Một số sai lầm thường gặp và biện pháp khắc phục khó khăn khi vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải toán cho học sinh lớp 11

Đặc biệt trong chương trình toán lớp 11,phương pháp quy nạp toán học được áp dụng để chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức;tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng , cấp số nhân; ứng dụng tro

`MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận 3

2.1.1 Khái quát chung về quy nạp 3

2.1.2 Nguyên lí quy nạp 6

2.1.3 Giai đoạn quy nạp và giả thiết qui nạp 7

2.1.4 Phương pháp quy nạp toán học trên N* 9

2.2 Thực trạng của vấn đề 9

2.2.1 Không thực hiện đầy đủ hai bước qui nạp 9

2.2.2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp 10

2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp 11

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 11

2.3.1 Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức 12

2.3.2 Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức 14

2.3.3 Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết 14

2.3.4 Một vài ứng dụng khác 15

2.4 Hiệu quả của SKKN 18

3 KẾT LUẬN………

Tài liệu tham khảo 20 21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài : Toán học là một môn khoa học suy diễn Các kết luận Toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ Nhưng trong quá trình hình thành, trước khi có những kết luận mang tính tổng quát, toán học cũng đã phải tiến hành xét các trường hợp cụ thể, riêng biệt Ta phải đối chiếu các quan sát được, suy ra các điều tương tự, phải thử đi thử lại,

để từ đó dự đoán về một định lý toán học, trước khi chứng minh chúng Bên cạnh đó, taphải dự đoán ra ý của phép chứng minh trước khi đi vào chứng minh chi tiết

Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp đặc biệt, rất hiệu lực và là công cụhữu hiệu để chứng minh các mệnh đề có liên quan đến một số tự nhiên n  N* Sự pháthuy hiệu lực của nó thể hiện rõ nét ở các bài toán liên quan đến dãy số (hay nói chung làcác bài toán liên quan đến một số tự nhiên) Đặc biệt trong chương trình toán lớp 11,phương pháp quy nạp toán học được áp dụng để chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức;tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng , cấp số nhân; ứng dụng trong hình học; đối vớinhiều bài toán chia hết phương pháp qui nạp cũng cho ta cách giải hữu hiệu

Tuy nhiên, thực tế trong quá trình giảng dạy toán 11 đặc biệt là bài “Phương pháp quynạp toán học” tôi thấy trong quá trình vận dụng học sinh thực sự lúng túng và mơ hồ và

có thể còn mắc sai lầm khi thực hiện các bước chứng minh bằng phương pháp qui nạpthậm chí còn không kiểm tra bước 1 Với bài toán chứng minh đẳng thức học sinh khôngbiết phân biệt đâu là giả thiết quy nạp, đâu là kết luận và trong quá trình chứng minh thìhầu như các em không biết bắt đầu từ đâu, làm thế nào để vận dụng được giả thiết quinạp Còn ở bài toán chứng minh bất đẳng thức và chứng minh chia hết càng gặp nhiềukhó khăn hơn, khi đã viết được giả thiết qui nạp học sinh không biết làm cách nào để thấyđược mối liên quan với kết luận Trong chương trình toán lớp 11 còn có một dạng toán đó

là tìm số hạng tổng quát của dãy số, cấp số cộng , cấp số nhân bắt buộc học sinh phải dựđoán công thức tổng quát rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp, đây là dạng toánkhó đòi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp quy nạp toán học và được rèn kĩ năngchứng minh nhiều hơn mới có thể giải được bài toán này một cách thành thạo

Ngoài ra có vô số các ví dụ trong các môn học ở chương trình phổ thông dùng phươngpháp quy nạp để diễn giải và mô tả Nhưng để hiểu thấu đáo về kĩ thuật áp dụng trong họctập, sáng tạo còn gặp nhiều khó khăn

Hơn nữa, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 họcsinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết phương pháp quy nạp ở mức độ nhất định; chưahiểu sâu về nguyên lí quy nạp; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng giải toán bằngphương pháp quy nạp Chính vì vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm về “phương pháp quynạp toán học” với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn vể phương pháp này và được

rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài

sáng kiến kinh nghiệm: “Một số sai lầm thường gặp và biện pháp khắc phục khó khăn

khi vận dụng Phương pháp quy nạp toán học vào giải toán cho học sinh lớp 11”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi , tập hợp các bài giảnglại tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích:

