giai sbt toan 9 bai 1 goc o tam so do cung

Chương III Góc với đường tròn Bài 1 Góc ở tâm Số đo cung Bài 1 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2 a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ? b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim[.]

Chương III Góc với đường tròn Bài 1 Góc ở tâm Số đo cung Bài 1 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2:

a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

Lời giải:

Trên đồng hồ có 12 chữ số, mỗi chữ số đó chia mặt đồng hồ thành 12 cung tròn bằng nhau Mỗi cung tròn tương ứng với một góc ở tâm bằng 30° Như vậy:

a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng:

3 1 30 2.30 60

b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng:

63 30 3.30 90

Bài 2 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Một đồng hồ chạy chậm 25 phút Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc ở tâm là bao nhiêu độ ?

Lời giải:

Một vòng quay của kim phút là 60 phút tương ứng với 360° Như vậy mỗi phút tương ứng với 360 : 60o  Đồng hồ chạy chậm 25 phút thì phải quay kim phút một góc ở tâm là: 6o

25.6 150

Bài 3 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi

sao năm cánh đều nhau Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành

một hình có góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

Lời giải:

Trước hết cần gấp đôi tờ giấy Sau đó chọn điểm làm tâm rồi chia tờ giấy đã gấp ra 5 phần với 5 góc ở tâm bằng nhau, mỗi góc bằng 180 : 5 36o  o

Bài 4 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O; R) cắt

nhau tại M Biết OM = 2R Tính số đo của góc ở tâm AOB ?

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

Do MA là tiếp tuyến của (O) tại A

MA OA

  tại A

o

OAM 90

Do đó, tam giác MAO vuông tại A

Xét tam giác MAO vuông tại A có:

cos AOM

o

AOM 60

Mà AOM 1AOB

2

 (do hai tiếp tuyến MA và MB giao nhau tại M)

AOB 2AOM 2.60 120

Bài 5 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Gọi C là

điểm chính giữa của cung AB Vẽ dây CD dài bằng R Tính góc ở tâm BOD Có mấy đáp

số ?

Lời giải:

Điểm D có 2 trường hợp nên có hai đáp số tương ứng:

+ Nếu D nằm giữa C và B

Ta có điểm C là điểm chính giữa của cung AB nên ta có:

sđBC = sđ AC = 90 o

Ta lại có: CD = R (gt)

 OC = OD = CD = R

Do đó, tam giác OCD là tam giác đều

o

COD 60

Mà góc COD là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD

CDCOD60

sđBD = sđ BC - sđCD = o o

90 60 = 30 o

Mà cung nhỏ BD bị chắn bởi góc ở tâm BOD

o

đ BOD s BD 30

+ Nếu D nằm giữa C và A ta có:

Ta có điểm C là điểm chính giữa của cung AB nên ta có:

sđBC = sđAC = 90 o

Ta lại có: CD = R (gt)

 OC = OD = CD = R

Do đó, tam giác OCD là tam giác đều

o

COD 60

Mà góc COD là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD

CDCOD60

sđBD = sđ BC + sđCD = o o

90 60 = 150 o Suy ra BODs Bđ D 150 o

Bài 6 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau

tại A, B Hãy so sánh R và R’ trong các trường hợp sau:

a) Số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’)

b) Số đo cung lớn AB của (O; R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O’; R’)

c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau

Lời giải:

a)

Trong (O; R) ta có:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AOB  sđ AB

Trong (O’; R’) ta có:

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B  sđ AB

Vì số đo cung nhỏ AB của (O; R) lướn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’) nên ta suy ra: AOBAO'B (1)

Xét tam giác AOO’ và tam giác BOO’ có:

O’A = O’B = R’

OA = OB = R

OO’ là cạnh chung

Do đó, tam giác AOO’ bằng tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh)

1 AOO' BOO' AOB

2

   (2) ; AO'O BO'O 1AO'B

2

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: AOO'AO'O

Xét tam giác AOO’ có: AOO'AO'O (cmt)

O'A OA

  (theo bất đẳng thức trong tam giác)

R ' R

 

b)

