Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC a Tính độ dài đoạn thẳng BD theo a b Chứng minh IG/ /AC c Tính tỉ số diện tích của tứ giác EIGM và ABC.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN NGŨ HÀNH SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 8
Bài 1 (1,50 điểm)
a) Hãy viết biểu thức sau : 2
1
a
a a
thành hiệu hai bình phương
M
Chứng minh rằng M 1
Bài 2 (2,00 điểm)
a) Chứng minh rằng n3 28n chia hết cho 48với mọi n là số nguyên chẵn
b) Giải phương trình sau:
2 2
x x x
x x x
Bài 3 (2,50 điểm)
:
x P
x x x x x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P 1
c) Giải phương trình P 2
Bài 4 (1,00 điểm)
Cho a0;b và 0 a2 b2 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
Q
a b
Bài 5 (3,00 điểm)
Cho tam giác ABC có AB2 ;a AC 3 ;a BC 4 a Đường phân giác AD và
BE cắt nhau tại I Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD theo a
b) Chứng minh IG/ /AC
c) Tính tỉ số diện tích của tứ giác EIGM và ABC
Trang 2ĐÁP ÁN Bài 1.
1
1
a a
a a a a
a a
a a a a a a
b) 2 2 2 2
1
a
a a
a a
2
1
2013
M
M
Bài 2.
a) n2 ,k với k là số nguyên; n3 28n2k3 28 2 k 8k3 56k
2
k k k k
k k k k k k k
1 1
k k k là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 nên
8k k 1 k 1 48kchia hết cho 48
b) ĐKXĐ: x15;x1;x 6
2
2
3
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Thay x vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình3
Với x ta có:3
2 2
2 2
3
x
x x x
x x x tm
x x x x
Vậy
13
; 3 2
S
Bài 3.
a) ĐKXĐ: x0;x1
Trang 3
x x
P
x x x x x x x x
b)
P
Vì
2
x x x
Để
x x
x x
Vậy
0 1
1
x P
x
c)
2 2
2
P P
P
2
x x x
x
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 4.
10 5
a b ab
a b ab
a b ab
a b ab a b
Vậy
2
5 5
MinQ a b
Trang 4Bài 5.
K
H
G
M I
E
D
A
a)
BD DC
AB AC
BD DC BD DC BC a a
BD
AB AC AB AC AB AC a
b)
EA EC EA EC AC a
AB BC AB BC AB BC a
1
EA a EC a
IE EA a
IB AB a
G là trọng tâm
1 2
GM ABC
GB
1
/ / 2
GM IE
IG EM
GB IB (ta let đảo ) IG/ /AC
c)
2
BIG
BEM
S
S
Trang 5Tính
BEM BIG BIG BEM ABC ABC BEM ABC
S a S S S
EM a
S a S S S
6 27 54
EIGM BEM AIG
ABC ABC
S S S
S S