Cđ 2 bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC1.

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1 Định nghĩa:

- Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức (BĐT)

- Các mệnh đề: “ A B ” hoặc “ A B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:

- Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D

- Nếu BĐT A > B là hệ quả của BĐT C > D và C > D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A > B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A > B <=> C > D

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Bài 2: CMR : với mọi x, y, z thì x2y2z2 2xy2yz 2zx

HD:

Xét hiệu ta có: x2y2z2 2xy 2yz2zx 0 x y z  20

Dấu bằng xảy ra khi x + z = y

Bài 3: CMR : với mọi x, y, z thì x2y2z2 3 2x y z  

HD:

Xét hiệu ta có: x12y12z12 , Dấu bằng khi x = y = z = 10

Bài 4: CMR : với mọi a, b ta có :

a 2b2a 2c2a 2d2a 2e20

Dấu bằng xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e

3

Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > 0 CMR:

Ta có: x4y4 z4 1 2x y2 22x2 2xz 2x0

x4y4 2x y2 2  x2 2xz z 2  x2 2x10

x2 y22x z 2x12 0

, Dấu bằng khi x = z = 1, y = 1Bài 21: CMR : a2b2c2 ab bc ca 

Ta có: x4 4x24  4x2 4x10

x2 222x12 0Không xảy ra dấu bằng

Bài 36: CMR:

02

 , Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:

HD:

Bài 62: Cho a, b dương có tổng 1, CMR :

Nếu a < b => a3 b a3, 5b5 => ĐPCM

13

Giả sử a b c  => Các ngoặc đều dương => ĐPCM

Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : a b a   3b32a4b4

Vậy 1 a b a 2  3b3, Chứng minh tương tự => ĐPCM

Do vậy x3y3 2

Dấu bằng xảy ra khi: x y 1

19

Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x2y2 xy x y   1

Bài 21: Cho a, b, c thỏa mãn: a2b2c2  , CMR: 3 ab bc ca a b c     6

25

Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:

Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2

a b c

 

 Bài 2: Cho a, b, c > 0, CMR: 1 2

Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c chu vi là 2p, CMR:      

Nhân theo vế ta được : abc8p a p b p c       

29

Bài 11: CMR: Nếu a, b, c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì:

Bài 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a4b4 c42a b2 2b c2 2c a2 2

b c c a   a b và

c a a b   b cBài 20: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a,b,c với 1,

Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR : ab bc ca a   2b2c22ab bc ca  

HD :

Ta chứng minh : a2b2c2 ab bc ca 

31

Chuyển vế ta được : a2b2c2 ab bc ca   0 a b 2b c 2c a 2 0

Ta chứng minh : a2b2c2 2ab bc ca  

Ta có :

2 2 2

Bài 23: Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, CMR: a2b2c22abc2