Trong (O; R) ta có:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AOB  sđ AB

Trong (O’; R’) ta có:

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B  sđ AB

Trong (O; R) số đo cung lớn AB cộng với số đo cung nhỏ AB bằng 360 o

Mà số đo cung nhỏ AB của (O; R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O’; R’)

Do đó, số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’) nên theo chứng minh phần (a) ta có: R’ > R

c)

Trong (O; R) ta có:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AOB  sđ AB

Trong (O’; R’) ta có:

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B  sđ AB

Mà số đo hai cung nhỏ AB của (O; R) và (O’; R’) bằng nhau nên ta có:

AOBAO'B (1c)

Xét tam giác AOO’ và tam giác BOO’ có:

O’A = O’B = R’

OA = OB = R

OO’ là cạnh chung

Do đó, tam giác AOO’ bằng tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh)

1 AOO' BOO' AOB

2

   (2c) ; AO'O BO'O 1AO'B

2

Từ (1c), (2c), (3c) ta suy ra: AOO'AO'O

Do đó, tam giác AOO’ cân tại A

OA OA'

R R '

 

Bài 7 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) vắt nhau

tại A, B Đường phân giác của góc OBO’ cắt các đường tròn (O), (O’) tương tự tại C, D Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BO’D

Hướng dẫn Sử dụng các tam giác cân OBC, O’BD

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

Tam giác OBC có:

OB = OC (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OBC cân tại O

o

2



o

BOC 180 2OBC

Xét đường tròn (O’)

Xét tam giác BO’D có:

O’B = O’D (cùng bằng bán kính đường tròn (O’))

Do đó, tam giác BO’D cân tại O’

o

2



o

BO'D 180 2O'BD

Lại có: BC là phân giác của góc OBO’ nên OBCO'BD (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: BOCBO'D

Bài 8 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Trên một đường tròn, có cung AB bằng 140°,

cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD

Lời giải:

Vì B là điểm chính giữa của cung AD, A là điểm chính giữa của cung CB nên

ABBDAC

Mà:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

Góc BOD là góc ở tâm chắn cung nhỏ BD

Góc AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC

o

AOB BOD AOC 140

Kẻ đường kính AA’ và BB’

Ta có:

o

AOB AOB' 180  (hai góc kề bù)

AOB' 180 AOB 180 140 40

Ta lại có: B'ODBOD 180 o (hai góc kề bù)

B'OD 180 BOD 180 140 40

Mà AOCAOB' B'OD DOC

DOC AOC AOB B OD 140 40 40 60

Góc DOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD nên số đo cung nhỏ CD bằng số đo góc DOC bằng 60°

Do đó, số đo cung lớn CD là: 360° – 60° = 300°

Bài 9 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho C là một điểm nằm trên cung lớn AB của

đường tròn (O) Điểm C chia cung lớn AB thành hai cung AC và CB Chứng minh rằng cung lớn AB có: sđ AB = sđ AC + sđ CB

Hướng dẫn Xét ba trường hợp:

a) Tia OC nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm AOB

b) Tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB

c) Tia OC nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm AOB

Lời giải:

a)

Kẻ đường kính CD

Ta có:

Vì OD nằm giữa OA và OB nên điểm D nằm trên cung nhỏ AB

sđAD (nhỏ) + sđ BD(nhỏ) = sđAB (nhỏ) (1)

Vì OA nằm giữa OC và OD nên điểm A nằm trên cung nửa đường tròn CD

sđAD (nhỏ) + sđ AC (nhỏ) = o

180 (2)

Vì OB nằm giữa OC và OD nên điểm B nằm trên cung nửa đường tròn CD

sđBD(nhỏ) + sđ BC(nhỏ) = o

180 (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra:

sđ AD (nhỏ) + sđ AC (nhỏ) + sđ BD (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) = o

360 (4)

Từ (1) và (4) ta suy ra:

sđ AC (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) + sđ AB (nhỏ) = o

360

sđAC (nhỏ) + sđ BC(nhỏ) = o

360 - sđ AB (nhỏ) Mà: 360 - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) o

 sđ AB (lớn) = sđ AC (nhỏ) + sđ BC(nhỏ)

b)

