094 đề hsg toán 8 yên dũng 2014 2015

phút một xe máy đi từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động.. 6 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AM BN CP cắt nhau tại H, , a Chứng minh rằng: AMC BNCvà CAB NMC 

UBND HUYỆN YÊN DŨNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN LỚP 8

Câu 1 (4 điểm) Cho biểu thức

:

A

1) Rút gọn A

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Câu 2 (5 điểm)

1) Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: x2  y2 12x 8y15 0

2) Chứng minh: Tổng lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp chia hết cho 9

3) Tìm đa thức H x có bậc 3 thỏa mãn:   H 1 H 2 H 3  và với mọi0

x luôn có H x  x f x.   24, trong đó f x là đa thức bậc 2. 

Câu 3 (4 điểm)

1) Giải phương trình: 3x 53 x 63 4x 113 0

2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Quãng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 80km Lúc 7 giờ 10.

phút một xe máy đi từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động Đi được

3 4 quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại 32 phút để sửa, rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 5km h Biết xe máy đến huyện Sơn Động lúc 10 giờ 30 phút cùng /

ngày Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ ?

Câu 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AM BN CP cắt nhau tại H, ,

a) Chứng minh rằng: AMC BNCvà CAB NMC 

b) Chứng minh rằng: Tia MA là tia phân giác của NMP

c) Gọi I là giao điểm của BN và MP Chứng minh . HN BI HI BN

Câu 5 (1 điểm)

Cho

A

Chứng minh rằng A 1

ĐÁP ÁN Câu 1.

1)

:

A

ĐKXĐ: x1;x 0;x2

2

2

:

4 1

A

x A

x





2)

 2

2

x

A



Mà

Dấu bằng xảy ra khi

 2 2

1

1

x

x x





Vậy GTLN của biểu thức A là 2, đạt được khi x 1

Câu 2.

1) Học sinh biến đổi về phương trình x y 10 x y 2 5

Do ,x y nguyên nên x y 10;x y  nguyên2

Mà 5 5.1 1.5  1 5  5 1 

Tìm được x y   ;    3; 6 ; 9; 2 ; 3; 2 ; 9; 6          

2) Gọi ba số là ,a a  và 1 a  (a nguyên dương)2

Ta có: a3 a13 a23 3a3 15a9a2 9

Xét 3a3 15a3a a 2 5

Nếu a3thì 3a2 15 9a khi đó a3 a13a2 9 (1)3

Nếu a không chia hết cho 3 thì a chia 3 dư 1 2  a2  5 3

2

   khi đó a3 a13 a2 9 (2)3

Từ (1) và (2) suy ra a3a13a2 93 với mọi a nguyên dương

3) Do đa thức ( )H x có bậc là 3 thỏa mãn : H 1 H 2 H 3 0

Nên H x  a x  1 x 2 x 3  H 0 6a

Lại có H x  x f x   24đúng với mọi x

Chọn x  ta có: 0 H 0 24

Nên 6 a24 a 4

Vậy H x  4.x 1 x 2 x 3

Câu 3.

1)Học sinh chứng minh được: Nếu a b c   thì 0 a3b3 c3 abc (*)

3x 5 x 5 11 4  x 0

5 3 6 11 4

x x x

















2) Gọi vận tốc xe máy đi trong

3

4 quãng đường đầu là x km h /  (x 5)

 vận tốc xe máy đi trong

1

4 quãng đường cuối là x 5(km h/ )

Ta có

3

4 quãng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 60km

Thời gian xe máy đi đến huyện Sơn Động (kể cả thời gian dừng là)

10 giờ 30 phút – 7 giờ 10 phút = 3 giờ 20 phút =

10

3 h

Theo bài ra ta có phương trình:

25

7









 



Thời gian xe máy đi đến lúc hỏng xe là : 60 : 30 2h

Vậy xe máy bị hỏng lúc 9 giờ 10 phút

Câu 4.

P

M

N A

a) Xét AMC và BNC có: góc C chung; M N 900

Xét ABC và MNC có:

CN CB ;C chung

   

b) Ta có: CAB NMC 

Chứng minh tương tự: CAB NMC 

Chỉ ra được: AMC AMB 900

c) Ta có: MH là đường phân giác trong của tam giác MNI

Mà MB MH nên MB là đường phân giác ngoài của tam giác MNI

(tính chất đường phân giác trong, ngoài tam giác)

Câu 5.

Ta có:

a b a b với mọi ,a b  Dấu bằng xảy ra khi a b0 

A

Ta có A có 2n  hạng tử1

Áp dụng BĐT trên với các cặp số đôi một khác nhau ta có:

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

n

