y z

-HẾT -Họ và tên thí sinh: SBD

*Lưu ý: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN: TOÁN (gồm 05 trang)

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1:

a) 1,0đ a) Với những giá trị nào của a thì các số a  15 và

1 15

a đều là các

số nguyên?

Đặt a 15  ; x 1

15 y

a   ; ,x y   Suy ra: a x 15;1 y 15 (a 0)

a

0,25

Do đó: x 15 y 15  1 15x y  16 xy (1) 0,25

Nếu x thì từ (1) ta có y 15 16 xy

x y





 , vô lí vì 15 là số vô tỉ, 16 xy

x y



 là số hữu tỉ

0,25

Vậy x  Thay x y y  vào (1) ta được x y 4 hoặc x y 4

Từ đó ta có a  4 15 hoặc a  4 15

Hai giá trị đều thỏa mãn bài toán

Vậy a  4 15; 4  15

0,25

b) 1,0đ b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố  p q sao cho ,  p2 q2 1 là một số

chính phương

Nếu cả p,q đều lẻ thì p2 q2 1 mod8  , do đó p2 q211 mod8  ,

nên không thể là số chính phương Vậy phải có một số bằng 2 0,5

Nếu p=2 thì p2 q2 1 3  q2là số chính phương nên vô nghiệm q.

0,25

Nếu q=2 thì p2  q2 1p2 5 Đặt p2 5k k2,  

Khi đó  p k p k     5, suy ra p=3 Vậy (3,2) là cặp duy nhất cần tìm 0,25

c) 1,0đ c) Cho p là số nguyên tố và n là số nguyên dương khác 1 thỏa mãn

1

p n và n3 1 p Chứng minh rằng 4p  3 là một số chính phương.

Ta có n31p n1 n2 n 1p Suy ra n 1 p hoặc n2  n 1 p

Do p 1 n nên n p, suy ra không thể xảy ra n 1 p

0,25

Xét trường hợp n2   n 1 p Gọi a,b là các số nguyên dương sao cho:

2

1 1

 





  



Do p bp  an 1 n2  n 1 a n 1

Từ hệ điều kiện trên ta có p b 1 n n  1 a (1)

0,25

Từ (1) suy ra n n  1 a p Mà 0  n 1 a n p  nên phải xảy ra

n n  a  Khi đó a n 1 và b  Suy ra 1 p n 2  n 1

Vậy 4p 3 4  n2  4n  1 2n 12 là số chính phương (đpcm)

0,5

Câu 2:

a) 2đ

a) Giải phương trình: x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 3 x

ĐKXĐ: x 3

Đặt :

2 2 2

5 5



 Theo đề bài, ta có: x ab bc ca  

Do đó:

2 2 2

5

a ab bc ca a b a c

b ab bc ca a b b c

a c b c

c ab bc ca





Nhân vế với vế các phương trình ta có: (a b b c c a )(  )(  ) 2 15 

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

Suy ra:

2 15 5

2 15 3

2 15 4

a b

b c

c a



 







 









 Cộng vế với vế của các phương trình ta có:

47 15 60

a b c   , suy ra 7 15

60

a 

Suy ra: 671

240

x 

0,25 0,25

b) 2,0đ

b) Giải hệ phương trình

2 2 2

2 2 2

2x y x 2x 2

+ 2xy







Hệ phương trình đã cho tương đương với:

2

2( )xy (x 1) 3

2xy(x+1)-(xy) = 1







Đặt:

1

u xy

v x







 

Thay vào hệ phương trình ta có:

2 2 2

u v

uv u







Vì u = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên ta đặt v=tu, thế vào hệ

phương trình ta được:



Suy ra

2

2 2

2 1

t

t





+ Với t = 1 thay vào (1) ta có u = v = 1 hoặc u = v = -1

* Với u = v = 1 hệ phương trình vô nghiệm

* Với u = v = -1 hệ phương trình có nghiệm

2 1 2

x

y













0,25

0,25

0,25

0,25 0,25

0,25

+ Với t =5 thay vào phương trình (1) ta có

.27 3

3

u   u

* Với







* Với



Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) là 2;1 ; 2 1; ; 8 1;





0,25

0,25

Câu 3:

4đ nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax, By Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB=2R Trên cùng một

với nửa đường tròn Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp

tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Gọi N là giao điểm của AD và

BC; P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng OC

và OD.

a) Chứng minh rằng MN CD R  2;

b) Chứng minh rằng AP song song với BQ;

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng BM và Ax Chứng minh rằng AD vuông góc với OK.

Vẽ hình:

K

C

M

N

P

O

Q A

D

B

a) 1,5đ

Do AC//BD nên AN AC MC AN MC MN / /AC

Do MN//AC nên

2

2

0,75

b) 1,5đ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OCAM, kết hợp với MN//AC

nên MNAB suy ra P là trực tâm tam giác OAM Suy ra: APOM (1) 0,75 Tương tự như trên thì Q là trực tâm tam giác OMB suy ra BQOM (2)

c) 1đ KA//BD nên AK/ /BD AKM DBM  KAM BDO MDO 

Lại có:

AMO BMD ( 90 0 BMO) 900AMO900BMD  KMOAMD

(4)

Từ (3) và (4) suy ra: Tam giác MKO đồng dạng với tam giác MAD

MKO MAD  OK AD

0,5

Câu 4:

1,0 đ Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 z2  2xy 3(x y z  ).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 20 20

2

P x y z

Từ giả thiết ta có:

2 6

x y z

   

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

4

8

( )( 2)

8 2 22

2 26

x z y

x y z

 

  



Dấu “=” có khi: x = 1; y = 2; z = 3

0,25

0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất MinP = 1, Có được khi x = 1; y = 2; z = 3 0,25