Do tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB nên ta có:

o

AOB BOC AOC 180

o

AOB BOC AOC 360

o

BOC AOC 360 AOB

Mà góc AOC là góc ở tâm chắn cung AC, góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC và góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

sđ AC + sđ BC(nhỏ) = o

360 - sđ AB (nhỏ) Mà: 360 - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) o

 sđ AB (lớn) = sđ AC + sđ BC(nhỏ)

c)

Kẻ đường kính AE

Do tia OE trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB nên ta có:

o

AOB BOE AOE 180

o

AOB BOE AOE 360

o

BOE AOE 360 AOB

Mà góc AOE là góc ở tâm chắn cung AE, góc BOE là góc ở tâm chắn cung nhỏ BE và góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

sđ AE + sđ BE (nhỏ) = o

360 - sđ AB (nhỏ) Mà: 360 - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) o

 sđ AB (lớn) = sđ AE + sđ BE (nhỏ)

Mà BOEBOC COE nên ta có:

sđ BE (nhỏ) = sđCE (nhỏ) + sđ BC (nhỏ)

 sđ AB (lớn) = sđ AE + sđCE (nhỏ) + sđBC(nhỏ)

Mà AOEAOC COE 180  o

AOE AOC COE 360

o

AOE COE 360 AOC

 sđ AE + sđCE (nhỏ) = o

360 - sđ AC (nhỏ)

Mà sđ AC = o

360 - sđ AC (nhỏ)

 sđ AE + sđCE (nhỏ) = sđAC (lớn)

 sđ AB (lớn) = sđ AC (lớn) + sđ BC(nhỏ)

Bài tập bổ sung

Bài 1.1 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hình bs.4 Biết cung DOA 120 o, OA vuông góc với OC, OB vuông góc với OD

a) Đọc tên các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn o

180 b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên

c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 180 ) o

d) So sánh hai cung nhỏ AB và BC

Lời giải:

a)

Các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn 180 là: o

AOB, AOC, AOD, BOC, BOD, COD

b)

OA vuông góc với OC tại O AOC90o

OB vuông góc với OD tại O BOD90o

Ta có:

AOBBODAOD

AOB AOD BOD 120 90 30

AOCCODAOD

COD AOD AOC 120 90 30

AOBBOCAOC

BOC AOC AOB 90 30 60

c)

Các cung có số đo bằng nhau nhỏ hơn 180 là: o

ABCD (hai cung nhỏ, do AOBCOD  ) 30

ACBD (hai cung nhỏ, do AOCBOD ) 90 d)

sđ o

ABAOB 30

BCBOC60

Suy ra: sđBC = 2 sđ AB

Bài 1.2 trang 100 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Các

điểm C, D, E cùng thuộc một cung AB sao cho sđ BC =1

6 sđ BA ; sđ BD =1

2 sđ BA ; sđ BE

=2

3 sđ BA

a) Đọc tên các góc ở tâm có số đo không lớn hơn o

180 b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên

c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 180 ) o

d) So sánh hai cung nhỏ AE và BC

Lời giải:

a)

Các góc ở tâm có số đo không quá 180 là: o

AOB, AOC, AOD, AOE, BOC, BOD, BOE, COD, COE, DOE b)

Ta có: AOB 180 o

AB 180

Ta có: sđBC 1

6

 AB = 1.180o 30o

BOC

BC30

Ta có: sđ BD =1

2 sđ BA =

1 180 90

BOD

BD90

Ta có: sđBE 2

3

 sđ BA =2 o o

BOE

BE 120 BOC COE BOE

COE BOE BOC 120 30 90

AOEBOEAOB

AOE AOB BOE 180 120 60

o

1 AOD BOD AOB 90

2

BOC COD BOD

COD BOD BOC 90 30 60

DOE COE COD 90 60 30

COABOC 180 AOC 180 BOC 180 30 150 c)

Các cung có số đo nhỏ hơn 180 bằng nhau: o

d)

AEAOE60

BCBOC30

sđ AE 2 sđ BC