Toan 9 doan hung (17 18)

vụ số nghiệm Cõu 9.. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.. Một tam giỏc cõn cú chiều cao ứng với cạnh đỏy bằng 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bờn bằng 12 cmA. Tam giỏc cõn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 03 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 8,0 điểm (Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi.

Câu 1: Cho x  3 4 5 1    3 4 5 1   Giá trị của biểu thức P x  3  12x 2017  là:

C P = – 2009; D P = 2017

Câu 2: Cho biểu thức P x 1 xy x 1 : 1 xy x x 1 xy

xy

Giả sử biểu thức P có nghĩa, kết quả rút gọn biểu thức P là:

A P = 0; B P  xy 1  ;

C P 1

xy

Câu 3: Đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 và song

song với đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ và A 3;1 Khi đó:

3

3

Câu 4: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(6;2) và vuông góc với đường thẳng

y = -1

3 x + 1 là:

A y = -3x +20 B y = 3x -16

C y = 1

3 x + 1

Câu 5: Điều kiện của tham số m để hệ phương trình (m 1)x y 22mx 3y 5 

nhất (x; y) thỏa mãn x > 0 và y > 0 là:

Câu 6: Hàm số y  2017 2018 x   2 đạt giá trị lớn nhất bằng:

Cõu 7: Giỏ trị của m đờ̉ phương trỡnh x2 2mx m 34m2 2m 6 0  cú nghiệm kộp là:

Cõu 8: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ phương trỡnh

1 nghiệm; B 2 nghiệm; C vụ nghiệm; D vụ số nghiệm

Cõu 9 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, phõn giỏc AD D BC  , cú AB = 10cm, AC

= 15cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E Độ dài đoạn thẳng

CE là:

Cõu 10 Tam giác ABC có B = 2C; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC?

A 9 cm B 20cm

C 36cm D 6cm

Cõu 11 Một tam giỏc cõn cú chiều cao ứng với cạnh đỏy bằng 10 cm, chiều cao

ứng với cạnh bờn bằng 12 cm Tam giỏc cõn đú cú diện tích là

A 60 cm2 B.120 cm 2

C 75cm 2 D.57cm2

Cõu 12 Cho tam giỏc ABC cú (A 90 0), AH vuụng gúc với cạnh huyền BC(HBC)

cú sinB = 0,6 Kết quả nào sau đõy là sai

A cosC = AH

AC B cosC = sinHAC

C cosC = 0,6 D cosC = CH

AC

Cõu 13: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cú BAC 45   0và AB = 2018cm Khi đú độ dài đoạn thẳng BC là:

Cõu 14: Tứ giỏc ABCD cú A C   90 ; 0 B  90 ; 0 D 90 0 Nhận xột nào sau đõy đúng:

A Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABD khụng đi qua điờ̉m C

B Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC đi qua điờ̉m D

C Bốn điờ̉m A; B; C; D cựng thuộc một đường trũn cú tõm là trung điờ̉m

của BD

D Bốn điờ̉m A; B; C; D cựng thuộc một đường trũn cú tõm là trung điờ̉m

của AC

Câu 15: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm Gọi M là một điểm bất

kỳ thuộc nửa đường tròn, qua M kẻ tiếp tuyến xy Gọi D và C lần lượt là hình chiếu của A, B trên xy Diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD là:

A 50cm2; B 100cm2; C 25cm2; D Kết quả khác

Câu 16: Có 108 người đăng kí tham gia học tiếng Anh, Pháp, Nhật, biết số người học

tiếng Nhật bằng 1

2 số người học tiếng Pháp; số người học tiếng Pháp bằng 1

3 số người học tiếng Anh Số người học tiếng Anh là:

A 54 B 72 C 36 D Đáp án khác

II PHẦN TỰ LUẬN: 12,0 điểm

Câu 1: (2,0 điểm)

a Cho n là số tự nhiên không chia hết cho 3 Chứng minh rằng: 32n 3n 1

chia hết cho 13

b Cho a là nghiệm dương của phương trình x 4 7x 2 1 0





 Tính giá trị biểu

3

a

1 a

Câu 2(3,0 điểm)

Giải phương trình:

2

a

b x  x  x  x  x

Câu 3(5,0 điểm)

1 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Ph©n gi¸c gãc trong kÎ tõ A c¾t BC tại D Chøng minh r»ng: 2 1 1

AD AB AC

2 Cho đường tròn (O; R) Gọi B và C là hai điểm cố định trên đường tròn sao

BOC 120  , điểm M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (M không trùng B

và C) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tổng 1 1

MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó?