- Cung cấp một số kiến thức cơ bản về phép quy nạp và nguyên lý quy nạp toán học

- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp khi vận dụng phương pháp quy nạp toán học

- Cung cấp thêm một số dạng toán và cách giải qua đó củng cố và mở rộng thêm cáckiến thức đã học

- Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo và gây hứng thú học toán cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là học sinh lớp 11 trường PTNguyễn Mộng Tuân

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

2.1.1 Khái quát chung về quy nạp:

Danh từ “quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó được dùng để chỉ các quy luật nhờ

đó mà thu được các kết luận tổng quát, dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt

a) Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng trường

hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có

98 = 93+5

100 = 97+3Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rằng, thực tế mỗi số chẵntrong khoảng xét được biểu diễn duới dạng tổng của 2 số nguyên tố

b) Quy nạp không hoàn toàn:

Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa trên sự kiểm tra tất cả cáctrường hợp có thể xảy ra mà chỉ trên cơ sở một số đủ lớn các trường hợp thì ta có quy nạpkhông hoàn toàn

Quy nạp không hoàn toàn được vận dụng nhiều trong các khoa học thực nghiệm.Chẳng hạn bằng cách đó người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn khối lượng:định luật này được Lômônôxôp phát biểu và chỉ được thừa nhận khi Lavoadiê đã kiểm tra

sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ lớn và trong các điều kiện đủ khác nhau

Trong toán học, quy nạp không hoàn toàn không được xem là một phương phápchứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ được áp dụng rất hạn chế Bởi vì một mệnh đề toánhọc bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng con người ta không thể tiến hànhkiểm tra một số vô hạn các trường hợp được.Chẳng hạn

sau khi có kết quả đúng với 49 trường hợp như ở ví dụ 1, ta chưa thể đưa ra kết luận rằng,mọi số tự nhiên chẵn đều có thể phân tích được thành tổng của hai số nguyên tố

Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn là một phương pháp “gợi mở” rất hiệu lực

để tìm ra chân lý mới Chúng ta hãy tham khảo một vài ví dụ

Ví dụ 2 Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên.

Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:

+ với n=1 : 1=1 mà 1 12+ với n=2 : 1+3=4 mà 4 22+ với n=3 : 1+3+5=9 mà 9  3 2+ với n=4 : 1+3+5+7=16 mà 16  4 2+ với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà 25  5 2Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta nảy ra kết luận tổng quát :

1+3+5+7+9+ +(2n-1) =n2 (1)

tức là : “ tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng n2 ”

Việc chứng minh kết luận này một cách chặt chẽ (xem ví dụ 6) đã chứng tỏ kếtluận này là đúng

Ví dụ 3: Tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:

3 3

1 3 3

2   

36 3 2

1 3 3 3

3 3 3 3

4  1  2  3  4

Do đó có thể nảy ra kết luận tổng quát :

2 )

3 2 1

S n      (2)Tất nhiên, điều nhận xét trên không phải là sự chứng minh sự đúng đắn của cáccông thức (1) hay (2) ở phần sau, chúng ta sẽ làm quen với một phương pháp giúp chúng

ta chứng minh được các công thức (1) và (2) là đúng

Chúng ta cũng cần chú ý rằng, suy luận bằng quy nạp đôi khi dẫn đến kết luận sai,như các ví dụ sau:

S do đó S16 không phải là số nguyên

tố, tức là kết luận quy nạp S n là số nguyên tố với mọi số n  N* là sai

c) Phương pháp quy nạp toán học

Như vậy, quy nạp không hoàn toàn là một trong những con đường để dẫn đến phát

minh: người ta nghiên cứu một số hữu hạn các trường hợp riêng để tìm ra quy luật tổngquát Thế nhưng, như ta đã biết, quy nạp không hoàn toàn thường dẫn đến các kết quả sai

Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng đắn,

chẳng lẽ ta lại cứ thử tiếp, thử tiếp cho đến khi nào gặp một trường hợp riêng mà kết luận

đó không đúng ( như ở ví dụ 6: thử đến lần thứ 16 ) Và lấy gì để đảm bảo rằng số lần thử

là hữu hạn

Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế ta áp dụng một phươngpháp suy luận đặc biệt được gọi là “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay thếnhững hình dung tìm tòi theo phương pháp quy nạp không hoàn toàn bằng sự chứng minhchặt chẽ

Ví dụ 6 : Xét lại công thức (1) ở ví dụ 2.

