CĐ 5 bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC1.

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1 Định nghĩa:

- Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức (BĐT)

- Các mệnh đề: “ A B ” hoặc “ A B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:

- Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT

hệ quả của BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D

- Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì

ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B <=> C>D

Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A2 0

Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z2 xy yz zx 

HD:

Xét hiệu ta có:2x2y2z2 xy yz zx    0 x y 2y z 2z x 2 0Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z2 2xy2yz 2zx

HD:

Xét hiệu ta có:x2y2z2 2xy 2yz2zx 0 x y z  2 0

Dấu bằng xảy ra khi x+z=y

Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z2 3 2x y z  

HD:

Xét hiệu ta có:x12y12 z12  , Dấu bằng khi x=y=z=10

Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :

       , Dấu bằng khi a=- b

Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :

a b

ab



 a22ab b 2 4aba b 2  , Dấu bằng khi 0a=b

Bài 8: Cho a,b,c là các số thực CMR:

2 24

b

a  ab

Ta có:4a2b2 4ab2a b 20

Dấu bằng khi b=2a

Bài 9: Cho a,b,c là các số thực CMR : a2b2 1 ab a b 

HD:

Ta có:a2b2 1 ab a b  02a22b2 2 2ab 2a 2b0

a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0

          a b 2a12b12  0Dấu bằng khi a=b=1

Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực CMR : a2b2c2d2e2 a b c d e    

Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR:

Ta có:x4 4x24  4x2 4x10

x2 222x12 0Không xảy ra dấu bằng

Bài 36: CMR:

02

 , Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:

Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab bc ca a   2b2c2

HD:

Ta có:a2b2c2 ab bc ca   0 a b 2b c 2c a 20

Bài 47: CMR :

2 2

101

HD:

Ta có:a4b4 a b ab3  3 0 a a b3  b a b3   0 a b 2a2ab b 2 0Bài 52: CMR :

Dấu bằng khi a=b=c=0

Bài 54: Cho x,y,z R, CMR : x y 2y z 2z x 2 3x2y2z2

HD:

Ta có:a4 2 a ab a b2  2 2  b4 2 ab b2a b2 2 0 a2 ab 2 b2 ab2 0Bài 59: CMR : a4b4c2 1 2a ab 2 a c 1

Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR :

Nếu a<b =>a3b a3, 5 b5 => ĐPCM

Giả sử a b c  => Các ngoặc đều dương => ĐPCM

Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : a b a   3b32a4b4

Bài 85: Cho a.b.c=1, a 3 36, CMR :

2

2 23

a



ĐPCMBài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a b  Chứng minh rằng: 0,

Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: x2y3x3y4 , Chứng minh rằng: x3y32 , Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x2y2  xy x y   1

4 2 2 2

12

Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:

Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : 3 3 3 3 3 3

Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR :

Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: a2b2c2 3, CMR: ab bc ca a b c     6

a b





Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a b abc 

Ta có: x3y3   0 x y 0 x2y2 1 x y x   2y2 x3y3

x xy x y y x y

      2y3x y xy2  2  0 y2y2x2 xy0Bài 27: Cho a+b = 1, CMR:

Bài 28: Cho a+b=1, CMR:

Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:

Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2

b c  b c a b c Tương tự ta có:

Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, CMR:

Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì:

và 2a2 a b c c a b      Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a4b4c42a b2 2b c2 2c a2 2

a b b c c a   , cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

HD :

Giải sử : a b c     a b c 2a a b c      2 a 1 b c, 1

Khi đó : 1 a 1 b 1 c 0ab bc ca   1 abc

lại có :

và 2a2 a b c c a b      Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR :

Bài 23: Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2,CMR: