Phương pháp quy nạp toán học

Theo nguyên lý quy nạp thì * đúng.

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài toán: Cần chứng minh một khẳng định đúng A n  với  n N n a,  (*)

Cách 1:

- Bước 1: Chứng minh (*) đúng với n a

- Bước 2: Giả sử (*) đúng với (đến) n k , tức là A k  đúng (giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n k 1, tức là chứng minh A k  1 đúng

- Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp (*) được chứng minh

Cách 2:

- Bước 1: Kiểm tra với n a

- Bước 2: Giả sử (*) đúng với (đến) n tức là A n  đúng

- Bước 3: Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n 1 tức là A n  1 đúng

- Bước 4: Kết luận

Bài 1: Chứng minh rằng:

1 2

2

n n

Lời giải

a Với n  0 20  0 đúng

- Giả sử đúng với n k , tức là 2k k

- Đi chứng minh đúng với n k 1, tức là 2k1k1 (**)

Thật vậy VT(**) 2 k1 2 2 2k  k 2k k 1 đpcm

b +)

:1 2

2

k k

n k   k  

+)

2

K

đpcm

Bài 2: Chứng minh rằng  n Z

a 2n3n  5 6n b 16n10n 1 25

Lời giải

a n  1 0 6  đúng

- Giả sử đúng với n k , tức là 2k 3k  5 6k

- Ta chứng minh đúng với n k 1

Thật vậy

3, 2( ) 6

so le

 





  

    

b n  1 25 25  đúng

- Giả sử đúng với n k , tức là 16k 10k 1 25

- Ta chứng minh đúng với n k 1

Thật vậy 16k110(k1) 1 16(16  k 10k 1) 16.10 k 16 10( k1) 1

25 25





   

    

đpcm

Bài 3:

Chứng minh rằng 132333 n 3  (1 2 n)2 n N*

Lời giải

+) n  1 13 12 đúng

+) n  2 1323 (1 2)2  9 đúng

Giả sử (*) đúng với n k 1, tức là

2

2

k k

Ta đi chứng minh (*) đúng với n k 1, tức là

2

2

Thật vậy :

VT     k        k  k    

Vậy (*) được chứng minh

Bài 4:

Chứng minh rằng 32n3 24n37 64,  n N

Lời giải

+) n  0 33 24.0 27 37 37 64 64      đúng

+) Giải sử (*) đúng với n, tức là A 32n3 24n 37 64

+) Ta chứng minh (*) đúng với n 1, tức là B32n5 24(n1) 37 64 







  

Theo nguyên lý quy nạp thì (*) được chứng minh

Bài 5:

Chứng minh rằng 23n 1 3 ; / 3n1  n2 n N(*)

Lời giải

+) n 0, ta có 230  1 3 3; / 9   đúng

Giả sử (*) đúng với n, tức là 23n  1 3 (n1q q N q , / 3)

Ta đi chứng minh (*) đúng với n 1, tức là

1

2n 1 3 ; / 3n n

Thật vậy:

1

3 3n q n q 3.3 n q 3 3 (3n q n.q 3 n q 1) 3 , / 3n n

Vậy (*) được chứng minh.

Bài 6:

Chứng minh rằng  n 1,n N :1.212.223.23 n.2n  2 (n 1).2n1

Lời giải

+) Với n 1, ta được 1.21 2 (1 1).2 1 1 

+) Xét n k k  1 , tức là 1.212.223.23 k.2n k  2 (k 1).2k1

Ta chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, tức là:

1 1

2 ( 1).2 ( 1).2

        

(đpcm)

Bài 7:

Chứng minh rằng

6

Lời giải

- Với n 1, ta có

2

1.(1 1)(2.1 1)

6

đúng Giả sử (*) đúng với n k , tức là

6

Ta cần chứng minh (*) đúng với n k 1, tức là:

6

Theo giả thiết quy nạp, ta có:

2 2

Theo nguyên lý quy nạp ta có (*) đúng với  n N*

Bài 8:

n



Lời giải

Giả sử đúng với n k (k 1), tức là 2

k

k k S

k k





 

Ta đi chứng minh với n k 1, tức là

1

Có: 2

1

k

k k

S

 

        

Bài 9:

Chứng minh rằng

n N

Lời giải

+) Với

+) Với

k

k k



+) Chứng minh đúng với n k 1

2 1



2

Cần phân tích: (3k27 )(k k 3) 2( k5) ( k1) 3(2 k1) 7 

Bài 10:

Chứng minh rằng:

2 !n

n

n



Lời giải

(2.0 1)!

2 0!

