Bài 1 góc ở tâm số đo cung

SỐ ĐO CUNG Mục tiêu  Kiến thức + Nêu được khái niệm góc ở tâm, số đo của một cung.. + Nhận biết được hai cung bằng nhau hoặc hai góc ở tâm bằng nhau.. Cung nằm bên trong góc được gọi là

CHƯƠNG 3 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1 GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nêu được khái niệm góc ở tâm, số đo của một cung

+ Chỉ ra được cung nhỏ, cung lớn, hai cung bằng nhau

+ Hiểu được định lí “cộng hai cung”

 Kĩ năng

+ Biết cách đo góc ở tâm hoặc tính góc ở tâm để tìm số đo của hai cung tương ứng

+ Nhận biết được hai cung bằng nhau hoặc hai góc ở tâm bằng nhau

+ Vận dụng được vào giải bài toán cụ thể.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Góc ở tâm

Định nghĩa

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là

góc ở tâm.

● Nếu 0  180 thì cung nằm bên trong

góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc

được gọi là cung lớn.

● Nếu  180 thì mỗi cung là một nửa đường

tròn

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị

chắn.

Góc bẹt chắn nửa đường tròn.

Kí hiệu cung AB là AB

AOB là góc ở tâm.

Cung nhỏ: AmB Cung lớn: AnB

2 Số đo cung

● Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB

sđ AnB = AOB (góc ở tâm chắn AB ).

● Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm

chắn cung đó

● Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số

đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)

sđ  AmB 360  sđ  AnB

● Số đo của nửa đường tròn bằng 180 Cung

cả đường tròn có số đo 360 Cung không có số đo

0 (cung có hai mút trùng nhau)

3 So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng

nhau:

Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số

đo bằng nhau

Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được

gọi là cung lớn hơn

4 Định lý

Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì

sđ AB = sđ AC + sđ CB

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính số đo góc ở tâm và số đo của cung bị chắn

Phương pháp giải

Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị

chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:

● Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở

tâm chắn cung đó

● Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và

số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung

lớn)

● Số đo của nửa đường tròn bằng 180 Cung

cả đường tròn có số đo 360

Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để

tính góc

Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung

Chú ý: Khi nhắc tới một cung là nhắc tới cung

nhỏ

Ví dụ: Cho hình vẽ với AOB 100

Khi đó sđ AmB 100 và

sđ AnB 360  sđ AmB 260

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn  O cắt nhau tại M, biết  AMB   40

GÓC Ở TÂM

SỐ ĐO CUNG

Góc có đỉnh trùng với

tâm của đường tròn:

sđ =

Cung nhỏ:

Cung lớn:

sđ+sđ=

sđ> sđ Với thì

a) Tính số đo AMO và AOM

b) sđ AmB ?

Hướng dẫn giải

a) Ta có:   20

2

AMB AMO    (tính chất 2 tiếp

tuyến cắt nhau)  AOM 70 (phụ với AMO

)

b) Ta có: AOB2AOM 140 (tính chất hai

tiếp tuyến cắt nhau)  sđ AmB AOB 140

Ví dụ 2: Cho O R và dây cung ;  MN R 3 Kẻ OK⊥MN tại K.

a) Tính độ dài OK theo R.

b) Tính MOK và MON

c) Tính số đo cung nhỏ và cung lớn MN.

Hướng dẫn giải

R

MK  MN  (tính chất tam giác cân)

Áp dụng định lý Pi-ta-go MOK vuông tại K,

ta có OK2 OM2 MK2

2 2

OK R      OK 

b) Áp dụng tỉ số lượng giác trong MOK

vuông tại K, ta có:

cos

2

R OK MOK

chất tam giác cân)

c) sđ MmN MON 120  sđ MnN 360 

sđ MmN 240

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho đường tròn  O dây cung AB Tiếp tuyến của  O tại A và B cắt nhau tại M Biết

 50

AMB  

a) Tính số đo cung AB.

b) Trên nửa mặt phẳng bờ OB (không chứa điểm A), kẻ đường thẳng d qua O và song song với BM, d

cắt  O tại D Tính số đo cung AD.

