Bài 6 cung chứa góc

Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.. Cách vẽ cung chứa góc α - Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.. Khẳng định

CHƯƠNG 3.

BÀI 6 CUNG CHỨA GÓC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được bài toán quỹ tích cung chứa góc α

+ Biết cách dựng cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

+ Biết các bước giải bài toán quỹ tích gồm có phần thuận, phần đảo và kết luận

 Kĩ năng

+ Biết được quỹ tích cung chứa góc α nói chung và trường hợp đặc biệt khi 90o

  + Nhận biết được quỹ tích của cung chứa góc α

+ Nêu được các bước giải bài toán quỹ tích.

+ Dựng được cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Quỹ tích cung chứa góc

- Với đoạn thẳng AB và góc 0  180o cho trước thì quỹ

tích các điểm M thỏa mãn AMB  là hai cung chứa góc α dựng

trên đoạn AB.

Chú ý: Hai cung chứa góc α nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau

qua AB.

Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.

Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới

một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Cách vẽ cung chứa góc α

- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α.

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax Gọi O là giao điểm của

Ay với d.

- Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa

mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB được vẽ như trên

là một cung chứa góc α

Cách giải bài toán quỹ tích

- Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính

chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần.

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc α

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Phần thuận:

Bước 1.Tìm đoạn thẳng cố định và góc  tạo

thành

Bước 2 Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc

Ví dụ: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M

là một điểm chạy trên đường tròn Trên tia đối của

tia MA lấy điểm I sao cho 3

2

MI  MB Tìm tập

hợp các điểm I nói trên.

Hướng dẫn giải

Phần thuận:

Xét MBI, ta có tan 2 33 41'

3

o MB

MI

CUNG

CHỨA

GÓC

Quỹ tích cung chứa góc

Cách dựng cung chứa góc

Cách giải bài toàn quỹ tích

Quỹ tích là đường tròn đường kính AB.

Hai cung chứa góc dựng trên

đoạn thẳng AB.

Dựng đường trung trực của AB.

Dựng tia Ax sao cho

Vẽ cung AmB tâm O, bán kính OA không chứa tia Ax.

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo:Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Tính chất: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

cung chứa góc  vẽ trên đoạn thẳng cố định.

Bước 3 Tìm giới hạn của quỹ tích điểm.

Phần đảo:

Điểm I nhìn đoạn AB cố định dưới một góc 33 41' o ,

nên điểm I nằm trên hai cung chứa góc 33 41' o dựng trên đoạn thẳng AB.

Khi điểm M A , thì cát tuyến AM trở thành tiếp

tuyến A AA Khi đó điểm I trùng với 1 2 A hoặc 1 A2

Vậy điểm I chỉ thuộc hai cung  A mB và 1 A mB 2

Phần đảo:

Lấy điểm I bất kì thuộc cung  A mB hoặc 1 A mB 2 Nối IA cắt đường tròn đường kính AB tại điểm M.

Ta phải chứng minh 3

2

MI  MB

Thật vậy, xét tam giác vuông MBI,ta có

o MB

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung  A mB1

hoặc A mB chứa góc 33 41'2 o dựng trên đoạn thẳng AB A A( 1 2 AB tại A).

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm quỹ tích các giao điểm O của hai đường chéo

trong hình thoi đó

Hướng dẫn giải

Phần thuận:

ABCD là hình thoi suy ra  90o

ACBD AOB

Vậy O nằm trên đường tròn đường kính AB trừ hai điểm A và B.

Phần đảo:

Lấy điểm O bất kì trên đường tròn đường kính AB (điểm O không trùng với A và B) Vẽ tia OA trên đó lấy điểm C sao cho O là trung điểm của AC Vẽ tia BO trên đó lấy điểm D sao cho O là trung điểm của

BD Ta phải chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.

Thật vậy, tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mặt khác AOB 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên ACBD

Vậy tứ giác ABCD là hình thoi.

Kết luận: Quỹ tích của điểm O là đường tròn đường kính AB (trừ hai điểm A và B).