2 ) 1 2 (

5 3

S n       Giả sử ta đã chứng minh được công thức đó với n =7, khi chứng minh công thứcnày với n = 8, ta không cần phải tính tổng của 7 số hạng đầu của tổng :

15 13 11 9 7 5 3 1

1

' S  S  k 

k  2k 1  (k 1 )  (n )

Có thể sử dụng phương pháp tổng quát này sau khi đã xét 2

1  1  1

S ; những việcchuyển từ các đẳng thức khác :

S ; v v là các trường hợp riêng của phép tính

Khái quát những điều nói trên, chúng ta phát biểu quy tắc tổng quát như sau:

Để chứng minh một mệnh đề tổng quát nào đó đúng với đúng với mọi số n  N*, tachỉ cần:

a) Xác lập mệnh đề đúng với n =1 b) Chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng với n = k ( k  N*) thì

mệnh đề đúng với n = k+1

Tính hợp pháp của phương pháp chứng minh như thế là “hiển nhiên” Nhưng sự

“hiển nhiên” đó không phải là một chứng minh chặt chẽ Người ta đã chứng minh đượcrằng mệnh đề tổng quát ở trên có thể được chứng minh xuất phát từ một số mệnh đề tổngquát khác, được thừa nhận là tiên đề Tuy nhiên, bản thân các tiên đề này cũng không rõràng hơn các nguyên lý quy nạp mà chúng ta sẽ trình bày dưới đây, và do đó chúng ta coinguyên lý quy nạp toán học này chính là tiên đề thì mức độ “ hợp pháp ” cũng ngang nhưthế

2.1.3 Giai đoạn qui nạp và giả thiết qui nạp

Để hiểu cách áp dụng phương pháp qui nạp cho đầy đủ, ta xem xét một số ví dụ sau đâynhư một phép « suy luận có lí » mà G Polya đã đề cập

1.2  2.3 k.(k + 1) = k

k + 1Với n = k + 1 ta cần cm : 1 1 + + 1 1

1.2  2.3 n.(n + 1) = n

n + 1 , đúng với mọi nN*

Ví dụ 8 : Cho trước một số tự nhiên n Hãy tìm tổng các số tự nhiên 1, 2, , n

Lời giải :

Ta kí hiệu Sn là tổng phải tìm, nghĩa là Sn    1 2  n (3)

Ta hi vọng tìm ra công thức ngắn gọn để tính tổng trên, công thức đó giúp ta tính nhanh,gọn hơn là phải thực hiện lần lượt các phép cộng trong tổng Ta minh hoạ quá trình ápdụng nguyên lí qui nạp vào tính tổng này

Ta tính tổng Sn từ đẳng thức (3) với một vài số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn bắt đầu

bằng 1 Những kết quả tính toán các trường hợp riêng được xếp vào bảng

1.2=2.1 ; 2.3=2.3 ; 3.4=2.6 ;4.5=2.10 ; 5.6=2.15 Như vậy giai đoạn qui nạp của chúng ta

đã thành công với các trường hợp n= 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; tiếp tục một cách tự nhiên là mởrộng qui luật trên cho bảng số với các số tự nhiên bất kì Ta đưa giả thiết thích hợp với quiluật vừa tìm được Đặt

Một giả thiết ta đã làm như vậy gọi là giả thiết quy nạp Nhưng câu hỏi đặt ra là đẳng

thức (3) có đúng với mọi n = 1, 2, hay không ? Rõ ràng nếu (3) đúng với mọi số tựnhiên thì bằng cách thay n bằng n+1 ta sẽ có đẳng thức

1) nó đúng với n= 1 và

2) nó đúng với mỗi số k suy ra cũng đúng với cả k+1

Điều này không có cách nào khác là phải áp dụng nguyên lí quy nạp toán học Nghĩa là taphải kiểm tra những điều kiện a) và b) của định lí 2.1