Câu 2 Cho tam giác đều ABC Vẽ đường tròn  I đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D, E a) Tính số đo mỗi cung BD (cung lớn và cung nhỏ).

b) Chứng tỏ rằng BD DE EC 

Bài tập nâng cao

Câu 3 Cho đường tròn O R , lấy ;  B O gọi H là trung điểm của đoạn OB Dây CD vuông góc với

OB tại H Tính số đo cung nhỏ và cung lớn CD.

Câu 4 Cho ABC cân tại A Vẽ  O , đường kính BC Đường tròn  O cắt AB và AC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh các cung nhỏ BM và CN có số đo bằng nhau.

b) Tính MON , biết  BAC   40

Câu 5 Trên một đường tròn  O có sđ  MP 100 Gọi N; Q lần lượt là điểm đối xứng của M; P qua O. Trên cung PQ lấy C làm điểm chính giữa; trên cung MN lấy D làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD.

Câu 6 Cho đường tròn O R , lấy điểm M nằm ngoài ;   O sao cho OM 2R Từ M kẻ tiếp tuyến MA

và MB với  O (A; B là các tiếp điểm).

a) Tính AOM

b) Tính AOB và số đo cung AB nhỏ.

c) Biết OM cắt  O tại C Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ.

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của  O nên MA⊥OA và

MB⊥OB

Xét tứ giác AOBM có:

AOB 360  MAO MBO AMB   

360 90 90 50 130

         

sđ ABAOB130

b) Ta có

sđ ADB 360  sđ AB 360  130 230

Mặt khác OD BM∥ mà BM⊥OB OD⊥OB

hay sđ BOD   90

Suy ra sđ AD  sđ ADB  sđ  BD 230  90 140

Câu 2.

a) Ta có ID IB R  IBD cân tại I.

Mà DBI 60 ( ABC đều) Do đó IBD đều

Suy ra BID    sđ 60 BD   60

Vậy sđ BD lớn 360  60 300

b) sđ BD   60

Tương tự cũng có sđ EC   60

Suy ra sđ DE sđ BC  sđ BD  sđ  EC   60

Ta có: sđ BD sđ DE sđ EC nên  BDDE EC

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Ta có OB OC (bằng bán kính)  BOC cân tại O.

Lại có BO⊥CD tại trung điểm của OB.

Suy ra BOC cân tại C.

Do đó BOC đều

Chứng minh tương tự được: BOD đều

Suy ra sđ CBD COD COB BOD   120

Suy ra sđ CD lớn 360  120 240

Câu 4.

a) Ta có: OM ON OB OC  BOM và CONcân

tại O.

Suy ra MBOBMO và NCO CNO

Mặt khác:

MBO BMO BOM  NCO CNO CON  180

(định lý tổng ba góc trong tam giác) (*)

Suy ra BOM CON  BM CN

b) BAC 40  ABCACB70 (định lý tổng ba góc

trong tam giác).

Thay vào (*) ta có: BOM CON 40

Suy ra

MON    BOM CON        

Câu 5.

Do sđ MP 100 nên MOPNOQ100 (hai góc đối

đỉnh)

D và C lần lượt là điểm chính giữa cung MN và cung PQ

nên ta có sđ QC sđ  DN   90

D nằm giữa QN nên ta có: sđ QD  sđ  DN 100

 sđ QD 100  90   10

C nằm giữa QN nên ta có:

sđ QC  sđ  CN 100  sđ CN 100  90   10

Suy ra

sđ CD sđ QN  sđ QD  sđ  NC 100 10  10 80

Câu 6.

a) Do MA; MB là các tiếp tuyến của  O nên MA⊥ AO

và MB⊥BO

Xét tam giác vuông MAO có sin 1

2

AO AMO

MO

  Suy ra AMO30  AOM 60 (hai góc phụ nhau)

b) AOB2AOM 120 (tính chất hai tiếp tuyến cắt

nhau)

Suy ra sđ AB 120

c) Ta có AOCBOC  ACBC

Suy ra C là điểm chính giữa cung AB

Dạng 2: Chứng minh hai cung bằng nhau

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí, hệ quả và ứng dụng các kiến

thức đã được học để chứng minh hai góc ở tâm

bằng nhau hoặc hai dây bằng nhau suy ra hai cung

bằng nhau

Ví dụ:

AB CD  sđ AB sđ DC

AOB COD  sđ AB sđ DC

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn  O cắt nhau tại K, biết  AKB   và KO cắt 50  O tại M.