Ví dụ 2 Cho ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi

Hướng dẫn giải

Phần thuận:

Xét BIC có  1 1  

90

o

Vậy điểm I nằm trên cung chứa góc 135o dựng trên đoạn BC cùng phía với điểm A bờ là đường thẳng BC (trừ hai điểm B và C).

Phần đảo:

Lấy điểm I bất kì trên cung chứa góc 135o dựng trên đoạn BC (I không trùng với B và C, I và A cùng phía đối với đường thẳng BC).

Vẽ tia Bx sao cho tia BI là tia phân giác của góc CBx.

Vẽ tia Cy sao cho tia CI là tia phân giác của góc BCy.

Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A.

Ta phải chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Thật vậy, xét ABC ta có

 180o    180o 21 1

BAC  B C   B C

Xét tam giác BIC có  BIC 135o (vì I nằm trên cung chứa góc 135o vẽ trên đoạn thẳng BC).

Suy ra  

Do đó BAC 90o

Kết luận: Quỹ tích của điểm I là cung chứa góc 135o thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC vẽ trên đoạn thẳng BC (trừ hai điểm B và C).

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50o Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác Tìm quỹ tích điểm D.

Câu 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho

trên cạnh BC.

Câu 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB C là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn Trên

tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC Tìm tập hợp các điểm D.

Câu 4: Cho ABC vuông ở A Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC ra phía ngoài tam giác Qua

A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường tròn đường kính AB, N thuộc nửa đường tròn đường kính AC) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi cát tuyến MAN quay quanh A.

Dạng 2 Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Phương pháp giải

Chứng minh các điểm này cùng thuộc một nửa mặt

phẳng bờ AB và cùng nhìn AB dưới một góc bằng

nhau

Ví dụ: Cho ABC nội tiếp đường tròn Một dây

DE song song với BC cắt AC ở F Tiếp tuyến tại B cắt DE ở I Chứng minh A, I, B, F cùng thuộc một

đường tròn

Hướng dẫn giải

Ta có IBA ACB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Vì DE // BC nên  AFI ACB (hai góc đồng vị)

Do đó IBA IFA ACB

Suy ra B, F cùng nằm trên một cung chứa góc dựng trên đoạn AI.

Vậy A, I, B, F cùng thuộc một đường tròn.

Ví dụ mẫu

Ví dụ Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với  A 60o

Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’ Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một

đường tròn

Hướng dẫn giải

ABC

 có A60o  B C 120o

Xét BIC có  180   180 60 120

2

Ta có

360 90 90 60 120

o

BHC B HC   HC A HB A B AC 

Lại có BOC2BAC 2.60o 120o

Suy ra các điểm I, H, O nằm trên cung chứa góc 120o dựng trên đoạn

thẳng BC.

Do đó năm điểm I, H, O, B, C cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho ABC có góc B, góc C nhọn AH là đường cao, AM là đường trung tuyến, biết rằng

BAH MAC Gọi E là trung điểm của AB Chứng minh A, M, H, E cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có  A 90o Đường tròn (A;AB) cắt đường thẳng BC tại E Đường tròn (C;CB) cắt đường thẳng AB tại K Chứng minh A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.

Câu 3: Cho ABC vuông tại A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ một đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N Vẽ đường tròn ngoại tiếp BIN cắt đường thẳng AI tại một điểm thứ hai là D Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, từ đó suy ra BECE

Dạng 3: Dựng cung chứa góc

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Dựng đoạn thẳng có độ dài bằng cạnh đã

cho

Bước 2: Dựng cung chứa góc  trên đoạn thẳng

đó

Bước 3: Dựng tiếp điều kiện còn lại và kết luận.

Ví dụ: Dựng một cung chứa góc 55o trên đoạn

thẳng AB = 3 cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm.

- Dựng góc xAB 55o

- Dựng tia AyAx

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

- d cắt Ay tại O.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA AmB là

cung chứa góc 55o cần dựng

Chứng minh

O thuộc đường trung trục của AB OA OB

B O OA

AxAO Ax là tiếp tuyến của (O;OA)

BAx

 là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây AB.

Lấy MAmB AMB là góc nội tiếp chắn cung

nhỏ AB

BAx AMB

AmB

 là cung chứa góc 55o dựng trên đoạn

AB=3cm.