Bước cơ sở : Với n = 1, công thức (3) đúng

Bước qui nạp :Bây giờ chúng ta chứng minh công thức (3) đúng cho cả điều kiện b)

Với mục đích đó ta giả thiết công thức (3) đúng với n k 1

nào đó và sẽ chứng minh nó cũng đúng với n k 1.ta biến đổi

2.1.4 Phương pháp qui nạp toán học trên N*

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  N*là đúng với

mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau :

 Bước 1 : Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

 Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n k 1(gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1

 Khẳng định mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  N*

*) Chú ý :

Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p (p là

số tự nhiên) thì :

 Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với np

 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì

n k p và chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1

2.2 Thực trạng của vấn đề

Bài toán chứng minh bằng phương pháp qui nạp là dạng khó và trừu tượng đối với học sinh trong chương trình toán lớp 11 THPT, hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng minh quy nạp, tôi đã nghiên cứu chỉ ra một số sai lầm, khó khăn khi vận dụng phương pháp quy nạptoán học

2.2.1 Không thực hiện đầy đủ hai bước qui nạp

Trong quá trình vận dụng qui nạp đôi khi học sinh chưa hiểu kĩ về nguyên lí qui nạp,

hoặc có thể cho là bước 1 đơn giản nên có thể bỏ qua, dẫn đến kết luận sai lầm Đối vớihọc sinh phương pháp qui nạp là mới và khó khi vận dụng vào giải nhiều loại toán, tuynhiên trong chương trình của cấp học tôi chỉ đưa ra một số ví dụ cho thấy rõ những sailầm mắc phải như đã trình bày ở trên

Ví dụ 9: Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau

nhưng bỏ qua bước 1 kiểm tra n =1

Ví dụ 10 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng

 (*) với mọi nN* Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (7) và (*) ta nhậnđược

2k 2k 2k  1 2

Nghĩa là 2k 1 2( k 1) 1

Bài toán đã giải xong

Tuy nhiên ví dụ này cũng mắc sai lầm như ví dụ trước không qua bước cơ sở

2.2 2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp

Một thực trạng nữa cho thấy học sinh rất lúng túng trong việc vận dụng giả thiết quynạp

chỉ viết 2 5 8 3      k  1 1   , nên khi chứng minh gặp khó khăn, không thấy được

sự hơn kém giữa vế trái của đẳng thức giả thiết và vế trái của đẳng thức kết luận vì họcsinh viết thiếu số hạng thứ k là (3k  1)

2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp

Ngoài ra khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp qui nạp học sinh cũng gặpnhiều khó khăn khi tìm ra mối liên quan giữa hai bất đẳng thức giả thiết và kết luận

Ví dụ 12 : Chứng minh với mọi số tự nhiên n 2, ta có bất đẳng thức :

   học sinh không biết tìm ra mối liên quan giữa giả thiết và kết luận

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Trong chương trình toán phổ thông, áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp

chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do vậy phương pháp chứng minh quy nạp” góp một phần vào việc thực hiện chương trình dạy học theo phương pháp mới hiện nay “lấy học sinh làm trung tâm” Đồngthời giúp mỗi người giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo cơ sở vững chắc để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt, góp phần vào mục

tiêu “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài” Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng

minh quy nạp, tôi đã nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị cho học sinh nắm được thế nào là phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Đồng thời nêu lên một số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu và nắm chắc kiến thức, biết

áp dụng vào giải toán Từ đó yêu cầu học sinh giải các bài tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh được rèn luyện và nắm chắc kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo và chất lượng giải toán được nâng cao

2.3.1 Vận dụng quy nạp chứng minh đẳng thức

Chứng minh đẳng thức : u 1 + u 2 + + u n = f(n)      , đúng với mọi n  N*

Học sinh thường lúng túng khi thiết lập u 1 + u 2 + + u n      ứng với n = 1 , n = k ,

n =k+1

Trước tiên học sinh phải hiểu tổng n số hạng u 1 + u 2 + + u n      là như thế nào Hướng dẫn cho học sinh hiểu và thực hiện như sau : VT = u 1 + u 2 + + u n      là tổng của n số hạng ,với:

+ n = 1 : VT chỉ có 1 số hạng là u(1)