a) Tính AOM ; BOM

b) Số đo cung nhỏ AB bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Ta có   25

2

AKB AKO    (tính chất 2 tiếp

tuyến cắt nhau)  AOM 65 (phụ với AMO )

Suy ra BOM AOM 65 (tính chất 2 tiếp tuyến

cắt nhau)

b) Ta có M là điểm nằm giữa cung AB nên

sđ AM  sđ MB sđ BA

Suy ra sđ AB 2.65 130

Ví dụ 2 Cho hai đường tròn đồng tâm O với bán kính khác nhau Hai đường thẳng qua O cắt hai đường

tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q.

Chứng minh rằng: sđ BN sđ CP sđ DQ sđ AM

Hướng dẫn giải

Ta có BON POC AOM POD (đối đỉnh)

Suy ra sđ BN sđ CP sđ AM sđ DQ

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho ABC đều Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, vẽ nửa đường tròn đường kính BC Lấy D thuộc nửa đường tròn sao cho sđ  CD   Gọi I là giao điểm của AD và BC.60

Chứng minh rằng BI 2CI

Câu 2 Cho hai đường tròn O R và ;  O R ;  cắt nhau tại hai điểm A và B Kẻ các đường kính AOC và

AO D Hay so sánh số đo (độ) của hai cung nhỏ BC và BD của hai đường tròn, biết rằng R R

Bài tập nâng cao

Câu 3 Trên cung nhỏ AB của  O , cho hai điểm C và D sao cho cung AB được chia thành ba cung bằng

nhau AC CD DB   Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F.

a) Hãy so sánh các đoạn thẳng AE và FB.

b) Chứng minh cách đường thẳng AB và CD song song.

Câu 4 Cho đường tròn  O đường kính AB, vẽ góc ở tâm  AOC   Vẽ dây CD vuông góc với AB và50 dây DE song song với AB.

Chứng minh ba điểm C; O; E thẳng hàng Từ đó tính số đo cung nhỏ BE.

Câu 5 Trên một đường tròn  O cho cung AB có số đo bằng 140 Gọi A; B lần lượt là điểm đối xứng của A; B qua O; lấy cung AD nhận B làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD.

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Gọi O là tâm của nửa đường tròn đường kính BC.

Ta có sđ CD   (giả thiết) nên 60 OCD đều

Do đó AIB∽ DIC (g.g) BI AB

CI CD

Mà ABBC; CD OC R

2

BI BC

CI OC

  

Vậy BI 2CI

Câu 2.

Ta có: RR (giả thiết) nên OA OA

Xét AOO, ta có OA OA nên AOOAO O

Suy ra 2AOO2AO O hay AOB AO B

Suy ra BOC BO D  (hai góc kề bù với hai góc trên)

Vậy số đo (độ) của cung nhỏ BC lớn hơn số đo (độ) của

cung nhỏ BD.

Bài tập nâng cao

Câu 3.

a) Xét OFB và OEA có:

OA OB R; AOCDOB (do AC DB );

OAB OBA (OAB cân tại O do OA OB R)

Do đó OEAOFB (g.c.g)  AE FB

b) Do OEAOFB nên  OE OF  OEF cân tại

O.

Suy ra 2.OEF 180  EOF (định lý tổng ba góc trong

tam giác)

Chứng minh tương tự OCD cân tại O nên

2.OCD180  COD (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Do đó OEF OCD

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Vậy AB CD∥ (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Câu 4.

Gọi M là trung điểm của CE.

Xét CDE có: MCMDME (tính chất tam giác

vuông)

Lại có: OC OD OE  (bán kính)

Suy ra M trùng O hay ba điểm C; O; E thẳng hàng.

Do đó BOE AOC 50 (đối đỉnh)  sđ BE   50

Câu 5.

Ta có AOBB OA  (hai góc đối đỉnh)  sđ A B  sđ AB

Mặt khác sđ AB sđ  A B  180 (cung chắn nửa đường

tròn)

 sđ AB 180  140 40

B và A lần lượt là điểm chính giữa cung AD và cung BC

nên ta có sđ AB  sđ  B D 40 và sđ BA sđ  A C 40

Suy ra sđ CD sđ A B   sđ B D   sđ A C

140 40 40 60

       