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Dựng ABC biết 3 , 50o

BC  cm BAC và trung tuyến AM 2,5cm

Hướng dẫn giải

Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng BC = 3cm.

- Dựng cung chứa góc 50o trên đoạn BC.

- Dựng M là trung điểm của đoạn BC.

- Vẽ cung tròn (M; 2,5cm) cắt cung chứa góc tại A.

- Nối AB, AC ta được ABCphải dựng

Chứng minh

Theo cách dựng ta có BC = 3cm.

A thuộc cung chứa góc 50o dựng trên đoạn BC BAC 50o

 ; 2,5  2,5

A M cm  AM  cm

Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài

Biện luận: Do (M; 2,5cm) cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Ví dụ 2 Dựng ABC, biết BC6cm A, 40o và đường cao AH = 4cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm Lấy D là trung điểm của BC.

- Dựng cung chứa góc 40o trên đoạn thẳng BC.

+ Dựng tia Bx sao cho  CBx 40o

+ Dựng tia ByBx

+ Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

+ Dựng đường tròn (O;B).

+ Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40o dựng trên đoạn BC.

- Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm.

+ Trên đường trung trực của BC lấy điểm D’ sao cho DD’ = 4cm.

+ Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

- Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A, ta được ABC cần dựng

Chứng minh

Theo cách dựng ta có BC = 6cm.

A thuộc cung chứa góc 40o dựng trên đoạn BC BAC 40o

A d song song với BC và cách BC 4cm AH DD' 4 cm

Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài

Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Dựng ABC biết 3 ; 50o

BC cm A và AB3,5cm

Câu 2: Dựng ABC biết BC4cm; đường cao BD = 3cm và đường cao CE = 3,5cm.

ĐÁP ÁN Dạng 1 Quỹ tích là cung chứa góc α

Câu 1.

Phần thuận:

Ta có  50o   180o 50o 130o

 



130

65 2

180 65 115

o o

BDC

Suy ra quỹ tích D là cung chứa góc 115o nằm trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC dựng trên đoạn BC (trừ hai điểm B và C).

Phần đảo: Lấy điểm D bất kì nằm trên cung chứa góc 115o dựng trên

đoạn BC (trừ hai điểm B và C).

Thật vậy, xét ABC, ta có

 180o    180o 21 1

BAC  B C   B C

Xét BDC, ta có  

 180o 2.65o 50o

BAC

Kết luận: Quỹ tích của điểm D là cung chứa góc 115o thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa điểm A bờ là đường thẳng BC dựng trên đoạn thẳng BC (trừ hai điểm B và C).

Câu 2.

Phần thuận:

Xét CBF và CDE có

CFCE (giả thiết), CBCD (ABCD là hình vuông);   90o

BCFDCE

Do đó CBFCDE c g c  CBF CDE  CBF BEM 90o hay  90o

BMD 

M

 thuộc đường tròn đường kính BD.

Mà EBC nên quỹ tích điểm M là cung nhỏ BC của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Phần đảo:

Lấy điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Khi đó MDCCBM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM ).

Ta phải chứng minh CE = CF.

Thật vậy, xét CDE và CBF có

CD = CB (ABCD là hình vuông);   90 ;O  

DCE BCF  CDE CBF (chứng minh trên)

Do đó CDE CBF g c g   CE CF

Kết luận: Quỹ tích điểm M là cung nhỏ BC của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D

Câu 3.

Phần thuận:

Vẽ tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đường kính AB, tia Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn, trên tia Ax lấy điểm E sao cho AEAB E cố định

Xét ABC và EAD có

 

AEAB A B AD BC

Do đó BAC AED c g c 

EDA ACB

D

 thuộc nửa đường tròn đường kính AE nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax.

Phần đảo:

Lấy điểm D bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính AE nằm trên nửa

mặt phẳng bờ chứa tia Ax, AD cắt đường tròn đường kính AB tại C.

Ta cần chứng minh AD = BC.

Thật vậy, xét ABC C 90o và EAD D 90o có

,

AEAB ABC EAD

Do đó ABC EAD (cạnh huyền – góc nhọn)  BC AD

Kết luận: Vậy tập hợp các điểm D là nửa đường tròn đường kính AE nằm

trên nửa bờ mặt phẳng chứa tia Ax có chứa điểm A, B.