(đúng)

+) 1

(đúng) +)

2 !k

k

k



Cần chứng minh đúng với n k 1, tức là

2 !k

k

k



1 1

S

Bài 11:

Chứng minh rằng

n n   n    

Lời giải

+) Với n 2, ta có

(*)

+) Giả sử (*) đúng với n k , tức là

k k   k 

Ta chứng minh (*) đúng với n k 1, tức là

k k   k  k  k 

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có

(**)

VT

Theo nguyên lý quy nạp  (*) được chứng minh

- Hoặc

12 k1 2 k1 2 k2

Có

2k1 2 k2  2k1 2 k2  2k2 k1 12 k1k1 12

Bài 12:

Cho

*

n

a b c CMR      n N

Lời giải

+) n 1, ta có:

(*)

a b a b

đúng

+) n 2, ta có

a b a b a b

đúng

n

a b a b 

Ta đi chứng minh (*) đúng với n 1, tức là

1

Ta đi chứng minh

n

do

2(a n b n) (a n b n)(a b) 0 2a n 2b n a n a b ab n n b n 0

đúng Theo nguyên lý quy nạp thì (*) đúng.

Bài 13:

Chứng minh rằng n n1 (n1)n n 3

Lời giải

+) n  3 34 43 (đúng)

+) Giả sử đúng với n k , tức là k k1(k1) (k k 3)

+) Cần chứng minh đúng với n k 1, tức là (k1)k2 (k2)k1

Ta có

1

k k



1

( 1)



BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 11: Chứng minh rằng:

a 1.2 2.5 3.8    n n(3 1)n n2( 1)(n N *)(*)

b

1

2

c

2

3

n n

d

*

2

n n

Lời giải

a) n  1 đúng

+) n k , tức là 1.2 2.5 3.8    k k(3  1)k k2( 1)

+) Đi chứng minh n k 1, tức là

1.2 2.5 3.8    k k(3  1) ( k1) 3(k1) 1 (k1) (k2) (**)

b) n  1 đúng

+)

1

1

2

+) Chứng minh đúng với n k 1, thật vậy

c) n  1 đúng

+)

2

3

k k

+)

2

dpcm

d) n  1 đúng

+)

2

k k

+)

2

2

3 5 2 ( 1)(3 2)

k  k k k

Bài 2: Chứng minh rằng:

a 1.4 2.7   n n(3 1)n n( 1) (2 n N *)

b

3

c

3

Lời giải

a) n  1 đúng

+) n k  1.4 2.7   k k(3 1)k k( 1)2

+) n k  1 VT k k( 1)2(k1)(3k4) ( k1) (k k1) (3 k4)

b) n  2 đúng

+)

3

n k    k k     k 

+)

3

k k k



c) n  1 đúng

+)

3

+)

2 2

2( 1)( 2)(2 3)

3

k k k



Bài 3:

Chứng minh rằng  n N*, ta có

a n32n chia hết cho 3 b n3(n1)3(n2) 93

c n311 6,n n N * d 2n3 3n2 n 6

e 4n15n 1 9 f 32 1n 2n27

g n33n25 3n

Lời giải

a) n  1 đúng

+) n k  k32 3k

+)

b) n  1 đúng

+) n k  k3(k1)3(k2) 9(3 kN*)

+) n k  1 VT (k1)3(k2) (3 k3) 9 (3  k1)3(k2)3k39k227k27

9 9





    

         

c) n  1 đúng

+) n k  k311 6,k kN*

+) n k  1 VT (k1)311(k1)k33k23k 1 11k11 ( k311 ) 3(k  k2 k 4)

3

d) n  1 đúng

+) n k  2k3 3k2 k 6

+) n k  1 VT 2(k1)3 3(k1)2(k1) 2( k33k23k1) 3( k22k1) ( k1)

e) n  1 đúng

+) n k  4k 15k 1 9( kN*)

+) n k  1 VT 4k115(k1) 1 4.4  k 15k14 (4 k 15k 1) 3(4 k 5)

(4 15k k 1) 9 4k 15k 1 3(4k 5) (15 k 6) 3 (4k 5) 3



  

đpcm f) n  1 đúng

+) n k  32k12k27 k N*

+)

7 7





  

     g) n  1 đúng

+) n k  k33k25 3k

+) n k  1 VT (k1)33(k1)25(k1)k36k214k9

Ta có

3 3

(k 6k 14k9) ( k 3k 5 ) 3k  k 9k 9 k 6k 14k9 3







    

     

(đpcm)

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau

a 2n2 2n5(n N *) b 2n 2n1(n N n *, 3)

c 3n n24n5(n N n *, 3) d 2n3 3n 1(n8)

e 3n1 n n( 2)(n4)

Lời giải

a) 2n2 2n 5 S n 2n2 2n 5 0

+) n  1 đúng

k



b 2n 2n 1 S n 2n 2n 1 0( n N n *, 3)

+) n  3 đúng

+) n k  S k 2k  2k 1 0

k



c) 3n n24n 5 S n 3n n2 4n 5 0

+) n  3 đúng

+) n k  S k 3k  k2 4k 5 0

k

d 2n3 3n 1 S n 2n3 3n 1 0, n N n*, 8

+) n  8 đúng

3

k

k

e 3n1 n n( 2) S n 3n1 n2 2n 0

+) n  4 đúng

+) n k  S k 0

k

S  S