Câu 4(2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

b (c+2a) c (a+2b) a (b+2c)

Hết

Ghi chú:Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh:…………

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN: TOÁN

I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 8,0 điểm ( Mỗi câu đúng được 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN: 12,0 điểm

Câu 1: ( 2,0 điểm )

a Cho n là số tự nhiên không chia hết cho 3 Chứng minh rằng: 32n 3n 1

chia hết cho 13

b Cho a là nghiệm dương của phương trình x 4 7x 2 1 0







Tính giá trị biểu thức 3

3

a

1 a

a Đ t P = ặt P = 32n 3n 1

Theo GT vì n không chia hết cho 3  n3k1 ho c ặt P = n3k 2

0,25 Với n3k1thì P = 32(3k1) 33k1 1

Vì 27 chia 13 dư 1 27 & 272k k

 P = 9.272k + 3 27k + 1 chia hết cho 13

Với n3k 2 hoàn toàn tương tự ta có P chia hết cho 13

V y: với n là số tự nhiên không chia hết cho 3 Ta có P = 32n 3n 1

chia hết cho 13

0,25

0,25 0,25 0,25





3 a

1 a 9 a

1 a 7 a

1 a 0

1

7a

a

2 2

2 2

4





































3

3

a

1

a

3

































a

a a

a

0,5

0,25

Câu 2(3,0 điểm)

Giải phương trình

2

5 50

a

 

a Điều ki n ện x 0; x 5; x -10 ta có 0,25

x = 0 không là nghiệm chia 2 vế cho x2 đặt 30

3

x

   ta có phương

6

y

y





 Với y = -8 ta có

2

x

Với y = 6 ta có:

2

x

Phương trình đã cho có 4 nghi m ện

;

b ĐK: x 151

Đặt a x2 4x9;b 15x1 (a0;b0)

Phương trình trở thành

a  b  a b  (a b a b )(   10) 0 

 a b  0 a b ( Vì a+b+10 > 0 do a,b > 0 )

 x24x 9 15x1

 x1  1;x2  10

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25

Câu 3 (5,0 điểm)

1.Cho tam giác ABC vuông tại A.Phân giác góc trong kẻ từ A cắt BC tại D Chứng minh rằng: 2 1 1

AD AB AC

2 Cho đường tròn (O; R) Gọi B và C là hai điểm cố định trên đường tròn sao cho BOC 120   0, điểm M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (M không trùng B

và C) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tổng 1 1

MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

A

1

Ta có 2.SABC= AB.AC = 2(SABD+SACD)

= 2(1

2AB.AD.Sin450 + 1

2AD.AC.Sin450)  AB.AC = AD.Sin450(AB+AC) = 2

2 AD(AB+AC)

AB AC



1

1

I O

C M

B

A

2

Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC  AB AC   AB AC (1) 

2

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều

Lấy I trên đoạn AM sao cho MB = MI (3)

Ta có BMI BAC 60     0 Suy ra tam giác BMI đều

Từ đó dễ có IBA MBC  ( cùng cộng với góc IBC bằng 600)

Vậy  IBA  MBC(g.c.g)  IA MC (4)

Từ (3) và (4) suy ra BM + MC = MI + IA = MA

Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có :

(Do MA 2R)





min

Dấu bằng xảy ra khi MB = MC hay M là điểm chính giữa của cung nhỏ

BC

0,25 0,25 0,25 0,25

0,5

0,5

0,25

0,5 0,25

0,5 0,5

0,5 0,5

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

b (c+2a) c (a+2b) a (b+2c)

Áp dụng BĐT CôSi cho 3 số dương ta có

3

Tương tự

c a b  b c a b c  c a

Từ (1) ; (2); (3) ta có:

3

Dấu “=” xảy ra khi

4

3

4

3

4

3

2 1

0

2 1

0

a b c

a b c









   











  



0,5

0,5

0,5

0,5