Câu 4.

Phần thuận:

Gọi K là trung điểm của BC thì IK là đường trung bình của hình thang

vuông MNCB.

Suy ra KI MN AIK 90o

Vậy điểm I nằm trên đường tròn đường kính AK.

Tuy nhiên, nếu điểm M di động tới điểm B thì điểm N di động tới điểm A,

do đó trung điểm I của MN di động tới trung điểm D của AB Nếu điểm

M di động tới điểm A thì điểm N di động tới điểm C, do đó trung điểm I

của MN di động tới trung điểm E của AC.

Vậy điểm I chỉ thuộc cung DAE của đường tròn đường kính AK

Phần đảo:

Lấy điểm I bất kì trên cung DAE Vẽ đường thẳng AI cắt các nửa đường

tròn đường kính AB và AC lần lượt tại M và N

Ta phải chứng minh IM = IN.

Thật vậy,  90 ;o  90 ;o  90o

AIK AMB ANC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có BM // KI // CN (cùng vuông góc với MN).

Do đó KB KC  IM IN

Kết luận: Quỹ tích của điểm I là cung DAE của đường tròn đường kính AK.

Dạng 2 Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Câu 1.

ABC

 có ME là đường trung bình nên ME // AC

AHB

 có AHB90 ,o EA EB

AE EH

Do đó AHE cân tại E EHA EAH   2

Từ (1), (2) và EAH MAC suy ra AMEAHE

Do đó H, M, A, E cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2.

Ta có ABE cân tại A, CBK cân tại C.

Lại có ABE CBK nên EAB KCB  A C E K; ; ; cùng thuộc một

đường tròn (1)

Mặt khác DAB DCB

Suy ra DAE KCD

Từ đó ta có DAEKCD c g c 

EDA CKD

  , mà EDA DEC  CKD DEC 

; ; ;

C D E K

 cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn đi qua E,

K, A.

Câu 3.

a) Ta có  

D B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IN ),

B1B 2 (giả thiết)

Do đó D2 B1

Hai điểm D và B cùng nhìn đoạn AE dưới một cặp góc bằng nhau nên B

và D thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AE.

Suy ra A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn(P).

b) Ta có D1N1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BI );

C1N1 (hai góc đồng vị)

Do đó  

D C

Hai điểm C và D cùng nhìn đoạn AB dưới một góc bằng nhau nên C và

D thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB.

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (Q).

Hai đường tròn (P) và (Q) có ba điểm chung là A, B, D nên chúng trùng

nhau

Do đó năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra BEC BAC 90o Vây BECE

Dạng 3 Dựng cung chứa góc

Câu 1.

Phân tích

Giả sử đã dựng được ABC thỏa mãn đề bài, ta thấy

- Đoạn thẳng BC = 3cm dựng được ngay.

- Điểm A thỏa mãn hai điều kiện:

+ A nằm trên cung chứa góc 50o dựng trên đoạn thẳng BC.

+ A nằm trên đường tròn (B; 3,5cm).

Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng BC = 3cm.

- Dựng cung chứa góc 50o trên đoạn BC.

- Dựng đường tròn (B; 3,5cm).

- Đường tròn (B; 3,5cm) cắt cung chứa góc tại A.

- Nối AB, AC ta được ABC phải dựng

Chứng minh

Vì A thuộc cung chứa góc 50o nên

BAC50 ,o BC3 cm AB;3,5cm AB3,5cm

Vậy ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài

Kết luận

Bài toán có hai nghiệm hình là ABC và A BC'

Câu 2.

Cách dựng

- Dựng nửa đường tròn đường kính BC = 4cm.

- Dựng đường tròn (B; 3cm) và (C; 3,5cm) cắt nửa đường tròn đường

kính BC lần lượt tại D và E.

- Các đường thẳng BE và CD cắt nhau tại A ta được ABC là tam giác

phải dựng

Chứng minh

Ta có BC4cm D, B cm;3   BD3cm và  BDC 90o hay

Tương tự EC;3,5cm CE3,5cm và ECEB